第04讲 直线的两点式方程（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 直线的两点式方程 课程标准 学习目标 ①理解与掌握两点确定一条直线的公 理。 ②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。 ③理解与掌握直线的截距式方程的公式 及其条件，并能应用公式求直线的方程。 通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题. 知识点01：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 知识点02：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 【即学即练2】（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 题型01直线的两点式和截距式方程辨析 【典例1】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）下列说法中错误的是（   ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【典例2】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【变式1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【变式2】（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解） 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）经过两点，的直线方程是 . 【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为 . 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 题型03直线的截距式方程 【典例1】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（23-24高二上·山东济宁·期中）坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 . 【典例3】（23-24一年级·全国·单元测试）直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍，求直线的方程． 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（      ） A．4条 B．2条 C．3条 D．1条 【变式2】（23-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的截距式方程． 题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【典例1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 【典例2】（23-24高一下·江苏南京·开学考试）求分别满足下列条件的直线l的方程． （1）经过直线和直线的交点且与直线垂直； （2）与直线平行且与坐标轴围成的三角形面积为． 【变式1】（23-24高一上·甘肃张掖·期末）求过点且分别满足下列条件的直线方程 （1）在两个坐标轴上的截距相等. （2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12. 【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程. 【变式3】（23-24高一下·江西九江·期末）（1）设直线的方程为.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）过直线：上的点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程. 题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【典例1】（23-24高三·全国·课后作业）过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为 ． 【典例3】（23-24高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【变式1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，此时的直线方程为 ． 【变式2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）已知点M为直线与直线在第一象限的交点，经过点M的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，则当取得最小值为时，a的值为 . 【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使面积最小的点的坐标. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（21-22高二·全国·课后作业）过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是（　　） A． B． C． D． 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 7．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高二上·江苏无锡·期中）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 12．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，斜率为0； (4)斜率为，在y轴上的截距为； (5)斜率为，与x轴交点的横坐标为. 14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． B能力提升 1．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 3．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线的两点式方程 课程标准 学习目标 ①理解与掌握两点确定一条直线的公 理。 ②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。 ③理解与掌握直线的截距式方程的公式 及其条件，并能应用公式求直线的方程。 通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题. 知识点01：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 知识点02：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 【即学即练2】（23-24高二上·江苏南通·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据直线的截距式方程即可求解. 【详解】由可得，所以在轴上的截距为， 故选：B 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 题型01直线的两点式和截距式方程辨析 【典例1】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）下列说法中错误的是（   ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【分析】 根据两直线的位置关系判断B、D，根据截距式方程的定义判断A，根据两点式方程判断C. 【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； 对于B：和的斜率有可能不存在，故B错误； 对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确； 对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于轴， 直线斜率存在，但不一定斜率为，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD 【典例2】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 【变式1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解. 【详解】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确． 故选：ABC. 【变式2】（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，当时，斜率不存在，故B错误； 对于C，当直线过原点时，直线方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线直线在y轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解） 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）经过两点，的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据直线的两点式即可求解. 【详解】根据直线的两点式方程得，整理得. 故答案为： 【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【答案】，， 【分析】根据直线的两点式，斜截式及截距式方程求解即可. 【详解】直线AB过，两点， 由直线的两点式方程，得，即， 所以直线AB的方程为； 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是， 由直线的斜截式方程，得，即， 所以直线BC的方程； 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是，2， 由直线的截距式方程，得，即， 所以直线AC的方程． 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，将代入直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】答案见解析 【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式. 【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先求得线段BC的中点D的坐标，再代入直线的两点式方程即可解决. 【详解】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为． 又BC边上的中线经过点， 所以BC边上中线的两点式方程为． 题型03直线的截距式方程 【典例1】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·山东济宁·期中）坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 . 【答案】或. 【解析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 【详解】当直线在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为； 当直线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为， 又直线过点，则，解得，所以直线的方程为； 所以直线l的方程为或. 故答案为：或. 【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题. 【典例3】（23-24一年级·全国·单元测试）直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍，求直线的方程． 【答案】或. 【分析】分两种情况讨论，当直线在y轴上的截距不为零时，由根据截距式方程可设直线l的方程为，当直线在y轴上的截距为零时，直线l过原点，设其方程为，分别将 代入所设方程，求出参数，即可得到直线的方程. 【详解】分两种情况讨论： ①当直线在y轴上的截距不为零时， 由题意可设直线l的方程为， 又直线l过点P(－6,3)，∴，解得b＝1， ∴直线l的方程为＋y＝1，即x＋3y－3＝0. ②当直线在y轴上的截距为零时， 直线l过原点，设其方程为y＝kx， ∵直线l过点P(－6,3)． ∴3＝－6k，解得k＝， ∴直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0. 综上所述，所求直线l的方程为x＋3y－3＝0或x＋2y＝0. 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（      ） A．4条 B．2条 C．3条 D．1条 【答案】C 【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案. 【详解】当截距为0时，设直线方程为，将代入，求得， 故方程为； 当截距不为0时， ①截距相等时，设方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； ②截距互为相反数时，设直线方程为， 将代入，即，解得：，故方程为； 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的截距式方程． 【答案】(1)C(－5，－3) (2) 【分析】（1）设C(x0，y0)，由中点坐标公式得出边中点坐标，从而求得，得点坐标； （2）由坐标得截距，得截距式方程． 【详解】（1）设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N， 因为M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5．又因为N在x轴上，所以＝0， 解得y0＝－3． 即C(－5，－3)． （2）由（1）可得M，N(1，0)，所以直线MN的截距式方程为． 题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【典例1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为； (2)直线与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的斜率可得出关于的等式，解之即可； （2）求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的斜率为，解得. （2）解：由题意可知，在直线的方程中，令，可得， 令时，可得， 所以，直线分别交、轴于点、， 由题意可得，解得. 由题意可得，整理可得， 因为，解得. 【典例2】（23-24高一下·江苏南京·开学考试）求分别满足下列条件的直线l的方程． （1）经过直线和直线的交点且与直线垂直； （2）与直线平行且与坐标轴围成的三角形面积为． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）将和联立，求出交点，又可知直线斜率为，利用点斜式方程求出并化简即可． （2）设所求直线方程为，求出与坐标轴交点坐标，根据三角形面积为3，得出关于的方程并求解，再得出所求直线方程． 【详解】解：（1）将与联立得，解得 所以交点坐标为． 由所求直线与直线垂直，则所求直线斜率为， 所以方程为， 从而所求直线方程为 （2）依题意设直线方程为，则直线过点、 所以，解得， 故直线方程为或 【点睛】本题考查直线方程求解，平行直线系与垂直直线系．考查分析、计算能力． 【变式1】（23-24高一上·甘肃张掖·期末）求过点且分别满足下列条件的直线方程 （1）在两个坐标轴上的截距相等. （2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12. 【答案】（1）或；（2）． 【解析】（1）分类讨论，设出直线方程，然后代入点的坐标，计算求解即可； （2）设出直线的截距式方程，然后代入点的坐标得到一个关于截距的方程，再由三角形面积等于12，得到关于截距的另一方程，联立方程组求解截距，即可得解． 【详解】（1）①若直线经过原点，设方程为，又因为直线过点，故有，解得：，所以方程为：； ②若直线不经过原点，设直线在两坐标轴上的截距为，方程为：，又因为直线过点，所以有：，解得：，所以直线方程为：，即：； （2）设直线在，轴上的截距为，（，），可设直线方程为，由题意得，解得，∴直线方程为：，即：． 【点睛】本题考查直线截距式方程的应用，解题关键是正确设出直线的方程，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程. 【答案】 【分析】根据题意设直线l的方程为，进而得直线l与两坐标轴交于点与，再结合面积解方程即可得，最后书写方程即可. 【详解】解：根据题意知直线l不垂直于x轴，其斜率存在且为负数， 故可设直线l的方程为. 在方程中，令，得；令，得. 故直线l与两坐标轴交于点与.　 因为直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8， 所以，即：，解得， 故直线l的点斜式方程为 【变式3】（23-24高一下·江西九江·期末）（1）设直线的方程为.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）过直线：上的点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程. 【答案】(1) 或. (2) 或. 【分析】(1)表示出截距，然后建立等量关系得到答案. (2)计算出与x,y轴的坐标，然后建立等量关系，即可得到直线方程. 【详解】解:（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为0，∴，方程即为. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程为 ∴ ∴，方程即为.综上，直线的方程为或. （2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线，直线和轴围成的三角形的面积为2，符合题意； ②若直线的斜率，则直线与轴没有交点，不符合题意； ③若直线的斜率，设其方程为，令，得，依题意 有，解得，所以直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 【点睛】本题主要考查直线的相关量的含义，截距不是距离，注意截距为0的情况．细心分析题目，难度不大. 题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【典例1】（23-24高三·全国·课后作业）过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当 的面积最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式设出的方程，由此得出，结合基本不等式得出，从而得出当时，的面积最小，即可得出此时直线的方程. 【详解】设的方程为，则有 因为，所以，即 所以，当且仅当，即时，取“=”. 即当时，的面积最小. 此时的方程为，即. 故选：A 【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴围成图形的面积问题，涉及了基本不等式的应用，属于中档题. 【典例2】（23-24高二上·山东泰安·期中）已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件可求得的取值范围，并求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值 ，由此可求得直线的方程. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零， 可设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 即点、，由题意可得，解得， 的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用加以表示； （2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解. 【典例3】（23-24高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 【变式1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，此时的直线方程为 ． 【答案】 4 【分析】由题可知直线l斜率必存在，则设其方程为，求出其横截距和纵截距，表示出△OAB的面积，求其最小值即可. 【详解】由题可知直线AB斜率为负，故设直线AB的方程为， 令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－， ∴ ，当且仅当，即时取等号. 故当时，有最小值4． 此时，直线方程为即． 故答案为：4；. 【变式2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）已知点M为直线与直线在第一象限的交点，经过点M的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，则当取得最小值为时，a的值为 . 【答案】 【分析】先求出点的坐标，然后设直线的方程，得出坐标后可得三角形面积，由面积的最小值可求得． 【详解】由，得，即，在第一象限，则， 设直线方程为，显然， 令得，令得， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以最大值为，解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角形面积，考查用基本不等式求最值．本题考查了学生运算求解能力，属于中档题． 【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使面积最小的点的坐标. 【答案】 【分析】根据直线是否与轴垂直进行分类讨论，结合基本不等式求得面积最小值，并求得此时点的坐标. 【详解】如图，设点A的坐标为（）.    （1）当直线AB不垂直于x轴时， 由两点式得AB的方程为（，且）. 令，得. 因为点C在x轴的正半轴上，所以，即. 所以的面积： ， 当且仅当，时等号成立，此时点A的坐标为. （2）当直线AB与轴垂直时，点A的坐标为，此时. 综上所述，的面积的最小值为，此时点A的坐标为. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】B 【分析】利用横纵截距的意义求解即得. 【详解】直线，当时，，当时，， 所以直线在轴和轴上的截距分别为，2. 故选：B 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据方向向量的定义解答即可． 【详解】直线可化成斜截式方程， 所以直线的斜率为， 由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为,则斜率为, 所以选项中可以是直线的方向向量，即正确. 故选：. 3．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 4．（21-22高二·全国·课后作业）过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程的截距式直接得出结论． 【详解】由直线方程的截距式，得所求直线的方程为＝1． 故选：C． 5．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 6．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故选：D 7．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 8．（20-21高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论． 【详解】解：设直线的方程为，则的面积为①． 因为直线过点，所以②． 联立①②，解得，， 故直线的方程为， 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 10．（21-22高二上·江苏无锡·期中）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】反射光线经过点关于轴的对称点和，从而求出反射光线所在直线，再确定ABCD四个选项哪个点在其上. 【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，则直线为：，即，代入，则，A选项正确；代入，则，B错误；代入，则，C选项错误；代入，则，D正确. 故选：AD 三、填空题 11．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 12．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知直线l过点且与x轴、y轴分别交于，，O为坐标原点，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线l过点，得到，借助基本不等式,即可求得最小值. 【详解】直线l与x轴、y轴分别交于，, 可设直线的截距式：， 直线l过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，斜率为0； (4)斜率为，在y轴上的截距为； (5)斜率为，与x轴交点的横坐标为. 【答案】(1) ； (2) (3) (4) (5) 【分析】根据直线的点斜式方程和斜截式方程依次求解即可. 【详解】（1）因为直线过点，斜率为3， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即； （2）因为直线过点，斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即； （3）因为直线过点，斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即； （4）因为直线在y轴上的截距为，斜率为， 由直线的斜截式方程可得直线方程为：； （5）因为直线与x轴的交点的横坐标为， 所以该点的坐标为，又斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即. 14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ； (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． B能力提升 1．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 二、填空题 2．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 【答案】 8 【分析】设直线截距式方程，由题意得，利用基本不等式求出面积的最小值，得解. 【详解】设直线l的方程为， 因为直线l过点，所以. 又， 所以， 即，当且仅当，即时取等号， 所以， 此时直线l的方程为，即. 故答案为：8；. 3．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    【答案】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．    由题可知，直线的方程为，直线的方程为． 设，其中，则，， 则，， 四边形的面积． 当时，取得最大值． 故答案为： 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$