第05讲 可化为一元一次方程的分式方程（4大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第05讲 可化为一元一次方程的分式方程 课程标准 学习目标 1. 分式方程的概念及解法 2. 分式方程的增根 3. 分式方程的应用 1.熟练地解可化为一元一次方程的分式方程; 2.会在实际问题中，建立方程模型，并解决问题; 知识点01 分式方程的概念 有理数乘方的意义 : 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【即学即练1】 1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 方法归纳：分式方程与整式方程的区别是:分式方程的分母中含有未知数,而整式方程的分母中不含有未知数或方程中无分母. 知识点02 分式方程的解法 1. 去分母,即把分式方程两边都同乘分式方程各分式的最简公分母,化为整式方程, 2. 解整式方程. 3. 验根,作结论.验根的方法是把所得整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母为0的根是原分式方程的增根,应舍去;最简公分母不为0的根是原分式方程的根. 【即学即练1】 1.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2) 【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可； （2）根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 易错提醒：解分式方程常犯的四种错误(1)去分母时漏乘;(2)忽视分数线的括号作用;(3)漏掉检验;(4)丢根. 知识点03 分式方程的增根 把分式方程化为整式方程后求得的根代入最简公分母中,如果使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根,称它是原分式方程的增根. 【即学即练1】 1.若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：B． 方法总结：当分式方程无解时可能存在两种情况:(1)原分式方程存在增根;(2)原分式方程去分母后,整式方程无解.本题中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程为一元一次方程,必定有解,所以是第一种情况. 知识点04 分式方程的实际应用 1.工作量=工作效率x工作时间;. 2.路程=速度X时间. 【即学即练1】 1.2024年宁夏银川西部“影视城”厚积薄发，“五一”期间旅游业火爆出圈．影视城某纪念品经销店购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ 【答案】A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元． 【分析】本题主要考查分式方程，读懂题意列出方程是解题的关键．设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案； 【详解】（1）解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元． 方法总结：列方程的关键是要先找到等量关系,再依题意列方程,列分式方程解应用题,一定要注意检验两方面:验根和验题意. 题型01 分式方程的定义 【典例1】下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 【变式1】对于分式，下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式的值为正数 D．分式的值可能为1 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，解分式方程等知识．熟练掌握分式有意义的条件，分式的值，解分式方程是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分式的值，解分式方程对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中时，分式值为0，正确，故不符合要求； B中时，分式无意义，正确，故不符合要求； C中时，，分式的值为正数，正确，故不符合要求； D中令，解得，此时方程无解，分式的值不可能为1，错误，故符合要求； 故选：D． 【变式2】有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 【变式3】请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 题型02 解分式方程 【典例1】分式方程 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 去分母得，， 解得：． 检验：， 是原方程的解． 故选：B． 【典例2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，以及分式方程有意义的条件，解分式方程得出，根据分式方程有意义的条件可得出，即，根据分式方程的解为负数可得出，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 则，且，即 又∵ ∴，且 ∴且． 故选：D． 【变式1】分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，需要注意分式方程需要检验．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得： 解得： 检验，当时， 所以原方程的解为： 故答案为：． 【变式2】若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程的解的意义，将方程的解代入原方程是解题的关键． 将方程的解代入原方程，解关于的方程即可求得结论． 【详解】解：∵关于的分式方程的解为， ， ， ， 将代入原方程，， ∴是原方程的解， ， 故答案为：2． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论； （2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 题型03 分式方程无解的问题 【典例1】若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， 关于的分式方程无解， ，解得； 综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2， 故选：C． 【变式1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根问题．根据题意变形为整式方程，再将增根代入即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∵是方程的增根， ∴，解得：， 故选：A． 题型04 应用分式方程解决生活实际问题 【典例1】植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，依题意得到，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 依题意得，， 故选：A． 【典例2】某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． (1)求商店4月份购进T恤衫多少件？ (2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 【答案】(1)80件 (2)4160元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题 （1）设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件，4月份每件进价为元，5月份每件进价元，根据“每件进价涨了2.5元”即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据利润等于销售收入减去进价总计即可列式求解． 【详解】（1）解：设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：商店4月份购进T恤衫80件． （2）解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件） （元） 答：商店共获毛利润4160元． 【变式1】某工厂接到加工7200件衣服的订单，由于客户要求提前2天交货，因此工厂每天比原计划多做40件，恰好按时完成订单，若设原计划每天做件，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设原计划每天做件，则实际每天做件，根据题意列出分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天做件，则实际每天做件， 根据题意可得：， 故选：B． 【变式2】某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． (2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． (3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题干信息设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”列出方程即可； （2）根据题干信息设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，列出方程即可； （3）根据解析（1）列出的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 故答案为：； （2）解：设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据题意得： ； 故答案为：； （3）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得： ； 解得：， 经检验得：是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运产品． 1．下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中含有未知数，故是分式方程； ②分母中不含有未知数，故是整式方程； ③分母中含有未知数，故是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 2．方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的思路（转化为整式方程求解，然后再检验）成为解题的关键． 先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得： 经检验，是分式方程的解． 故选A． 3．已知一个分式（m为整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（    ） ①； ②若，则m的值为2； ③已知第四次操作后得到的分式可以化为整数，则m的值共有6个， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简，解分式方程． ①按照定义即可得解；②按照定义得到分式方程，即可求解；③根据定义得出第四次操作后的分式，再化简成一个整式与一个分式的和，得出是整数，即可得出答案． 【详解】解：①根据定义可得：，故①正确； ②由题意得，解得，经检验：是方程的解，故②正确； ③根据定义可得：， ∵第四次操作后得到的分式可以化为整数， ∴是整数， ∵m为整数， ∴可以取，，，， ∴m可以取17，，，，3，，，八个整数，故③不正确． 综上，①②正确， 故选：C． 4．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程，把原方程变为，把代入后整理即可得到答案. 【详解】解： 由得，， 设， 可化为，， ∴ ∴ 故选：D 5．对于分式，有下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，； 结论三：若，则． 其中正确的结论是（    ） A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、解分式方程，将代入分式计算即可判断结论一；根据得分式方程，求解即可判断结论二；分式和化为，再根据得，即可判断结论三． 【详解】解：当时，，则分式无意义，故结论一不符合题意； 当时，即，解得：， 检验，当时，则是分式方程得解，故结论二符合题意； ， 若，则，即， ∴，故结论三不符合题意； 综上，正确的结论是结论二， 故选：B． 6．已知关于x的分式方程的解为正数，则非负整数m的所有个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得不等式，解不等式，可得答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项、合并，得：， ∵分式方程的解为正数， ， ， 解得：且， ∴非负整数解有0，1，2，4共4个， 故选：B． 7．若关于x分式方程，有增根，则m的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，先把分式方程去分母可得，再把分式方程的增根代入进行计算即可． 【详解】解：去分母，得， 化简得， ∵关于x分式方程有增根， ∴增根为， 把代入，得， 故选：B． 8．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根问题．根据题意变形为整式方程，再将增根代入即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∵是方程的增根， ∴，解得：， 故选：A． 9．关于的分式方程无解，则的取值是（    ） A．4 B．0或 C．或4 D．0或或4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C 10．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意，得：， 故选：A． 11．天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式方程，设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据返程比去时多用了，列出方程即可． 【详解】解：设马老师去时的平均速度为，则返程时的平均速度为，根据题意得： ， 故选：D． 12．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，列出方程即可． 【详解】解：设读前一半时，平均每天读x页，则读后一半时平均每天读页，由题意，得：，即：； 故选C． 13．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 14．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的加法、解分式方程，熟练掌握分式的加法运算法则，正确得到化简结果是解答的关键． 先根据分式的加法运算法则化简分式，再根据计算结果确定x值即可． 【详解】解： ， 由题意，， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴图中被污染的x的值是5 故答案为：5 15．关于的分式方程． （1）若这个方程的解为，则的值为 ； （2）若这个方程无解，则的值为 ． 【答案】 5 3或7 【分析】（1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答． （2）无解分分式方程有增根和去分母后的整式方程无解两种情况，进行列式代入数值，进行计算即可． 本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：5； （2） ，且该方程无解， 或者原分式方程的分母为0，即， ， 把代入，得， ， 综上：或，方程无解． 故答案为：3或7． 16．当 时，关于的分式方程的解为正数． 【答案】且 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式，求的取值范围即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解： ， ， ∴， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：， ∵且 ∴且， 综上可知：且， 故答案为：且． 17．已知关于x的分式方程． （1）当时，方程的根是 ； （2）若该方程的解是非负数，且满足，则所有满足条件的偶数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解等知识点，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． （1）把代入方程，再方程两边都乘得出整式方程求解解，最后再进行检验即可； （2）先求出方程的解，根据方程的解是非负数以及，然后求出a的取值范围，再确定所有偶数的值，最后求和即可． 【详解】解：（1）当时，方程为， 方程两边都乘，可得：，解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：； （2）方程两边都乘，得，解得：且，即， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴所有满足条件的偶数的值为， ∴. 故答案为：． 18．若关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．先求出，再根据原分式方程有增根可得，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为： 19．某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米分，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，且设乙同学的速度是米分， 甲同学的速度是米分． 根据题意得：． 故答案为：． 20．某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，根据题意找出等量关系是解题关键．根据机器台数不变，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件列方程即可． 【详解】解：设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品， ∵机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件， ∴， 故答案为： 21．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 【答案】甲每小时比乙数少做6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙每小时做个，则甲每小时做个，根据甲乙的工作时间相同，可列方程． 【详解】解：根据方程可得设乙每小时做个，甲每小时做个， ∴被墨迹弄污的条件应是甲每小时比乙数少做6个， 故答案为：甲每小时比乙数少做6个． 22．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 23．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， ， ， 解得，， 经检验，不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 24．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，即可求出 m的值． 【详解】（1）解：去分母得 ， 解得 ， 经检验：是方程的解； （2）解：去分母得 ，即 ，              当时，即时，整式方程无解，符合题意； 当时，则 ∴或， ∴或，       综上所述，或或. 25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为， 方程两边同时乘以得 ∵是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得 ∴，原分式方程中“？”代表的数是． 26．已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增根的条件可得增根为或，即可求解； （2）由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得当时，x无意义即无解，即可求解． 【详解】（1）解：化成整式方程得，， 即， 若该方程有增根，则增根为或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，当或时，该方程有增根； （2）解：由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解， 去分母后的整式方程为：， 当时，即时，x无意义即无解， 综上知：若原分式方程无解，则或或． 27．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，甲施工队单独修建该项工程比乙施工队单独修建该项工程提前4天完成．求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ 【答案】甲施工队每天修，乙施工队每天修 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设乙施工队每天修，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙施工队每天修， 由题意得：，     解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ；     答：甲施工队每天修，乙施工队每天修． 28．端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的肉粽数量是蛋黄粽数量的，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多元． (1)求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元； (2)端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少195元，求a的值． 【答案】(1)每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为元 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元，利用数量总价单价，结合用600元所购肉粽数量是用600元所购蛋黄粽数量的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出每个蛋黄粽的进价，再将其代入中即可求出每个肉粽的进价； （2）利用数量总价单价，可求出购进肉粽和蛋黄粽的数量，利用少赚的总利润每个少赚的利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】（1）解：设每个蛋黄粽的进价为元，则每个肉粽的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个肉粽的进价为2元，每个蛋黄粽的进价为元． （2）解：购进蛋黄粽的数量为(个)， 购进肉粽的数量为(个)． 依题意得：， 解得：． 答：的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 可化为一元一次方程的分式方程 课程标准 学习目标 1. 分式方程的概念及解法 2. 分式方程的增根 3. 分式方程的应用 1.熟练地解可化为一元一次方程的分式方程; 2.会在实际问题中，建立方程模型，并解决问题; 知识点01 分式方程的概念 有理数乘方的意义 : 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【即学即练1】 1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 方法归纳：分式方程与整式方程的区别是:分式方程的分母中含有未知数,而整式方程的分母中不含有未知数或方程中无分母. 知识点02 分式方程的解法 1. 去分母,即把分式方程两边都同乘分式方程各分式的最简公分母,化为整式方程, 2. 解整式方程. 3. 验根,作结论.验根的方法是把所得整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母为0的根是原分式方程的增根,应舍去;最简公分母不为0的根是原分式方程的根. 【即学即练1】 1.解方程： (1)； (2)． 易错提醒：解分式方程常犯的四种错误(1)去分母时漏乘;(2)忽视分数线的括号作用;(3)漏掉检验;(4)丢根. 知识点03 分式方程的增根 把分式方程化为整式方程后求得的根代入最简公分母中,如果使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根,称它是原分式方程的增根. 【即学即练1】 1.若关于x的方程无解，则m的取值为（    ） A． B． C． D． 方法总结：当分式方程无解时可能存在两种情况:(1)原分式方程存在增根;(2)原分式方程去分母后,整式方程无解.本题中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程为一元一次方程,必定有解,所以是第一种情况. 知识点04 分式方程的实际应用 1.工作量=工作效率x工作时间;. 2.路程=速度X时间. 【即学即练1】 1.2024年宁夏银川西部“影视城”厚积薄发，“五一”期间旅游业火爆出圈．影视城某纪念品经销店购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ 方法总结：列方程的关键是要先找到等量关系,再依题意列方程,列分式方程解应用题,一定要注意检验两方面:验根和验题意. 题型01 分式方程的定义 【典例1】下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】对于分式，下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式的值为正数 D．分式的值可能为1 【变式2】有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【变式3】请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 题型02 解分式方程 【典例1】分式方程 的解是（     ） A． B． C． D． 【典例2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【变式1】分式方程的解为 ． 【变式2】若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 题型03 分式方程无解的问题 【典例1】若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 【变式1】若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 题型04 应用分式方程解决生活实际问题 【典例1】植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． (1)求商店4月份购进T恤衫多少件？ (2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 【变式1】某工厂接到加工7200件衣服的订单，由于客户要求提前2天交货，因此工厂每天比原计划多做40件，恰好按时完成订单，若设原计划每天做件，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______． (2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________． (3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 1．下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．已知一个分式（m为整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（    ） ①； ②若，则m的值为2； ③已知第四次操作后得到的分式可以化为整数，则m的值共有6个， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 5．对于分式，有下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，； 结论三：若，则． 其中正确的结论是（    ） A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二 6．已知关于x的分式方程的解为正数，则非负整数m的所有个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若关于x分式方程，有增根，则m的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 8．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 9．关于的分式方程无解，则的取值是（    ） A．4 B．0或 C．或4 D．0或或4 10．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 11．天龙山公路，高低落差较大，全长，被誉为“云端上的公路”．爱旅游的马老师自驾游览天龙山公路，已知返程时的平均速度比去时慢，结果返程比去时多用了，求马老师去时的平均速度．设马老师去时的平均速度为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 14．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ． 15．关于的分式方程． （1）若这个方程的解为，则的值为 ； （2）若这个方程无解，则的值为 ． 16．当 时，关于的分式方程的解为正数． 17．已知关于x的分式方程． （1）当时，方程的根是 ； （2）若该方程的解是非负数，且满足，则所有满足条件的偶数的值之和为 ． 18．若关于的分式方程有增根，则 ． 19．某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 20．某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为 ． 21．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 三、解答题 22．解方程：． 23．解方程： (1)； (2)． 24．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 25．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 26．已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 27．某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，甲施工队单独修建该项工程比乙施工队单独修建该项工程提前4天完成．求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ 28．端午节期间，某商店老板用600元购进一批蛋黄粽，又用600元购进了一批肉粽，所购进的肉粽数量是蛋黄粽数量的，且每个肉粽的进价比每个蛋黄标的进价多元． (1)求每个肉粽的进价和每个蛋黄粽的进价分别是多少元； (2)端午节当天，老板分别以每个5元、每个4元的价格销售肉粽和蛋黄粽，当肉粽售出，蛋黄粽售出后，为了尽快售完，老板决定将肉粽的单价下降，蛋黄粽的单价下降，刚好卖完时，老板的总利润比原计划少195元，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$