第16讲 重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题 （三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第16讲 重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题 目录 题型归纳 1 题型01 在R上的恒成立问题 2 题型02 在给定区间上恒成立的问题 4 题型03 简单的能成立问题 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 题型01 在R上的恒成立问题 【解题策略】 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 【典例分析】 【例1】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 【变式演练】 【变式1】若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2>0的解集为∅，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【变式3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 题型02 在给定区间上恒成立的问题 【解题策略】 在给定区间上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. (2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 【典例分析】 【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【变式2】设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围为________． 【变式3】若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______． 题型03 简单的能成立问题 【解题策略】 能成立问题的解题思路 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围 【典例分析】 【例3】若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 【变式演练】 【变式1】若关于x的不等式ax2＋x＋1>0在x∈[1,2]上有解，则实数a的取值范围为________． 【变式2】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（2023高一·全国·单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·甘肃金昌·期中）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 3．（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 8．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 9．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 11．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南·期中）“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川内江·期中）“”是“，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（21-22高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·四川广安·期末）“，”为真命题的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 7．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 10．已知对∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 11．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 12．（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（20-21高一下·四川绵阳·期中）若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是 3．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为 . 三、解答题 4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围． 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数． (1)若对，有成立，求实数a的取值范围； (2)若，都有，求实数a的取值范围． 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题 目录 题型归纳 1 题型01 在R上的恒成立问题 2 题型02 在给定区间上恒成立的问题 4 题型03 简单的能成立问题 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 14 创新拓展 20 题型01 在R上的恒成立问题 【解题策略】 转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 【典例分析】 【例1】　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． (2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}． 【变式演练】 【变式1】若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2>0的解集为∅，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵kx2＋3kx＋k－2>0的解集为∅， ∴kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R， 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意； 当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0， 综上，k的取值范围为. 【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1), (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知，进而求出实数的取值范围； （2）根据和两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）若不等式的解集为R， 则， 解得， 即实数的取值范围,； （2）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为， ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为 题型02 在给定区间上恒成立的问题 【解题策略】 在给定区间上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. (2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 【典例分析】 【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案　{m|m<－5} 解析　令y＝x2＋mx＋4. ∵y<0在1≤x≤2上恒成立． ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 ∴m的取值范围是{m|m<－5}． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式2】设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案　 解析　y<－m＋5在1≤x≤3上恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝2＋>0， ∴m<. 令t＝＝， t在1≤x≤3上的最小值为， ∴只需m<即可． 故实数m的取值范围为. 【变式3】若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______． 答案　{a|a<0} 解析　ax2－x－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，等价于a<＝＋在－1≤≤－上恒成立，令m＝，即a<3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立，二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－，所以当m＝－时，y有最小值0，故a<0. 题型03 简单的能成立问题 【解题策略】 能成立问题的解题思路 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围 【典例分析】 【例3】若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}． 【变式演练】 【变式1】若关于x的不等式ax2＋x＋1>0在x∈[1,2]上有解，则实数a的取值范围为________． 答案　(－2，＋∞) 解析　由ax2＋x＋1>0，得ax2>－x－1， 因为x∈[1,2]，所以a>－－有解， 令＝t，则t∈，所以a>－t2－t， 即a>－2＋， 因为当t∈时，y＝－2＋的最小值为－2＋＝－2，所以a>－2. 【变式2】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将存在，使得不等式成立转化为存在，使得不等式成立，然后根据二次函数的单调性求最小值即可得到的范围. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以存在，使得不等式成立， 令，因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以． 故答案为： 【变式3】（2023高一·全国·单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围． 【答案】或 【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为. 设， 当时，恒成立，满足题意； 当时，恒成立，不满足题意； 当时，函数单调递增， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，或； 当时，函数单调递减， 要使不等式成立，则应有， 即有， 解得，. 综上所述，x的取值范围为或. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一上·甘肃金昌·期中）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得且，不等式等价于，即可解决. 【详解】由题知，不等式的解集是， 所以且， 因为可变为， 所以， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：C. 2．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】解不等式，转化为不等式的解集为的子集可得答案. 【详解】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 3．（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，求解恒成立时的范围，即可根据命题的否定求解原问题的范围. 【详解】若关于x的不等式在上没有实数解， 则对任意的，恒成立， 记，则，解得， 因此关于x的不等式在上有实数解，则， 故选：A 4．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可. 【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意； 当时, ,解得,综上. 故选:C. 二、多选题 5．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 6．（23-24高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围，再结合充分不必要条件的定义即可. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当时，则必有且，解之得， 综上a的取值范围为，显然及均为的真子集， 即选项B，C满足条件． 故选：BC 三、填空题 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为是一元二次不等式，所以， 又对一切实数成立， 所以，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 8．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解. 【详解】当时，，不等式成立. 当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立. 当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 9．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分类讨论，结合一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，记，为二次函数，对称轴为， 当时，由，得， 由题意得，解得； 当时，由，得， 由题意得，解得， 综上，. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. （2），即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 11．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可. （2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可. 【详解】（1）因为一元二次不等式的解集为， 所以和1是方程的两个实根，则， 解得．因此所求不等式即为：，解集为或． （2）可化为：，当时显然成立； 当时，对恒成立， 令，则， 当，即时， 所以，即 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 2．（23-24高一上·河南·期中）“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件. 【详解】“，”为假命题“，”为真命题， 所以恒成立， 设，由，则， 故“，”为真命题. 选项A，， 即是“，”为假命题的一个既不充分又不必要条件， 故A不正确； 选项B，因为，但， 所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件， 故B正确， 选项C，是“，”为真命题的一个充要条件， 故C不正确； 选项D，， 是“，”为真命题的一个必要条件不充分条件， 故D不正确. 故选：B． 3．（23-24高一上·四川内江·期中）“”是“，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据恒成立问题求参，再结合充分必要的定义判断即可。 【详解】,可得单调递减，单调递增， ,所以, 所以. 不能推出,可以得出，是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（21-22高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一上·四川广安·期末）“，”为真命题的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】变形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，从而得到，分析四个选项，得到AB满足要求. 【详解】，恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故， 由于和均为的真子集，故AB正确，CD不合要求. 故选：AB 6．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立问题，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】由题知，是真命题， 当，即时，恒成立，时，不恒成立； 当时，，解得，综上得， 故选：AB. 三、填空题 7．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案. 【详解】开口向下， 要想在上恒成立，只需， 解得， 故实数的取值范围是 故答案为： 8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知当时，符合题意； 当时，则 则实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据给定，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再求其补集得解. 【详解】若原命题为真，由，即，得，解得， 所以该命题为假，故实数的取值范围是或. 故答案为：或 四、解答题 10．已知对∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解　由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. 11．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 解　y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0. ∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<恒成立， ∴x2－x＋1<⇔x2－x－1<0 ⇔<x<. ∴x的取值范围为. 12．（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式的性质可知方程的两根为，再由韦达定理可解. （2）由二次函数的性质可得关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为， 由韦达定理可知，解得，经检验满足题设. （2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数的图象列不等式，解不等式即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：D. 二、填空题 2．（20-21高一下·四川绵阳·期中）若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是 【答案】或 【分析】令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以 令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为 故答案为： 3．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用变换主元法将一元二次不等式恒成立转化为一元一次不等式即可求解. 【详解】解：令 由条件对于满足的所有的值都成立，即 则，即 解得： 所以的取值范围为： 故答案为： 三、解答题 4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围． 解　因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立， 所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立， 即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得， Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}． 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数． (1)若对，有成立，求实数a的取值范围； (2)若，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判别式大于零即可；（2）讨论对称轴和变量的范围之间的关系，求出函数的最小值，令最小值大于，解出不等式即可. 【详解】（1）因为， 则， 解得或， 故实数的范围为. （2）由题可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时， 时，， 则恒成立； 当，即时， 时，， 则，解得 当，即时， 时，， 则，不成立， 综上可知，实数a的取值范围为. 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为； （2）由，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$