第15章 分式 习题课件-2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十五章　分式 一、分式的基本性质 1．分式与的最简公分母是(　　) A．x4－y4 B．(x＋y)2(x2－y2) C．(x－y)4 D．(x＋y)2(x－y) D 2．如果分式的值为0，那么x的值为___. 3．把分式中的a和b都扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍 2 C 4．(2023·广州番禺区期末)运用分式的知识，解决以下问题： (1)当x＞0时，随着x的增大，的值______(填“增大”或“减小”)； (2)当x＞0时，若x无限增大，则的值无限接近一个数，这个数为___. 减小 3 二、分式的运算 【考点1】分式的混合运算 5．已知x2＋2x－2＝0，计算÷的值是_____. 6．若2x－y＋4z＝0，4x＋3y－2z＝0.则 的值为_______. 7．若a2＋3a＋1＝0，则＝__________. －1 － － 8．先化简÷，然后从－1，1，－2，2中选一个合适的数代入求值. 解：原式＝× ＝× ＝x＋1. ∵x＋1≠0，x＋2≠0，x－2≠0， ∴x≠－1，x≠－2，x≠2. ∴当x＝1时，原式＝1＋1＝2. 9．已知方程 ＋＋＋＝0，计算(1＋a)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8). 解：∵＋＋＋ ＝＋＋＋－ ＝＋＋＋－ ＝＋＋－ ＝＋－ ＝－， ∴－＝0，即＝. ∴＝16. ∵(1－a)(1＋a)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8) ＝(1－a2)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8) ＝(1－a4)(1＋a4)(1＋a8) ＝(1－a8)(1＋a8) ＝1－a16， ∴(1＋a)(1＋a2)(1＋a4)(1＋a8)＝＝16. 【考点2】整数指数幂 10．某通信技术公司在测试5G网速时，发现其下载一个1 KB的文件用时0.000 003 8 s，若下载一个m KB的文件所用的时间可以用科学记数法表示为n×10－5 s，则m的值可以是(　　) A．2 B．20 C．200 D．2 000 B 11．已知x2＋y2＋2x－6y＋10＝0，则yx＝(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 12．已知a＝－22，b＝(－2)－2，c＝，d＝，把a，b，c，d按从小到大的顺序排列为(　　) A．a＜b＜d＜c B．a＜c＜b＜d C．a＜d＜b＜c D．d＜c＜b＜a C A 三、分式方程 【考点1】解分式方程 13．用换元法解方程＋＝3时，如果设＝y，那么可以得到一个关于y的整式方程，该方程是(　　) A．y2－3y－1＝0 B．y2＋3y－1＝0 C．y2－3y＋1＝0 D．y2＋3y＋1＝0 C 14．(2023·深圳高级中学二模)对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb＝，例如： 1θ2＝.则xθ(－2)＝－2的解是__________. 15．若关于x的不等式组无解，且关于y的方程＋＝1的解为正分数，则符合题意的所有整数a的和为___. x＝－3.5 3 16．解方程： ①＝－1的解是x＝0； ②＝－1的解是x＝1； ③＝－1的解是x＝2； ④＝－1的解是x＝___. (1)请完成上面的填空； 3 (2)根据你发现的规律写出第⑤个方程和它的解； 解：⑤＝－1的解是x＝4. (3)请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解. 解：由题意，得第n个式子为＝－1，它的解是x＝n－1. 17．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程＝1的解为正数，求a的取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路. 小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x＝a＋4，由题目可得a＋4＞0，所以a＞－4，问题解决. 小聪说：你考虑的不全面，还必须保证a≠0才行. (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是_________________ ____； 小聪 分式的分母不能 为0 (2)已知关于x的方程－＝2的解为非负数，求m的取值范围； 解：方程两边乘x－3， 得m＋x＝2(x－3). 解得x＝m＋6. ∵关于x的方程－＝2的解为非负数， ∴m＋6≥0，且x－3≠0，即m＋6≠3. ∴m≥－6且m≠－3. (3)若关于x的方程＋＝－1无解，求n的值. 解：方程两边乘x－3， 得3－2x＋nx－2＝－(x－3). 解得x＝. ∵原方程无解， ∴n－1＝0或x＝3. 当n－1＝0时，解得n＝1 . 当x＝3时，＝3.解得n＝. 综上所述，n的值为1或. 【考点2】分式方程的实际应用 18．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：＋＝1，则方案③中被墨水污染的部分应该是(　　) A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的 A 19．端午节前夕，某商家预测某种水果能够畅销，就用3 000元购进了一批这种水果，上市后销售非常好，商家又用8 000元购进第二批这种水果，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每斤进价多了2元. (1)求第一批该种水果的进价. 解：设第一批水果的进价为x元/斤，则第二批这种水果的进价为(x＋2)元/斤. 由题意，可得＝2×.解得x＝6. 检验：当x＝6时，x(x＋2)≠0. ∴x＝6是原分式方程的解，且符合题意. 答：第一批该种水果的进价为6元/斤. (2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10％腐坏，不能售卖.该商家将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于3 000元，则每斤这种水果的售价至少是多少元？ 解：设每斤这种水果的售价为y元. 由题意，得y－(3 000＋8 000)≥3 000. 解得y≥10. 答：每斤这种水果的售价至少是10元. 20．(2023·汕头金平区期末)列方程或不等式解应用题： 小公园某商铺贩卖关于小公园文化的纪念明信片和钥匙扣，若一个钥匙扣的进价比一份纪念明信片的进价少1元，且用120元购进纪念明信片的数量与用100元购进钥匙扣的数量相同. (1)一份纪念明信片和一个钥匙扣的进价分别是多少元？ 解：设一个钥匙扣的进价为x元，则一份纪念明信片的进价为(x＋1)元. 由题意，得＝.解得x＝5. 检验：当x＝5时，x(x＋1)≠0. ∴x＝5是原分式方程的解，且符合题意. ∴x＋1＝6. 答：一个钥匙扣的进价为5元，一份纪念明信片的进价为6元. (2)若该商铺购进纪念明信片的数量比钥匙扣的数量的3倍还少4个，且购进纪念明信片和钥匙扣两种商品的总数量不超过100个，则商铺最多购进钥匙扣多少个？ 解：设购进钥匙扣a个，则购进纪念明信片(3a－4)份. 由题意，得a＋3a－4≤100.解得a≤26. 答：商铺最多购进钥匙扣26个. (3)在(2)的条件下，如果一份纪念明信片的售价是12元，一个钥匙扣的售价是9元，且将购进的纪念明信片和钥匙扣两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过480元，那么该商铺购进纪念明信片和钥匙扣两种商品有哪几种方案？ 解：由题意，得(9－5)a＋(12－6)(3a－4)≥480. 解得a≥22.∵a≤26，∴22≤a≤26. ∵a为整数，∴a的值为23或24或25或26. ∴有4种方案. 方案一：购进钥匙扣23个，纪念明信片65份； 方案二：购进钥匙扣24个，纪念明信片68份； 方案三：购进钥匙扣25个，纪念明信片71份； 方案四：购进钥匙扣26个，纪念明信片74份. 【考点3】分式方程的综合应用 21．(2023·汕尾海丰县期末)数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：－＝－.因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如15，5，3也是一组调和数.现有一组调和数：x，3，2(x＞3)，则x＝___. 6 22．互不重合的A，B，C三点在同一直线上，已知AC＝，BC＝，AB＝，这三点的位置关系是(　　) A．点A在B，C两点之间 B．点B在A，C两点之间 C．点C在A，B两点之间 D．无法确定 B 23．如图，已知A(0，a)，B(2a，0)，且的值为0. (1)求A，B两点的坐标； 解：∵的值为0， ∴－4＝0，且a2＋8a＋16≠0. 解得a＝4. ∴A(0，4)，B(8，0). (2)若点C与点B关于y轴对称，点M在第二象限，点D在y轴上，△ABC≌△MDA，求OD的长. 解：∵点C与点B关于y轴对称， ∴C(－8，0). ∴BC＝8－(－8)＝16. ∵△ABC≌△MDA，∴BC＝DA＝16. ∵A(0，4)，∴OA＝4. ∴OD＝DA＋OA＝16＋4＝20. 24．已知a＞3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2＋6a，C＝a3－4a2＋4a. (1)在A，B，C中任选一个代数式因式分解； 解：A＝2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2). (或B＝3a2＋6a＝3a(a＋2)， 或C＝a3－4a2＋4a＝a(a2－4a＋4)＝a(a－2)2.) (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式. 解：选A作为分子，B作为分母，则＝＝＝. (或选B作为分子，A作为分母，则＝＝＝； 或选A作为分子，C作为分母，则＝＝＝； 或选C作为分子，A作为分母，则＝＝＝； 或选B作为分子，C作为分母，则＝＝＝； 或选C作为分子，B作为分母，则＝＝ 25．阅读理解，并解决问题 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得等式＝成立(即a，b，c，d成比例).并对＝证明如下： 证明：∵＝，∴＋1＝＋1. ∴＝. 问题解决： (1)直接写出一组使得等式＝成立的a，b，c，d的值； 解：a＝3，b＝2，c＝6，d＝4.(答案不唯一) (2)若＝，求的值； 解：∵＝， ∴＋1＝＋1. ∴＋＝＋. ∴＝. (3)解分式方程：＝. 解：∵＝，∴－1＝－1. ∴－＝－. ∴＝. ∴3x＋1＋2x－2＝0，解得x＝. 检验：当x＝时，(3x＋1)(2x－2)≠0. 所以，原分式方程的解为x＝. 26．观察下列式子：＝1－，＝－，＝－，…… (1)请写出第五个式子：. (2)请用字母n写出第n个式子，并加以证明. 证明：∵等式左边＝＝－＝－， 等式右边＝－， ∴＝－. ＝－ ＝－ (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1 L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒 L水，第2次倒出的水量是 L的，第3次倒出的水量是 L的，第4次倒出的水量是 L的，…，第n次倒出的水量是 L的.按照这种倒水方法，求倒n次倒出的总水量有多少升？ 解：1×＋×＋×＋…＋× ＝＋＋＋…＋ ＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝1－ ＝(L). ∴倒n次倒出的总水量有 L. 27．综合与探究 我们把形如x＋＝a＋b(a，b不为0)，且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”. 例如：x＋＝4为“十字分式方程”，可化为x＋＝1＋3，∴x1＝1，x2＝3. 再如：x＋＝－6为“十字分式方程”，可化为x＋＝(－2)＋(－4)，∴x1＝－2，x2＝－4. 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若x＋＝－7为“十字分式方程”，则x1＝_____，x2＝_____； －3 －4 (2)若“十字分式方程”x－＝－3的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求＋的值； 解：由题意，得mn＝－6，m＋n＝－3， ∴＋＝＝＝＝－. (3)若关于x的“十字分式方程”x－＝2k－8的两个解分别为x1，x2(k＞0，且x1＞x2)，求的值. 解：原方程可变形为x＋3－＝2k－5， ∴x＋3＋＝3k＋(－k－5). ∵k＞0，且x1＞x2，∴x1＋3＝3k，x2＋3＝－k－5. ∴x1＝3k－3，x2＝－k－8. ∴＝＝＝－3. $$