第11章 三角形 习题课件-2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十一章　三角形 一、与三角形有关的线段 1．(2024·湛江廉江市一模)若(m－5)2＋＝0，则以m，n为边长的等腰三角形的周长为____. 2．(2023·湛江霞山区期中)如图，在△ABC中，角平分线AD与中线BE交于点O，则下列结论错误的是(　　) A．AE＝CE B．AO是△ABE的角平分线 C．BO是△ABD的中线 D．S△ABE＝S△BCE 27 C 3．现有长分别为4，5，7，9，22的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是____. 4．(2024·珠海市九州中学期中)如图，△ABC中， BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长 线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H.下 列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF＋ ∠C；③∠F＝∠BAC－∠C.其中正确的是______. 11 ①② 5．如图，在三角形ABC中，AB＝180，AC＝204，D，F是AB上的点，E，G是AC上的点，连接CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，求AF＋AG的长. 解：∵S△BCD＝S△CDE＝S△DEF＝S△EFG＝S△AFG， ∴S△ABC＝5S△BCD，S△AED＝3S△DEF. ∴AB＝5BD，AD＝3DF. ∵AB＝180，∴BD＝AB＝36. ∴AD＝180－36＝144.∴DF＝AD＝48. ∴AF＝180－36－48＝96. ∵S△BCD＝S△CDE＝S△DEF＝S△EFG＝S△AFG， ∴S△ACD＝4S△CDE，S△AEF＝2S△AGF. ∴AC＝4CE，AE＝2AG. ∵AC＝204，∴CE＝AC＝51. ∴AE＝AC－CE＝204－51＝153. ∴AG＝AE＝76.5. ∴AF＋AG＝96＋76.5＝172.5. 6．已知△ABC的三边长是a，b，c. (1)若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； 解：∵△ABC的三边长是a，b，c，a＝6，b＝8， ∴8－6＜c＜8＋6，即2＜c＜14. ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8. ∴c＝4或c＝6. (2)化简＋. 解：由三角形三边关系，得a＋b＞c， ∴a＋b－c＞0，c－a－b＝c－(a＋b)＜0. ∴＋ ＝a＋b－c－(c－a－b) ＝a＋b－c－c＋a＋b ＝2a＋2b－2c. 7．三角形的三边长是三个连续的整数，且三角形的周长小于20，求满足条件的三角形的三边的长. 解：设三角形三边的长分别为x－1，x，x＋1， ∴x＋1－(x－1)＜x＜x＋1＋x－1，解得x＞2. ∵三角形的周长小于20， ∴x－1＋x＋x＋1＜20，解得x＜. ∴2＜x＜. 又x为整数，∴x可取3，4，5，6. 当x＝3时，三角形的三边的长分别为2，3，4； 当x＝4时，三角形的三边的长分别为3，4，5； 当x＝5时，三角形的三边的长分别为4，5，6； 当x＝6时，三角形的三边的长分别为5，6，7. 综上所述，满足条件的三角形的三边的长分别为2，3，4或3，4，5或4，5，6或5，6，7. 二、与三角形有关的角 8．珠江流域某江段的水流经过B，C，D三点拐弯后，流向与原来 相同.如图所示，∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE的度数 是(　　) A．40° B．30° C．25° D．20° D 9．下列三角形一定为直角三角形的有(　　) ①△ABC三个内角的关系为∠A＋∠B＝∠C； ②△ABC三个内角的关系为∠A＝∠B＝∠C； ③三角形的三个内角之比为2∶3∶4； ④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为180°. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 10．(2023·广州华南师范大学附属学校月考)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F.下列结论：①∠1＝∠2；②∠F＝∠1＋∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4＝2∠3.其中正确的结论有(　　) A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ C 11．如图，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°， E是△ABC角平分线CF延长线上一动点(不与 F点重合)，过E点作ED⊥AB于D点，当E点运 动时(　　) A．∠E的度数随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B．∠E的度数随E点运动而变化，离F点越远，度数越大 C．∠E的度数不变，为16° D．∠E的度数不变，为18° C 12．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于 点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2 023BC和∠A2 023CD的平分线交于点A2 024，则∠A2 024＝°. 13．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶 点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°， 且点E在直线AC的上方时，若三角板BCE有一条边与斜 边AD平行，求∠ACE的度数. 解：①如图①， 当AD∥BC时，∠D＝∠BCD＝30°. ∵∠ACE＋∠ECD＝∠ECD＋∠BCD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝30°. ②如图②，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°. ∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝90°＋30°＝120°. ③如图③，当AD∥BE时，延长BC交AD于点M， 则∠MCE＝∠BCE＝90°. ∵AD∥BE， ∴∠AMC＝∠B＝45°. ∴∠ACM＝180°－60°－45°＝75°. ∴∠ACE＝∠ACM＋∠MCE＝75°＋90°＝165°. 综上所述，∠ACE的度数为30°或120°或165°. 14．已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点(A，B不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D，设∠OAC＝x°. (1)如图①，若AB∥ON，则： ①∠ABO的度数是______. ②当∠BAD＝∠ABD时，x＝_____； 当∠BAD＝∠BDA时，x＝____. 20° 120 60 (2)如图②，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由. 解：存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角. ∵AB⊥OM，∴∠OAB＝∠AOB＋∠ABO＝90°. ∵OE是∠MON的平分线， ∴∠AOB＝∠MON＝20°. ∴∠ABO＝70°. 当点D在线段OB上时： ①当∠BAD＝∠ABD＝70°时， ∠OAC＝∠OAB－∠BAD＝90°－70°＝20°. ②当∠BAD＝∠BDA＝×(180°－70°)＝55°时， ∠OAC＝∠OAB－∠BAD＝90°－55°＝35°. ③当∠ADB＝∠ABD＝70°时，∠BAD＝180°－2×70°＝40°， ∴∠OAC＝∠OAB－∠BAD＝90°－40°＝50°. 当点D在射线BE上时： ④∵∠ABE＝180°－∠ABO＝110°， ∴∠BAD＝∠BDA＝×(180°－110°)＝35°. ∴∠OAC＝∠OAB＋∠DAB＝90°＋35°＝125°. 综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，x的值为20或35或50或125. 15．如图，已知AB∥CD，将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F. (1)当△PMN所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系为__________________________； ∠PFD＋∠AEM＝90° (2)当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD－∠AEM＝90°； 证明：如图②，设PN与AB交于点H. ∵AB∥CD，∴∠PFD＋∠1＝180°. ∵∠P＝90°，∴∠PHE＋∠2＝90°. ∵∠PHE＝∠1，∴∠1＋∠2＝90°. ∵∠2＝∠AEM，∴∠1＋∠AEM＝90°. ∴∠1＝90°－∠AEM. ∴∠PFD＋90°－∠AEM＝180°. ∴∠PFD－∠AEM＝90°. (3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝α，∠PEB＝β，求∠N(用含α，β的式子表示). 解：如图③. ∵∠P＝90°， ∴∠PHE＝90°－∠PEB＝90°－β. ∵AB∥CD，∴∠PFC＝∠PHE＝90°－β. ∵∠PFC＝∠N＋∠DON， ∴∠N＝∠PFC－∠DON＝90°－β－α. 三、多边形及其内角和 16．足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面，通常由黑白两种颜色组成.之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来略微小于360°，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形.如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为______. 12° 17．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2 cm为半径画圆，当n＝2 024时，图中阴影部分的面积之和为_____cm2.(结果用含π的式子表示) 18．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为_______. 4π 540° 19．模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动. 如图①，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线. 解决问题： (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°， 则∠BPC＝_______； 图① 120° (2)若∠BAC＝100°，求出∠BPC的度数. 解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB. ∴∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－(180°－∠BAC)＝90°＋∠BAC. ∵∠BAC＝100°， ∴∠BPC＝90°＋∠BAC＝90°＋×100°＝140°. 拓展延伸： (3)如图②，在四边形ABCD中，BP，CP分别是∠ABC和∠DCB的平分线，写出∠BPC与∠A＋∠D的数量关系. 解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠DCB的平分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠DCB. ∴∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°－(360°－∠A－∠D) ＝(∠A＋∠D). 图② 20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠B＝∠C，则∠C＝____度. (2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数. 解：∵BE∥AD，∴∠ABE＋∠A＝180°. ∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－150°＝30°. ∵∠ABC的平分线BE交DC于点E， ∴∠ABC＝60°. ∴∠C＝360°－(150°＋80°＋60°)＝70°. 65 (3)①如图③，若∠ABC和∠DCB的平分线交于点P，试求出∠BPC的度数； 解：∵∠A＝150°，∠D＝80°， ∴∠ABC＋∠BCD＝360°－(150°＋80°)＝130°. ∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点P， ∴∠PBC＋∠PCB＝65°. ∴∠BPC＝180°－65°＝115°. ②如图④，P为五边形ABCDE内一点，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B＋∠E的数量关系，并说明理由. 解：∵五边形ABCDE的内角和为180°×(5－2)＝540°， ∴∠EDC＋∠BCD＝540°－(∠A＋∠B＋∠E). ∵∠EDC和∠BCD的平分线交于点P， ∴∠PDC＋∠PCD＝. ∴∠P＝180°－ ＝－90°. $$