11.3.2多边形的内角和（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

11.3.2多边形的内角和 题型一 正多边形的外角问题 1．（2024·内蒙古赤峰·三模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（    ）边形 A．六 B．八 C．十 D．十二 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，根据正多边形的外角都相等以及外角和为，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是， ∴， ∴这个正多边形是正八边形， 故选：B． 2．（2024·湖北孝感·模拟预测）十二边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于． 【详解】解：因为多边形的外角和为，所以十二边形的外角和为． 故选：C． 3．（2024·山东聊城·二模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故选：A． 4．（2024·北京平谷·二模）如果正多边形的每个外角都等于，则它的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案． 【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于， ∴它的边数为， 故选：B． 题型二 平面镶嵌 1．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）只用下列图形不能镶嵌的是（    ） A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题的关键． 【详解】A、等边三角形的每个内角的度数为，且是整数，则等边三角形能实施平面镶嵌，此项不符题意； B、正方形的每个内角的度数为，且是整数，正方形能实施平面镶嵌，此项不符题意； C、正五边形的每个内角的度数为，且，不是整数，正五边形不能实施平面镶嵌，此项符合题意； D、正六边形的每个内角的度数为，且是整数，正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·重庆武隆·期末）分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断，只有正三角形， 正四边形， 正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 【详解】解：①正三角形的每个内角是能整除能密铺，故符合题意； ②正五边形每个内角是 不能整除不能密铺，故不符合题意； ③正六边形的每个内角是能整除能密铺，故符合题意； ④正八边形的每个内角是不能整除不能密铺，故不符合题意； ∴能镶嵌成一个平面的图案共有种， 故选：． 3．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）在下面这四种瓷砖中，用一种瓷砖不能密铺平面的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面镶嵌知识，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．利用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除分别判断即可． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故此选项不符合题意； B、正方形的每个内角是，能整除，能密铺，故此选项不符合题意； C、正五边形的每个内角为，不能整除，不能密铺，故此选项符合题意； D、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺，故此选项不符合题意． 故选：C 4．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列正多边形能够进行平面镶嵌的是（    ） A．正三角形与正五边形 B．正方形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【答案】C 【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：正八边形的每个内角是， 正三角形的每个内角是， 正方形每个内角是， 正五边形每个内角是， 正六边形每个内角是， ∵， ∴两块正八边形和一块正方形可以实现平面镶嵌，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键． 题型三 多（少）算一个角问题 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 2．（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 3．（20-21八年级上·湖北荆州·阶段练习）小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】14 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，所求出的多边形的边数再加上1即可． 【详解】解：设除去的内角为α，则（n-2）•180°=2035°+α， ∵2035°÷180°=11…55°， ∴n-2=11+1=12， 解得n=14， 所以，这个多边形的边数n的值是14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式得知多边形的内角和是180°的整数倍是解题的关键． 4．（20-21八年级上·重庆江津·阶段练习）一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线 条． 【答案】44 【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法即可． 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n， ∴（n-2）×180-x=1510， 180n=1870+x=1800+（70+x）， n=10+ ∵n为正整数， ∴n=11， ∴=44， 故答案为：44． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 题型四 多边形截角后的内角和问题 1．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为，则原多边形有 条边； 【答案】15或16或17 【分析】本题考查多边形内角和公式，设新多边形有n条边，根据多边形内角和等于列方程，求出n的值，再根据截去一个角后边数的变化情况，分别讨论即可． 【详解】解：设新多边形有n条边， 由题意得， 解得， 分三种情况： 当截去一个角后，多边形的边数加1时，原多边形有15条边； 当截去一个角后，多边形的边数不变时，原多边形有16条边； 当截去一个角后，多边形的边数减1时，原多边形有17条边； 故答案为：15或16或17． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数． 4．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 【答案】5或6或7 【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则， 解得， 即得到的多边形是6边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形， 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： ①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形； ②不过多边形的顶点，则原来的是5边形， 综上所述，原多边形的边数为5或6或7， 故答案为：5或6或7． 题型五 多边形内角和问题 1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在四边形中，． (1)若与的角平分线交于点O．求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和问题，熟知四边形的内角和为是解答的关键． （1）根据四边形的内角和为求得，再根据角平分线定义求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）根据四边形的内角和为求得，设，，则，，进而可求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：∵在四边形中，， ∴， ∵与的角平分线交于点O， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数，再根据四边形内角和的度数即可求出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，以及角平分线的性质，正确熟练掌握相关知识点进行角度的计算是解决本题的关键． 由四边形内角和知，结合角平分线的意义和三角形内角和定理得． 【详解】解：∵在四边形中，，，， ∴， ∵与的平分线相交P， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知和是的两条高线，，交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由高的定义得到，进而利用四边形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是的两条高线， ∴， ∴， ∴． 题型六 多边形外角和的实际应用 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【答案】(1)能 (2)正八边形 (3)（2）中图形的周长为160米 【分析】（1）利用，能整除即可求解． （2）由（1）得亮亮走8次即可回到M点，进而可求解． （3）利用周长公式即可求解． 【详解】（1）解：， 则亮亮能回到M点， 故答案为：能． （2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米， 则亮亮走过的路线围成了正八边形， 故答案为：正八边形． （3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米， 则（米）， 则（2）中图形的周长为160米． 【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 3．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和进行解答即可． 【详解】解：∵六边形的外角和为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为． 4．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【答案】(1)图见解析， (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是 (3)五边形的外角和等于 【分析】（1）根据图形进行解答即可； （2）根据多边形外角和进行解答即可； （3）多边形的外角和等于． 【详解】（1）解：如图，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是．    （2）解：他每跑一圈，身体转过的角度之和是 （3）解：五边形的外角和等于． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于． 题型七 多边形内角和与外角和综合 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； （2）正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）（1）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． （2）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． 【答案】（1）这个多边形共有27条对角线；（2）10 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和的计算方法，求出边数，再根据对角线的计算方法，求解即可． （2）根据多边形的外角和为，内角和外角互补，进行求解即可． 掌握多边形的内角和的计算公式，外角和为，对角线的条数的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：； ， 所以这个多边形共有27条对角线． （2）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于， 由题意，得， 解得． 即正多边形的每个外角为． 又∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是． (1)求该多边形的边数． (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是： （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用任意多边形的外角和是进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7； （2）由（1）可得该多边形是正七边形， 每一个外角的度数． 1．（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)平分 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据四边形内角和360度即可解答； （2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可． 【详解】（1）解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： （2）解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； （3）解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 2．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析． 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． （1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论． 【详解】解：（1）、互为组角，且， ， 故答案为：； （2）钝角； 理由：优角与钝角互为组角， 优角钝角， 四边形的内角和是， 优角， 钝角； （3）由（2）得，在镖型中，， 在镖型中， ， ， 故答案为：； （4）的平分线交于点M， ， 令． 由（2）中的结论可知在镖形中，有 在镖形中，有， 于是根据等式的性质得出， 而， ，即． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点，则______； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 【答案】探究：（1）25；（2）；（3），证明见解析；挑战： 【分析】探究：（1）由四边形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的性质得出，通过等量代换即可求解； （2）同（1）可得，，通过等量代换即可求解； （3）根据，可得，结合角平分线的定义可得，进而证明，； 挑战：画出图形，参照“探究”中的方法，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 和的平分线交于点， ， ， ， 故答案为：25； （2）由（1）得，， ， 故答案为：； （3）若，则，证明如下： ， ， 平分，平分， ， ， ， ； 挑战：如图4，，证明如下： 平分，平分， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件是解题的关键． 4．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）基础巩固 （1）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线交于点． ①当与满足的______关系时，； ②当时，求的度数． 知识运用 （2）如图2，在四边形中，的平分线与的外角的平分线交于点，求、与之间的数量关系． 拓广探索 （3）如图3，在五边形中，的平分线所在的直线与的外角平分线所在的直线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）（3） 【分析】（1）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出； ②根据三角形内角和定理得出，，根据角平分线的定义，进而代入数据，即可求解． （2）延长交于点，同（1）②的方法得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴， ∴ 故答案为：． ②∵ ∴ ∵的平分线与的外角的平分线交于点 在中， ∴ （2）解：如图所示，延长交于点，    在中， ∵的平分线与的外角的平分线交于点 在中， ∴ 即，则 又∵ ∴ ∴ （3）如图所示，∵五边形的内角和为 ∴ 又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角， ∴ ∵． 即． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3.2多边形的内角和 题型一 正多边形的外角问题 1．（2024·内蒙古赤峰·三模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（    ）边形 A．六 B．八 C．十 D．十二 2．（2024·湖北孝感·模拟预测）十二边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·二模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京平谷·二模）如果正多边形的每个外角都等于，则它的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型二 平面镶嵌 1．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）只用下列图形不能镶嵌的是（    ） A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 2．（23-24八年级上·重庆武隆·期末）分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）在下面这四种瓷砖中，用一种瓷砖不能密铺平面的是(   ) A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列正多边形能够进行平面镶嵌的是（    ） A．正三角形与正五边形 B．正方形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 题型三 多（少）算一个角问题 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 2．（21-22八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 3．（20-21八年级上·湖北荆州·阶段练习）小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边数为 ． 4．（20-21八年级上·重庆江津·阶段练习）一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线 条． 题型四 多边形截角后的内角和问题 1．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为，则原多边形有 条边； 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 4．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 题型五 多边形内角和问题 1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在四边形中，． (1)若与的角平分线交于点O．求的度数； (2)若，，求的度数． 2．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，求的度数． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，已知和是的两条高线，，交于点，，，求的度数． 题型六 多边形外角和的实际应用 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 3．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    4．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 题型七 多边形内角和与外角和综合 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）（1）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． （2）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是． (1)求该多边形的边数． (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 1．（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 2．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点，则______； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 4．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）基础巩固 （1）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线交于点． ①当与满足的______关系时，； ②当时，求的度数． 知识运用 （2）如图2，在四边形中，的平分线与的外角的平分线交于点，求、与之间的数量关系． 拓广探索 （3）如图3，在五边形中，的平分线所在的直线与的外角平分线所在的直线交于点，若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$