专题02求二次函数表达式的五种常见类型-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题02求二次函数表达式的五种常见类型 题型01由函数的基本表达形式求表达式 方法一利用一般式求二次函数表达式 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（a为常数，）． 若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标． 【例1-2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)若D为抛物线的顶点，连接、，求的面积． 【变式演练】 【变式1-1】（2022九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点…，都是和谐点，若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则这个二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式． (2)若该函数图象上的两点，当时，直接写出的取值范围______． 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知二次函数的图象经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴； (2)当时，直接写出的取值范围． 方法二利用顶点式求二次函数表达式 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像的顶点坐标为，该图像与x轴相交于点A、B（点A在B的左侧），其中点A的横坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点、是该二次函数的图像上两点，比较、的大小，并说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河南安阳·期中）下列抛物线中，与抛物线的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23九年级上·广东潮州·期中）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求这个函数的解析式． 【变式2-3】（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 方法三利用交点式求二次函数的表达式 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ． 【例3-2】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数过点，， ． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 【例3-3】（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OB． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上位于x轴下方的一点，当时，求出点P的坐标． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且，，与y轴交于点． （1）若，则抛物线的解析式为 ． （2）若抛物线顶点的纵坐标为w，则的最小值为 ． 【变式3-2】（21-22九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式 【变式3-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴两交点间的距离为4，与y轴的交点是，求抛物线的解析式． 方法四利用平移式求二次函数表达式 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级下·黑龙江大庆·开学考试）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）将抛物线向左平移1个单位长度，经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【例4-3】（20-21九年级上·北京石景山·期末）已知关于的二次函数． （1）该函数图象经过点． ①求这个二次函数的表达式及顶点坐标； ②分别求出这个二次函数图象与轴，轴的交点坐标； （2）将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式． 【变式演练】 【变式4-1】．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线（，，是常数，且）可由抛物线平移得到，且经过点和，则该抛物线的函数表达式为 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知抛物线．如图，若抛物线图象与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交点，． (1)求该抛物线所表示的二次函数表达式； (2)将该抛物线向右平移后得到新的抛物线，新抛物线的顶点坐标为，若新抛物线与线段无公共点，请直接写出的取值范围． 方法五利用对称轴法求二次函数表达式 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东汕头·期末）请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为 【例5-2】（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的坐标为，那么它对应的函数解析式是 ． 【例5-3】．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）试写出一个开口方向向下，对称轴为，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式 ． 【变式5-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）（已知对称轴和最值）已知二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4．求二次函数的解析式． 【变式5-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）一条抛物线的形状、开口与相同，且对称轴是直线，与轴交于点，求它的解析式． 方法六灵活运用方法求二次函数表达式 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 【例6-3】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为 ； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则 ． 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知二次函数． (1)试证明二次函数图象与轴始终有两个交点； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，求出该二次函数函数表达式． 【变式6-3】（2024九年级江苏·专题练习）抛物线与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； 题型02由函数图像中的信息求表达式 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·山东烟台·期中）某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线） 月出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本） 【例7-2】（23-24九年级上·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【例7-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值． 【变式演练】 【变式7-1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）某水果销售店在试销售成本为每千克2元的某种水果，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克4元．经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． (1)求y与x的函数解析式； (2)设水果销售店试销该种水果期间每天获得的利润为W元，求W的最大值． 【变式7-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中x是满足的整数） (1)问：2月份每千克蔬菜成本是多少？ (2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益． 【变式7-3】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍． (1)当时，y与x的函数关系式为　 　． (2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？ (3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？ 题型03由表格信息求表达式 【典例分析】 【例8-1】（2024九年级下·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【例8-2】（23-24九年级上·北京·期中）已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如下表： x … 1 2 3 4 5 … … 0 1 2 3 4 … … 0 0 3 8 … （1）二次函数的表达式为 ； （2）关于x的不等式的解集是 ． 【例8-3】（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【变式演练】 【变式8-1】（21-22八年级下·上海·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －1 0 1 … y … … 则该二次函数解析的一般式为 ． 【变式8-2】（21-22九年级上·宁夏固原·期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯ 则抛物线的解析式是 ． 【变式8-3】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … 0 1 3 5 7 … y … 6 0 0 6 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出此二次函数图象上与关于对称轴对称的点的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 题型04几何应用中求二次函数表达式 【典例分析】 【例9-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【例9-3】（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【变式演练】 【变式9-1】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在正方形中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边，按的路线以的速度移动．设的面积为单位：，运动时间为单位：，则关于的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．      B．     C．    D．   【变式9-3】（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 题型05实际问题中求二次函数表达式 【典例分析】 【例10-1】（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例10-2】（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 ． 【例10-3】（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园，与围墙平行的一边上要预留3米宽的入口（如图所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值． 【变式演练】 【变式10-1】（2020九年级·浙江温州·学业考试）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 【变式10-3】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高m时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系． (1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式； (2)求水柱落地点A到水池中心O的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02求二次函数表达式的五种常见类型 题型01由函数的基本表达形式求表达式 方法一利用一般式求二次函数表达式 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（a为常数，）． 若函数经过点，求二次函数的解析式和顶点坐标． 【答案】， 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出a的值，即得二次函数的解析式；利用顶点坐标公式计算，即得顶点坐标； 【详解】将点的坐标代入函数解析式，得， 解得； 因此，二次函数的解析式为； ，， 该二次函数的顶点坐标为． 【例1-2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)若D为抛物线的顶点，连接、，求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)的面积为15 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标与图形，求抛物线顶点坐标，求出函数解析式是解题的关键． （1）把和，分别代入，求解即可得抛物线解析式；再由抛物线解析式求出点C坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式即可． （2）先根据抛物线解析式，求得顶点D坐标，再过点D作于E，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和，分别代入，得 ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴， 设直线的解析式的解析式为， 把、分别代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线的顶点， 过点D作于E，如图， ∴， ∵，，， ∴ ． 答：的面积为15 【变式演练】 【变式1-1】（2022九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点…，都是和谐点，若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则这个二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得和谐点所在直线为，由抛物线经过可得a与c的数量关系，联立直线与抛物线方程，根据求解． 【详解】解：由题意可得和谐点所在直线为， 把代入得， ∴， ∴． 令，整理得， ∵抛物线与直线只有1个公共点， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握函数与方程的关系 【变式1-2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式． (2)若该函数图象上的两点，当时，直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及其性质， （1）直接利用待定系数法求解即可确定函数解析式； （2）根据二次函数的基本性质求解即可； 熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】（1）解：将代入二次函数得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， 点关于对称的点为， ∵， ∴或， 故答案为：或 【变式1-3】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知二次函数的图象经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解此题的关键． （1）将和代入二次函数表达式，求出的值，即可得出表达式，再由对称轴公式计算即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过和， ， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 对称轴为直线； （2）解：， ，二次函数的开口向上， 二次函数的对称轴为直线， 当时，当时，有最小值，最小值为， 当时，，当时，， 当时，的取值范围． 方法二利用顶点式求二次函数表达式 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键 【例2-2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图像的顶点坐标为，该图像与x轴相交于点A、B（点A在B的左侧），其中点A的横坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点、是该二次函数的图像上两点，比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质： （1）根据顶点式设二次函数解析式为，把代入，求出，从而可求出该二次函数的表达式； （2）分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得，点A的坐标为，代入解析式得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 所以，当时，，即； 当时，，即； 当时，，即 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·河南安阳·期中）下列抛物线中，与抛物线的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 首先根据顶点坐标可设抛物线解析式为，再由形状和开口方向完全相同得出，然后可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵与抛物线的形状、开口方向完全相同， ∴， ∴所求抛物线解析式为． 故选：A 【变式2-2】（22-23九年级上·广东潮州·期中）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握顶点坐标与二次函数顶点式的关系 【变式2-3】（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质 方法三利用交点式求二次函数的表达式 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】设抛物线表达式为，然后将代入求解即可． 【详解】∵抛物线与轴交于点，， 设抛物线表达式为， ∴将代入得，， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式 【例3-2】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数过点，， ． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，及顶点坐标的计算，掌握待定系数法，及顶点坐标公式的是解题的关键． （1）把点代入解析式，运用待定系数法即可求解； （2）运用顶点公式，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）解：， ， 有最小值， 当时，的最小值为． 【例3-3】（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OB． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为抛物线上位于x轴下方的一点，当时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为（，﹣3）或（，﹣3） 【分析】（1）已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解； （2）根据求出点P的纵坐标，代入函数解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，解得a＝﹣1， 该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3），即； （2）解：， ∴点P到AB的距离等于点C到AB的距离， ∵点C到AB的距离为3，点P在x轴下方， ∴点P的纵坐标为， 令y＝﹣3，则，解得：或， ∴点P的坐标为（，﹣3）或（，﹣3）． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握求二次函数求解析式的方法和二次函数的性质． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且，，与y轴交于点． （1）若，则抛物线的解析式为 ． （2）若抛物线顶点的纵坐标为w，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）先求得点A、B坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先利用点A、B坐标求得抛物线的解析式，进而用m表示顶点纵坐标w，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】解：（1）当时，，， 故设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线的表达式为， 故答案为：； （2）根据题意，设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点的纵坐标 ， ∴ ∵， ∴当时，有最小值， 故答案为： 【变式3-2】（21-22九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式 【答案】 【分析】根据题目信息设函数的表达式为交点式，代入与轴的交点坐标进而求解. 【详解】解：依题意，设函数的解析式为 将点代入，得 ∴ ∴所求函数解析式为，即 【点睛】本题通过交点求二次函数的解析式，观察题目信息合理设出函数表达式更方便解题 【变式3-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴两交点间的距离为4，与y轴的交点是，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标为和，设抛物线的解析式为，将代入求出a的值即可得出答案． 【详解】解：由题意知，抛物线与x轴的交点坐标为和， 可设抛物线的解析式为， ∵抛物线与y轴的交点是， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 方法四利用平移式求二次函数表达式 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级下·黑龙江大庆·开学考试）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：D． 【例4-2】（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）将抛物线向左平移1个单位长度，经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】写出平移后抛物线的解析式，然后将点（-1，4）代入可以求得相应的a的值，得到抛物线解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（0，0），则向左平移1个单位长度后的顶点坐标是（-1，0）， 所以平移后抛物线的解析式为：， 把点（1，4）代入，得， 解得a=1． 则该抛物线解析式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化 【例4-3】（20-21九年级上·北京石景山·期末）已知关于的二次函数． （1）该函数图象经过点． ①求这个二次函数的表达式及顶点坐标； ②分别求出这个二次函数图象与轴，轴的交点坐标； （2）将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式． 【答案】（1）①；；②与轴的交点坐标为；与轴的交点坐标为，；（2） 【分析】（1）①代入点的坐标可求m，进而可求解析式及顶点坐标；②令，可求与y轴交点坐标，令，可求与x轴交点坐标； （2）将二次函数转化为顶点式，依据其顶点恰好落在轴上可得结果 【详解】解：（1）①∵该二次函数图象经过点， ∴，解得． ∴二次函数的表达式为． ∴二次函数顶点坐标为． ②令，则． ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为， 令，则，． ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为，． （2） = 平移后要使其顶点恰好落在轴上 则需将函数图像向左（ ）或向右（）平移 个单位长度 可得函数的表达式为： （注：，故学生写成（）的形式亦可，如：，…） 【点睛】本题考查了二次函数求解析式及二次函数的性质、利用函数与方程的关系解方程、配方法的应用、图形的平移等，是一个综合性题目 【变式演练】 【变式4-1】．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图像信息求解原抛物线的解析式，然后利用平移法则求解即可． 【详解】解：由题意，原抛物线顶点为，过点， ∴设原抛物线解析式为：， 将代入得：， ∴， ∴原抛物线解析式为， ∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到， 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及二次函数图象平移，掌握二次函数的顶点式以及平移法则是解题关键 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若抛物线（，，是常数，且）可由抛物线平移得到，且经过点和，则该抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象平移，待定系数法求二次函数解析式，先根据二次函数平移规律，求得，则，再把和代入，求得b、c值，即可求解． 【详解】解：∵抛物线可由抛物线平移得到， ∴，则， 把和代入，得 ， 解得： ∴该抛物线的函数表达式为， 故答案为： 【变式4-3】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知抛物线．如图，若抛物线图象与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交点，． (1)求该抛物线所表示的二次函数表达式； (2)将该抛物线向右平移后得到新的抛物线，新抛物线的顶点坐标为，若新抛物线与线段无公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，平移后的抛物线解析式为，分抛物线的左半支经过点和，两种情分别求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，当时，，则 ∴， ∵ ∴， ∴ 设抛物线解析式为，将代入 即， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解： ∵将该抛物线向右平移后得到新的抛物线，新抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为 当抛物线坐标经过时， 解得：（负值舍去） 当抛物线坐标经过时， 解得：（舍去）或 结合图形可得新抛物线与线段无公共点 ∴或 方法五利用对称轴法求二次函数表达式 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·广东汕头·期末）请你写出一个同时满足下列两个条件：①对称轴是直线，②与y轴的交点为的二次函数的解析式为 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，只有熟知二次函数的性质才能正确的利用已知条件写出正确的解析式．首先根据对称轴为直线得到抛物线为，然后根据与轴的交点坐标求得解析式即可． 【详解】解：对称轴是直线， 抛物线可以是， 与轴的交点为， 符合条件的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一） 【例5-2】（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的坐标为，那么它对应的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】抛物线的对称轴为直线，一个交点为，则另外一个交点为，再用待定系数法即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，一个交点为，则另外一个交点为， 设抛物线的表达式为，代入两个交点得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 【例5-3】．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，由抛物线的称轴为直线，且函数有最小值为可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入即可求解． 【详解】解：∵抛物线的称轴为直线，且函数有最小值为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得． ∴抛物线的解析式． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）试写出一个开口方向向下，对称轴为，且与y轴的交点坐标为的抛物线的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出顶点式，将代入求函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，对称轴为， ∴设，把，代入，得：， 解得：， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式．熟练掌握二次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式，是解题的关键 【变式5-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）（已知对称轴和最值）已知二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4可以得到，，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为4， ，， 二次函数的解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 【变式5-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）一条抛物线的形状、开口与相同，且对称轴是直线，与轴交于点，求它的解析式． 【答案】 【分析】二次函数解析式，a决定抛物线的开口方向和形状，将解析式设为顶点式，于是，，将代入解得参数k． 【详解】设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状、开口与相同，且对称轴是直线， ∴，， ∴ ∵抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题考查确定二次函数解析式，二次函数的性质；掌握二次函数的解析式形式，理解点坐标与解析式的关系是解题的关键 方法六灵活运用方法求二次函数表达式 【典例分析】 【例6-1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标是，再结合与轴的交点是，即可逐项分析作答． 【详解】解：A、因为，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； B、，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是正确的； C、的顶点坐标是；当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； D、因为，所以顶点坐标是；当时，，与轴的交点是，该选项是错误的； 故选：B 【例6-2】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据顶点坐标是，设出函数解析式：，再根据形状与开口方向都与抛物线相同，，即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，设抛物线的解析式为， ∵该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同，是解题的关键 【例6-3】（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理以及等高三角形面积的比等于其对应底的比等知识． （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值； （2）根据抛物线的解析式可得出点的坐标，由和等高，则面积比等于对应底边比，由此可得出；然后由平行线分线段成比例定理，即可求得、的比例关系，由此可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得：， 故此抛物线的解析式为：； （2）由知：； ， ，； ， ， ， ， ， 点的坐标为：． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）抛物线的表达式为 ； （2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据轴对称求线段和的最值问题； （1）根据抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，列出方程组，解方程即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则，进而得出直线的函数表达式为．令，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． （2）如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时最小，即的值最小，令，则， ∴点C的坐标为， ∴点的坐标为，由抛物线可知，顶点D的坐标为． 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为．令，则， 解得，即直线与x轴的交点M的坐标为，即． 故答案为： 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知二次函数． (1)试证明二次函数图象与轴始终有两个交点； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，求出该二次函数函数表达式． 【答案】(1)证明见解析 (2)二次函数为． 【分析】（1）无论a为何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点即有两个不相等的实数根，直接根据根的判别式计算即可； （2）由顶点坐标为，先将代入，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交，即， ∴， 由题意，可得：， ∵,则， ∴恒成立， ∴二次函数的图象与x轴总有两个交点． （2）由二次函数的性质可知对称轴为直线， 设顶点坐标为， ∵二次函数图象的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∴二次函数为． 【点睛】本题考查了根的判别式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与轴的交点情况的确定是解本题的关键 【变式6-3】（2024九年级江苏·专题练习）抛物线与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； 【答案】(1)， (2)，顶点坐标为，对称轴为轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系等知识点， （1）先把点代入求出b，则确定交点坐标为，然后把代入得； （2）二次函数解析式为，根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴； 【详解】（1）∵函数的图象与直线交于点， ∴， ∴， ∴交点坐标为， ∴把代入得； （2）由（1）得抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为轴 题型02由函数图像中的信息求表达式 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·山东烟台·期中）某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线） 月出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本） 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法． 观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出和的解析式，由收益列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值． 【详解】解：设，将和代入得， ， 解得． ∴ ． 由图象知抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得， ， 解得． ∴，即； ∴设收益 ， ∵， ∴当时，收益最大为， 故答案为：5 【例7-2】（23-24九年级上·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键． （1）将代入，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式． （2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为， 将代入，得 ，解得 ∴二次函数解析式为． （2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则 ∵， ∴当时，W有最大值6.6． ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 【例7-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值． 【答案】(1) (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元 (3)政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用； （1）待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）根据每台彩电的收益乘以数量，即可求解； （3）设总收益为元，则，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设 将，代入上式，得：， 解得， 故所求作的函数关系式为：． （2）在中，当时，， 在中，当时， ； 答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元． （3）设总收益为元，则 ， 存在最大值， 当时有最大值． 答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元 【变式演练】 【变式7-1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）某水果销售店在试销售成本为每千克2元的某种水果，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克4元．经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． (1)求y与x的函数解析式； (2)设水果销售店试销该种水果期间每天获得的利润为W元，求W的最大值． 【答案】(1) (2)W的最大值为520元 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，函数图像读取相关信息，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式和自变量的取值范围求函数． （1）根据图象中的数据可以求得y与x的函数解析式； （2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，再根据x的取值范围即可求得W的最大值． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 由图可知，函数过，， ，解得：， y与x的函数解析式为； （2）由题意可知， ， 时，随x的增大而增大， ， 当时，W取的值最大，此时， 故W的最大值为520元． 【变式7-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价y（元）与销售月份x之间的关系满足，每千克成本z（元）与销售月份x之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中x是满足的整数） (1)问：2月份每千克蔬菜成本是多少？ (2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益． 【答案】(1)月份每千克蔬菜成本是元 (2)月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元 【分析】此题考查了二次函数的实际应用-销售问题，读懂题意，正确列出函数解析式和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由抛物线的最低点坐标是可设，把代入解析式，通过待定系数法解得a的值，进而得到函数解析式，再利用函数解析式求得2月份每千克蔬菜成本； （2）利用销售单价与成本的解析式可得每千克蔬菜的收益，再通过而二次函数的性质可得当时，有最大值，故5月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元． 【详解】（1）解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得， 解得， 即 当时，， 月份每千克蔬菜成本是元； （2）解：由(1)可得，每千克蔬菜的收益 当时，有最大值，， 月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元 【变式7-3】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍． (1)当时，y与x的函数关系式为　 　． (2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？ (3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)18000元 (3)一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）把，代入，确定批发单价，根据总价批发单价，进而求出答案； （3）首先根据服装厂获利w元，当且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当时求出最值，进而比较得出即可． 【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为， 将点代入中得： ， 解得 故答案为：； （2）解：当时， 元 答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元； （3）解：当时， ，抛物线开口向下 当时，随的增大而增大， 又∵为10的正整数倍， 时，最大，最大值是3800， 当时，随的增大而减小 又∵为10的正整数倍， 时，最大，最大值是3800； 当时， 随的增大而增大， 时，最大，最大值是3600， ∴当或时，最大，最大值是3800 题型03由表格信息求表达式 【典例分析】 【例8-1】（2024九年级下·云南·专题练习）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可． 【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是， 二次函数对称轴是直线， 二次函数顶点坐标是， 设二次函数解析式是， 把代入得： ， 解得：， 二次函数解析式是， 故选：B 【例8-2】（23-24九年级上·北京·期中）已知一次函数和二次函数的部分自变量和对应的函数值如下表： x … 1 2 3 4 5 … … 0 1 2 3 4 … … 0 0 3 8 … （1）二次函数的表达式为 ； （2）关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求二次函数； （1）把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出的表达式； （2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，时，，从而得出不等式的解集． 解题关键在于掌握对于二次函数（a、b、c是常数，）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【详解】解：（1）把，，代入得： ， 解得： ∴； 故答案为：； （2）当时，；当时，， ∴直线与抛物线的交点为和， 而时，， ∴不等式的解集是． 故答案为： 【例8-3】（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 二次函数图象的对称轴为直线， 将，，代入， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 故答案为：上，； （2）由（1）可知二次函数的表达式为； （3）解：当时，； 当时，． 又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，． 故答案为： 【变式演练】 【变式8-1】（21-22八年级下·上海·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －1 0 1 … y … … 则该二次函数解析的一般式为 ． 【答案】 【分析】将点，，代入中，进行计算即可得． 【详解】解：将点，，代入中，得 解得，， 则二次函数的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法 【变式8-2】（21-22九年级上·宁夏固原·期末）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯ 则抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，得： 将代入到，得： ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解 【变式8-3】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知二次函数几组x与y的对应值如下表： x … 0 1 3 5 7 … y … 6 0 0 6 … (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出此二次函数图象上与关于对称轴对称的点的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数解析式，抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据表格数据特点可得出，二次函数图像经过点和点，顶点为，设该二次函数的表达式为，将代入即可； （2）根据抛物线对称轴即可求解； （3）根据抛物线开口向上，经过点和点，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据表格，二次函数图象经过点和点， ∴对称轴为， 即顶点为， 设该二次函数的表达式为， 把代入，， 解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）令与关于对称轴对称， 则，可得， 即：与关于对称轴对称； （3）在中， ∵函数图象经过点和点，且抛物线开口向上， 要使得，只需抛物线图象在轴上方， ∴当或时， 题型04几何应用中求二次函数表达式 【典例分析】 【例9-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间的函数图象大致是下列图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 故选：C 【例9-2】（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数的解析式与图像，利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图像即可解答． 【详解】∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 当时，如图所示，    则 ，，，， 此时， 此时函数图像为开口向上的一段抛物线； ②∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 当时，如图所示，    则 ，，，， 此时， 此时，函数图像是线段的一部分； ③当时，如图，   ，    ∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 则， ，， 则 ，，，， 此时， 此时函数图像为开口向下的一段抛物线； 故选：A 【例9-3】（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，四边形面积最小，最小值是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键． （1）根据，，得到， 根据，，运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵中，，， ∴； （2） ， ∵ ， ∴当时，四边形面积最小，最小值是 【变式演练】 【变式9-1】（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在正方形中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边，按的路线以的速度移动．设的面积为单位：，运动时间为单位：，则关于的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解． 【详解】解：当点在上运动时， 则，函数图象为一次函数； 当点在上运动时， 则， 则，函数图象为二次函数； 故选：A 【变式9-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．      B．     C．    D．   【答案】D 【分析】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点在上时，点在上时，点在上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案． 【详解】解：设点的运动时间为，的面积为， ①当时，点在上时， 过点作，     ， ∵根据题知：，， ∴，， ∴； ②当时，点在上时， 过点作，   ， ∵根据题知：，， ∴， ∴； ③当时，点在上时， 过点作交延长线于，   ， ∵根据题知：，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴结合三种情况，图像如下所示：   ， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形面积公式，用含的式子表示，一次函数，二次函数的图象，含直角三角形三边关系，根据题意求出函数解析式是关键 【变式9-3】（23-24九年级下·河南三门峡·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为 题型05实际问题中求二次函数表达式 【典例分析】 【例10-1】（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，，靠墙处墙的长度为，可求出的取值范围，再根据矩形的性质可得，，可求出的取值范围，根据矩形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：已知栅栏的总长度为，若， ∴， ∵靠墙处墙的长度为， ∴，即，解得，， ∵中间再用栅栏把它分成两个矩形， ∴ ∵， ∴，解得，， ∴的取值范围为， ∴矩形的面积关于的函数表达式为， 故选：． 【点睛】本题主要考查用函数解实际问题，理解图示，掌握几何图形面积的计算方法，运用函数解实际问题的方法是解题的关键 【例10-2】（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．根据题意得出点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 【详解】解：由题意，得， 设抛物线表达式解析式为， 把代入，得 解得：， 选取点为坐标原点时的抛物线解析式是：． 故答案为： 【例10-3】（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园，与围墙平行的一边上要预留3米宽的入口（如图所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)垂直于墙的一边的长为12米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为288平方米； 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）根据题意和图像可以写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围即可； （2）根据题意可以列出面积与x之间的函数关系式，再根据第一问的到x的取值范围以及函数增减性即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵， 解得：， 即y与x的函数关系式是． （2）解：设苗圃的面积为S，则： ∵，对称轴为直线， ∴在时，S随x的增大而减小， ∴当时，S取得最大值，此时，即垂直于墙的一边的长为12米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为288平方米． 【变式演练】 【变式10-1】（2020九年级·浙江温州·学业考试）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为．设饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案． 【详解】解：设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）， 则y关于x的函数表达式是：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键 【变式10-2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只，依题意得，． 【详解】解：由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只， 依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式 【变式10-3】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高m时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系． (1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式； (2)求水柱落地点A到水池中心O的距离． 【答案】(1) (2)水柱落地点A到水池中心O的距离为 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意设抛物线解析式为，把代入解析式求出即可； （2）令，解方程即可． 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴水柱落地点A到水池中心O的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$