第01讲 2.1.1倾斜角与斜率（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 2.1.1倾斜角与斜率 课程标准 学习目标 ①理解直线的倾斜角与斜率的概念。 ②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。 ③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。 ④会用两点坐标求直线的斜率。 ⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。 通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围. 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练1】（23-24高二上·江西赣州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 知识点03：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练2】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角. 【详解】因为直线的方程为， 所以直线的斜率1， 令直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故答案为：. 知识点04：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练3】（23-24高二上·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜率公式可得. 【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率. 故选：A 题型01求直线的倾斜角 【典例1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角和斜率的关系处理即可. 【详解】化简得，显然斜率为，故倾斜角为. 故选：B 【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为直线的斜率，即， 又， 所以， 故选：D 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据斜率的定义直接得出结果. 【详解】由题意知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 题型02直线斜率的定义 【典例1】（23-24高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率即可求解. 【详解】因为，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，求的值. 【详解】直线的斜率为，所以， 解得. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，根据斜率再求直线的倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，即， 则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以， 因为，所以. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 【答案】2 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系可得答案. 【详解】因为直线的倾斜角为，斜率为2，所以. 故答案为：2. 题型03斜率与倾斜角变化关系 【典例1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】 直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 【典例2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 【典例3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 【变式1】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，根据斜率的范围求得直线的倾斜角的范围. 【详解】画出图象如下图所示， ， 所以直线的斜率的范围是， 对应倾斜角的取值范围是. 故选：D    【变式2】（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图象，根据与线段相交，设直线的斜率为，由求解. 【详解】解：，， 如图所示： ∵与线段相交，由题意设直线的斜率为， ∴，∴，∴或． 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为． 故答案为：. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 【答案】 【分析】当直线垂直轴时设为，此时直线不存在斜率，可分“从PN位置转到位置、当从位置转到PM位置”两种情况分开讨论. 【详解】如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线． 当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到，而，所以． 又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于， 由正切函数的性质知，，所以． 综上所述，． 故答案是：. 题型04已知两点求斜率 【典例1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案. 【详解】由题知：， 设直线的倾斜角为，故， 所以倾斜角. 故选：C 【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据斜率公式可求斜率. 【详解】直线的斜率为， 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】利用两点间的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】由已知可得. 故答案为：. 题型05已知斜率求参数 【典例1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率为， 解得， 故选：B． 【典例2】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若经过，两点的直线的倾斜角是，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 题型06利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 【典例2】（2024高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·江苏·开学考试）已知三点共线，则实数m的值为 ． 【答案】0 【分析】根据A，B，C三点共线可得 ，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】由三点共线可得， 即，解得. 故答案为：0. 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 【答案】2或 【分析】利用点共线的定义求解参数即可. 【详解】三点共线， ，，解得或． 故所求的a的值为2或． 题型07求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 【典例2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 【典例3】（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可. 【详解】当，斜率， 当，斜率不存在， 当，斜率， 综上，，则. 故答案为： 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围. 【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 【答案】 【分析】根据给定直线的斜率，结合正切函数性质求出倾斜角范围即可. 【详解】直线的斜率取值范围为，即，则， 所以倾斜角的范围为. 故答案为： 题型08斜率公式的几何意义的应用 【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    【变式1】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出直线，找到满足的点的位置，结合斜率的定义得结论． 【详解】如图，作出直线及，它们的交点为， 直线上满足的点在点右下方， ，又直线的斜率为，， 由图可得的范围是． 故答案为：． 题型09直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 【典例2】（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 【典例3】（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据题意，利用斜率公式，分别求得线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】 由题意，点，直线过点， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 如图所示，要使得直线与线段有交点， 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解. 【详解】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A.    【变式3】（2024高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线和的斜率，结合图形判断直线l与线段AB相交时斜率k的取值范围. 【详解】因为， . 由图可知，直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是. 故选：D A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】易知的斜率为，显然倾斜角为. 故选：C 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 4．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可. 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）“直线经过第一、二、四象限”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先利用直线经过第一、二、四象限求得k的取值范围，进而得到其与“”逻辑关系. 【详解】要使 经过第一、二、四象限， 则 ，解得： ， 因此，“直线经过一、二、四象限” 是“”的充要条件． 故选：C 6．（2024高二·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 7．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】AC 【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC正确，B错误，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误； 对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确； 对选项D：当时，；当时，，错误. 故选：AC 10．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】 依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 三、填空题 11．（2024高三·上海·专题练习）过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 【答案】 【分析】根据倾斜角可求斜率，根据斜率公式构建方程后可求参数的值. 【详解】解：，， ，则， 解得． 故答案为：． 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 四、解答题 13．（23-24高二上·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 14．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】 （1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1） 由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2） 当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. B能力提升 1．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】   若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 2．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将转化为上的点和构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】   可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. C新定义题型 1．（2005·北京·高考真题）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； (4)求由函数与的图像所围成图形的面积．（用表示） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可； （3）要证明，，只需要证明，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可. （4）设为上折线与轴及直线所围成图形的面积，求出，再由求解即可. 【详解】（1）， ； （2）， 因为， 所以； （3）由于的图像是连接各点的折线 要证明，，只需要证明 事实上，当时， 下面证明 对任何， 所以，综上， （4）设为上折线与轴及直线所围成图形的面积 则 直线与的图像所围成图形的面积为 【点睛】关键点睛：在证明，时，关键在于将其转化为证明，结合题设定义进行证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 2.1.1倾斜角与斜率 课程标准 学习目标 ①理解直线的倾斜角与斜率的概念。 ②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。 ③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。 ④会用两点坐标求直线的斜率。 ⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。 通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围. 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【即学即练1】（23-24高二上·江西赣州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点03：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【即学即练2】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 . 知识点04：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【即学即练3】（23-24高二上·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 题型01求直线的倾斜角 【典例1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 . 【变式2】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 题型02直线斜率的定义 【典例1】（23-24高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．0 【变式2】（23-24高二上·河南濮阳·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不确定 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 题型03斜率与倾斜角变化关系 【典例1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【变式1】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 题型04已知两点求斜率 【典例1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）直线经过两点，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线过点，则直线的斜率为 ． 【变式2】（23-24高二上·浙江·期末）过、两点的直线的斜率为 ． 题型05已知斜率求参数 【典例1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若经过，两点的直线的倾斜角是，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【变式1】（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【变式2】（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 题型06利用直线斜率处理共线问题 【典例1】（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【典例2】（2024高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【变式1】（23-24高二上·江苏·开学考试）已知三点共线，则实数m的值为 ． 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 题型07求斜率或倾斜角的取值范围 【典例1】（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【典例2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 题型08斜率公式的几何意义的应用 【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【变式1】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为 ． 题型09直线与线段的相交关系求斜率范围 【典例1】（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【典例2】（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【典例3】（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）“直线经过第一、二、四象限”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024高二·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 二、多选题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 10．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024高三·上海·专题练习）过点和点的直线的倾斜角为，则的值是 . 12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 四、解答题 13．（23-24高二上·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 14．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． B能力提升 1．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. C新定义题型 1．（2005·北京·高考真题）现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线． (1)求和的值； (2)设的斜率为，判断的大小关系； (3)证明：当时，； (4)求由函数与的图像所围成图形的面积．（用表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$