1.2 矩形的判定（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第二课时 矩形的判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 有一个角是直角的平行四边形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角是直角 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等. 矩形的两条对角线相等且互相平分. 矩形的四个角都是直角. 情景导入 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 思考 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形. 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 1.对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 问题2 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D 证一证 概念归纳 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 思考：数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 例5 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4. 求 □ ABCD 的面积. 课本例题 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC= ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = . 　 例 1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC= AC， OB=OD= BD. 又∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°. 典例剖析 例 2 如图,矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 典例剖析 1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （　　） A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD A 练一练 2.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形ABCD是矩形. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO,DO=BO. 又∵ ∠1= ∠2， ∴AO=BO， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 练一练 16 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 2.有三个角是直角的四边形是矩形 新知探究 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 证一证 概念归纳 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 思考 :一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例 3 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：在□ ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB， ∠ABC的平分线, A B D C H E F G ∴四边形EFGH是矩形． 同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴∠AFB=90°， ∴∠GFE=90°. ∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.. 典例剖析 例 4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE ＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形． 典例剖析 3.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 练一练 已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点， 且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点， ∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°， ∴∠A =∠D = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 随堂练习 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE． (1)试判断四边形ABEC的形状； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？ 1. 解：（1）∵AD为BC边上的中线， ∴BD=CD，又∵DE=AD， ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线 互相平分的四边形是平行四边形）. 习题1.5 问题解决 （2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.证明如下： ∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线， ∴BC=2AD.又AE=2AD，∴AE=BC. ∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）. 知识技能 如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D．试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． 2. 解：四边形ACBD是矩形. 证明如下：如图， ∵CD∥MN,∴∠2=∠4. ∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4. ∴∠1=∠2. 1 2 3 4 知识技能 ∴OB=OD（等角对等边）. 同理可证OB=OC,∴OC=OD. ∵O是AB的中点，∴OA=OB. ∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. ∵BC平分∠ABM, ∴∠3= ∠ABM. ∵BD平分∠ABN, 1 2 3 4 ∴∠1= ∠ABN. ∵∠ABM+∠ABN=180°， ∴2∠3+2∠1=180°. ∴∠3+∠1=90°,即∠CBD=90°. ∴四边形ACBD是矩形（有一个角 是直角的平行四边形是矩形）. 如图，已知菱形ABCD，作一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍． 3. 解：做法如下：如图， （1）连接AC,BD; （2）过A,C两点分别作EF∥BD, GH∥BD; E F H G 问题解决 （3）同法作FG∥AC,EH∥AH, 与EF,GH相交点E,F,G,H, 则矩形EFGH即为所求， 且S矩形EFGH=2S菱形ABCD. E F H G 如图，已知菱形ABCD，作一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍． 3. C 合格 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 60 分层练习-基础 直角 D 分层练习-基础 矩形 分层练习-基础 B 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 ∠ABC＝90°或AC＝BD 分层练习-巩固 2 20 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 C 课堂反馈 课堂反馈 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课堂小结 知识点一：用矩形的定义判定四边形是矩形 1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( ) A．AD＝DC　　　　　　　　　 B．AC⊥BD C．∠DAB＝90° D．∠1＝∠2 2．木工师傅做了一个矩形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 (填“合格”或“不合格”)． 知识点二：矩形的判定定理1 定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是( ) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等 4．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( ) A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为 度时，四边形ABFE为矩形． 知识点三：矩形的判定定理2 定理：三个角都是 的四边形是矩形． 6．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 7．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是 ． 8．下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是( ) A．∠A＋∠B＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，AD＝BC，AC＝BD D．AC＝BD，∠A＝90° 9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°.若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是( ) A．8　　　　　　　 B．eq \r(3) C．2eq \r(3) D．4eq \r(3) 10．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 (只填一个)． 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2.若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为 . 13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 . 14．如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB. (1)求证：▱ABCD是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵E是DC边的中点，∴DE＝EC，在△ADE和△BCE中，DE＝CE，AD＝BC，AE＝BE，∴△ADE≌△BCE(SSS)，∴∠D＝∠C，∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形； (2)若AB＝6cm，AE＝5cm，求S▱ABCD. 解：24cm2 15．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E. (1)求证：OE＝OD； (2)当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由． (1)证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC.∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD.在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED的中点，∴OE＝OD； (2)解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角，△AEB为直角三角形，∵四边形BDAE为矩形，∴OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点．∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形． 16．在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动．设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？ 解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm.当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ.①当0＜t＜3时，t＝12－4t，解得t＝eq \f(12,5)；②当3≤t＜6时，t＝4t－12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，t＝36－4t，解得t＝eq \f(36,5)；④当9≤t≤12时，t＝4t－36，解得t＝12.综上所述，当t为eq \f(12,5)或4或eq \f(36,5)或12时，四边形ABQP为矩形． 会判断一个四边形是否是矩形． 【例1】如图，要使▱ABCD是矩形，需添加的条件是( ) A．AB＝BC　　　 B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 【思路分析】由A、B、D知▱ABCD是菱形，由C知▱ABCD是矩形． 【方法归纳】紧扣判定方法，采用淘汰法可得出结论． 掌握用证明法说理的策略． 【例2】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB. (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)连接AE交BD于F，猜想线段BF、EC之间的数量关系，并说明理由． 【思路分析】(1)先证四边形OBEC为平行四边形，再证有一内角等于90°即可；(2)只需证明F是BO的中点即可． 【规范解答】(1)∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴BO⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；　(2)EC＝2BF.其理由是：∵四边形OBEC是矩形，∴BE綊OC，BO＝EC，∵四边形ABCD是菱形，AO＝OC，∴BE＝AO，易证△BEF≌△OAF，∴BF＝OF＝eq \f(1,2)BO，∴EC＝2BF. 【方法归纳】几何说理一般采用证明法说理，说理时每步必须符合定理、定义和公理要求． $$