第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 课程标准 学习目标 ①掌握确定直线的几何要素。 ②掌握直线 的点斜式与斜截式方程的确定。 ③解决与直线的点斜式、斜截式有关的 问题.。 通过本节课的学习，要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题. 知识点01：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 【即学即练1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 知识点02：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 【即学即练2】（23-24高二上·浙江台州·期末）直线的斜率等于（    ） A． B．1 C．2 D． 题型01直线的点斜式方程 【典例1】（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【变式1】（2024高二上·广东）经过点，倾斜角是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 题型02直线的斜截式方程 【典例1】（23-24高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 【典例2】（2024高二·江苏·专题练习）已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点. （1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程； （2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程. 【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是 . 题型03直线的图象 【典例1】（23-24高二上·广东惠州·期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【典例2】（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）． 【变式1】（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型04直线的位置关系的应用 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，若，则a＝（    ） A．0 B． C．1 D．±1 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【典例3】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程．      【典例4】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知两点，. (1)求线段的垂直平分线； (2)直线过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围. 【变式1】（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知过点和点的直线为，：，：，若，，则的值为 . 【变式3】（23-24高二上·北京丰台·期中）在中，，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【变式4】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，求边上的中线所在直线的方程． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·陕西西安·期末）直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二·全国）已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 10．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的可能的值是（    ） A． B． C． D．e 三、填空题 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 12．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 四、解答题 13．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在两条互相垂直的道路，的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米． 14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. B能力提升 1．（2024高二·全国）已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 2．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 .    4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 课程标准 学习目标 ①掌握确定直线的几何要素。 ②掌握直线 的点斜式与斜截式方程的确定。 ③解决与直线的点斜式、斜截式有关的 问题.。 通过本节课的学习，要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题. 知识点01：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 【即学即练1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距． 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 故答案为：. 知识点02：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 【即学即练2】（23-24高二上·浙江台州·期末）直线的斜率等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由斜截式判定直线斜率即可. 【详解】由直线的斜截式可知的斜率为. 故选：C 题型01直线的点斜式方程 【典例1】（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案. 【详解】直线斜率，故直线方程为，即. 故选：A 【典例2】（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果. 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【变式1】（2024高二上·广东）经过点，倾斜角是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的点斜式即可得解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为， 又经过点，则所求直线为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案. 【详解】已知直线斜率为2且经过点， 由直线点斜式方程得直线的方程为：，即. 故答案为：. 题型02直线的斜截式方程 【典例1】（23-24高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合正切函数的性质进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 所以有， 因为， 所以， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 【典例2】（2024高二·江苏·专题练习）已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点. （1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程； （2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题可求直线BC的斜率，再写出直线的点斜式方程； （2）先求出所求直线的斜率为，再写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由题得直线BC的斜率为，所以经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程为：； （2）由题得直线BC的斜率为，所以所求直线的斜率为. 所以直线的方程为，即， 所以经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程. 【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是 . 【答案】或 【分析】求得斜率，根据题意，求得直线在y轴上的截距是或，即可求得直线的方程. 【详解】因为直线的倾斜角是，所以斜率， 又因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距是或， 所以所求直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 题型03直线的图象 【典例1】（23-24高二上·广东惠州·期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由图象判断参数范围，根据参数范围是否矛盾即可得答案. 【详解】对于A，由的图象知，，由的图象知，，故A正确； 对于B，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故B错误； 对于C，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故C错误； 对于D，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故D错误． 故选：A 【典例2】（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断. 【详解】因为，， 对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确． 对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误. 故选：BC. 【典例3】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）． 【答案】④ 【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可. 【详解】对于①，由得，，而由得，，矛盾，故①错误； 对于②，由得，，而由得，，矛盾，故②错误； 对于③，由得，，而由得，，矛盾，故③错误； 对于④，由得，，由得，，故④正确． 故答案为：④. 【变式1】（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论时直线y＝ax与y＝x＋a的倾斜角和在轴上的截距，从而可判断出选项. 【详解】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角， 直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距为，a>0，所以选项A，B都不成立； ②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不符合； ③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角， 直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距为，a<0，所以只有C成立． 故选：C. 【变式3】（多选）（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B选项当时，符合题意；对于C选项，当或时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断. 【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确． 对于B选项，当时，符合题意，B正确． 对于C选项，当或时，符合题意，C正确． 对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确． 故选： 题型04直线的位置关系的应用 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，若，则a＝（    ） A．0 B． C．1 D．±1 【答案】B 【分析】由斜率相等、截距不相等得出的值. 【详解】因为，所以，所以， 又，两直线l1与l2不能重合， 则，即，故. 故选：B 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【分析】根据与直线垂直，求出斜率，再根据在y轴上的截距为4，求出直线方程. 【详解】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 【典例3】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到边上的高所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，得到角平分线的倾斜角为，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】（1）解：因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点， 所以边上的高所在直线的方程为． （2）解：由，可得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率，且过点， 所以角平分线所在直线l的方程为．      【典例4】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知两点，. (1)求线段的垂直平分线； (2)直线过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标和垂直的斜率关系，根据点斜式即可求解， （2）求出的斜率进而得其倾斜角，即可求解的倾斜角. 【详解】（1），的中点为 且, 所以线段的垂直平分线方程为，即 （2）直线的斜率分别为 因此直线的倾斜角分别为 所以直线与线段有交点，则倾斜角的范围为 【变式1】（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直. 【详解】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以. 故选：BD. 【变式2】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知过点和点的直线为，：，：，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·北京丰台·期中）在中，，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点之间的斜率公式求出斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可； （2）利用中点坐标公式和斜率公式结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率．         又因为该直线过点， 所以边所在直线的方程为：， 即． （2）设边上的中点为，则直线即为边上的中线． 因为，， 所以，又因为   所以直线的斜率． 又因为该直线过点， 所以直线的方程为：， 即． 【变式4】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，求边上的中线所在直线的方程． 【答案】 【分析】求得两点的中点坐标，求出边上的中线所在直线的斜率，即可得答案. 【详解】,， 的中点为， 又， 由斜率公式可知，边上的中线所在直线的斜率， 边上的中线所在直线的方程为， 即直线的方程为：. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为 故选：D 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 3．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义即可求解. 【详解】由直线，得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 所以直线方程为，即， 所以它在y轴上的截距为， 故选：A. 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 6．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，根据两直线垂直的性质，得出直线的斜率，从而得出直线的方程. 【详解】解：因为， 所以， 所以直线为：，即. 故选：C. 7．（23-24高一上·陕西西安·期末）直线经过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为. 故选：D. 8．（2024高二·全国）已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，由正弦定理进行求解. 【详解】如图，∵，， ∴四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆， 设半径为，则， 在中，由正弦定理得， ∴， 又，的倾斜角分别是， ∴，而， ∴.    故选：C 二、多选题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】根据直线方程逐项判断. 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 10．（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的可能的值是（    ） A． B． C． D．e 【答案】ACD 【分析】设直线l的方程，求出在x轴上的截距，根据截距范围列不等式求解即可. 【详解】设直线l的方程为， 令，， 得，解得或， 观察可得ACD符合. 故选：ACD. 三、填空题 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 解得. 故答案为： 12．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【分析】根据平行直线的斜率关系，找到斜率，经过点求出直线方程，改写成斜截式方程即可，根据垂直直线的斜率关系，求出斜率，写出对应的方程，改写成点斜式方程即可. 【详解】设直线的斜率为， 与直线平行的直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为. 由得， 由两直线平行知. 所以所求直线方程为，即； 由两直线垂直知， 所以与直线垂直的直线的点斜式方程为. 故答案为：; 四、解答题 13．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在两条互相垂直的道路，的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米． 【答案】10 【分析】建立平面直角坐标系，设出直线方程为，分别写出点坐标，进而根据三角形面积公式结合均值不等式求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系， 根据题意设人行道所在直线方程为， 所以，， 所以的面积， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时，， 所以人行道的长度为 米. 14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 【答案】(1)斜率为，倾斜角是60° (2) 【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角； （2）利用点斜式方程求出直线方程. 【详解】（1）已知直线l：， 所以直线l的斜率，倾斜角是. （2）过点且与直线l平行的直线的斜率是， 所求直线方程为：，即. B能力提升 1．（2024高二·全国）已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 2．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即， 故选：D． 3．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据直线与直线平行，过直线过线段的中点进行分类讨论，从而求得的方程. 【详解】直线的斜率为， 所以过且平行于直线的直线方程为. 线段的中点坐标为， 所以过与线段中点的直线的方程为. 所以直线或符合题意. 故答案为：或    4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$