专题01一元二次方程的三种解法-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题01一元二次方程的三种解法 题型01选择适当的方法解一元二次方程 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·四川德阳·期末）用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【例1-2】（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【例1-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)（用公式法解） (4)(用配方法解）； 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式1-2】（23-24九年级上·黑龙江·期末）解方程 (1) (2) 【变式1-3】（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 题型02用换元法解一元二次方程 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【例2-2】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）为了解方程， 我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得 当时，． 当时，． 故原方程的解为． 请借鉴上面的方法解方程． 【例2-3】（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，解得，．当时，则，无实数根；当时．即，则，． 根据上述方法，完成下列问题： (1)设，将方程转化为一元二次方程，得________； (2)解方程：． 【变式2-3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 题型03拆项分组法解一元二次方程 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【例3-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【例3-3】（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）阅读后解答问题，解方程：． 解：， 拆项，分组得， 提公因式，得， 再提公因式，得， 所以或． 即． 运用以上因式分解法解方程：． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）解方程 (1) (2) 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程的三种解法 题型01选择适当的方法解一元二次方程 【典例分析】 【例1-1】（23-24九年级上·四川德阳·期末）用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 【例1-2】（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 【例1-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)（用公式法解） (4)(用配方法解）； 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 开方得，即， ∴，； （2）解：， 整理得， 即，， ∴，； （3）解：， ∵，，， ， ， ∴，； （4）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得，即， ∴， 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， ， ． 【变式1-2】（23-24九年级上·黑龙江·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法； （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解： ， ， ，. （2）解： 【变式1-3】（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项后直接开平方即可求解； （2）直接因式分解法即可求解； （3）直接因式分解法即可求解； （4）移项后，利用平方差公式进行分解因式即可求解； 【详解】（1）解： ， 移项得， 由此可得，． （2）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （3）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （4）解： 移项得 ， 分解因式得 ， 整理得 ， 由此可得 ， 题型02用换元法解一元二次方程 【典例分析】 【例2-1】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）令则原方程可化为，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解：令则原方程可化为， 解得：，， 即或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，换元法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 【例2-2】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）为了解方程， 我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得 当时，． 当时，． 故原方程的解为． 请借鉴上面的方法解方程． 【答案】 【分析】解方程，应将看作一个整体，利用换元法解； 【详解】解：设，则， 原方程可变为， ， ； 当时，， 即， ； 当时，， 即 此方程无解； 故原方程的解为． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，属于中考常考题型． 【例2-3】（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以原方程的解为，． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； 【详解】解：设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，称为换元法，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，解得，．当时，则，无实数根；当时．即，则，． 根据上述方法，完成下列问题： (1)设，将方程转化为一元二次方程，得________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)该方程的解为，，， 【分析】（1）根据题意化简即可； （2）设，然后解关于y的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程； 【详解】（1）解：， 故转化为一元二次方程为：； 故答案为：． （2）设，则原式左边． 故原方程可化为． 因式分解，得，即或， 解得，． 当时，则，解得，． 当时，则，解得，． 综上，该方程的解为，，，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． 【变式2-3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则可把原方程转化为，再利用因式分解解方程，再把的值代入，再解方程并检验即可； （2）设，原方程可变形为：， 利用因式分解的方法求解，再代入，再解方程即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程转化为， 解得，，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴，即， 解得，，． （2）设， 原方程可变形为：， 因式分解为：． ∴或，    ∴或， 对于方程，解得，， 对于方程，∵， ∴此方程无解， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题考查的是利用换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练的进行换元是解本题的关键 题型03拆项分组法解一元二次方程 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，正确拆项，拆项、分组，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解： 或 【例3-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程移项后提取公因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ． 【例3-3】（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）阅读后解答问题，解方程：． 解：， 拆项，分组得， 提公因式，得， 再提公因式，得， 所以或． 即． 运用以上因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】此题要求学生学以致用，要按照要求解题，解题的关键是正确拆项，拆项、分组得，找到公因式，提公因式即可解得． 【详解】解：， 拆项，分组得， 提公因式， 再提公因式得， 即， ． 【点睛】此题考查了学生的分析能力与学以致用的能力，解此题的关键是正确拆项 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方法，正确拆项、分组，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴或， ∴； （2）， 整理得：， ∴， 或， 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$