2.1 等式与不等式的性质（第1课时）（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

2.1等式与不等式的性质（第1课时） 题型1：等式的性质 1．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2：常用恒等式 2．补全下列公式． （1） （平方差公式）； （2） （完全平方公式）； （3） （立方和公式）． 题型3：方程的解集（不含参、含参） 3．方程的解集是 4．设，求关于的方程的解集． 5．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为 . 6．已知且，求关于，的方程组的解集． 题型4：根据方程的解集求参数 7．若关于，的方程组与的解集相等，则 . 8．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 题型5：根等式据恒成立求参数 9．已知等式恒成立，其中为常数，则 ． 10．已知等式对任意实数都成立，则 . 11．若恒成立，则的值 ． 题型6：求一元二次方程的解集 12．用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）. 题型7：韦达定理 13．已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 14．若，是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．设，是方程的两个实数根，则 ． 16．设是方程的两个实数根，则 17．已知是方程的两根，则 ． 题型8：根据韦达定理求参数 18．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ． 19．已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数 ． 20．关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（     ）. A． B． C． D． 题型9：含绝对值问题 21．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 22．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 题型10：充要条件的证明 23．求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 24．已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件． 题型11：解答综合题 25．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 26．已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 27．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 一、填空题 1．已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是 . 2．若，且，，则的值为 ． 二、解答题 3．若是方程，的两个根． (1)求实数的取值范围； (2)用表示． 4．已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 5．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 6．设函数，若， (1)求证：方程有实根. (2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围. 7．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 8．已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式与不等式的性质（第1课时） 题型1：等式的性质 1．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【解析】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 题型2：常用恒等式 2．补全下列公式． （1） （平方差公式）； （2） （完全平方公式）； （3） （立方和公式）． 【答案】 【分析】略 【解析】略 题型3：方程的解集（不含参、含参） 3．方程的解集是 【答案】 【分析】将方程通分化简整理后可得，即可求得方程得解集. 【解析】方程可化为, 去分母可得, 整理可得，解得； 所以该方程的解集为. 故答案为： 4．设，求关于的方程的解集． 【答案】当时，方程的解集为空集Ø；当时，方程的解集为． 【分析】去分母整理得,再分和两种情况求解即可. 【解析】解：去分母得，，移项并整理得， 当时，方程无实数根，方程的解集为空集Ø； 当时，，方程的解集为． 5．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为 . 【答案】{0} 【分析】把y＝1代入方程2－13(m－y)＝2y中可求出m的值，再将m的值代入m(x－3)－2＝m(2x－5)中可求得结果 【解析】因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解， 所以2－13(m－1)＝2， 即m＝1. 所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)⇒(x－3)－2＝2x－5， 解得x＝0. 所以方程的解集为{0}. 故答案为：{0} 【点睛】此题考查方程的解，属于基础题 6．已知且，求关于，的方程组的解集． 【答案】 【分析】直接解方程组即可. 【解析】由， 得（），得， 所以， 即 所以方程组的解集为 题型4：根据方程的解集求参数 7．若关于，的方程组与的解集相等，则 . 【答案】/3.5 【分析】由题可知方程组，代入即求. 【解析】∵方程组与的解集相同， ∴方程组的解也是它们的解， 由得， ∴即， ∴. 故答案为： 8．设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 【答案】3 【分析】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案. 【解析】两式相减，得到， 当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集． 当时，方程的解为，解不是空集. 综上， ． 故答案为：. 题型5：根等式据恒成立求参数 9．已知等式恒成立，其中为常数，则 ． 【答案】 【分析】首先将等式转化，然后根据等式恒成立,即可得出结果. 【解析】因为等式恒成立， 所以恒成立， 则,即得 故 故答案为：. 10．已知等式对任意实数都成立，则 . 【答案】 【分析】根据等式对任意实数都成立，得对应项系数相等，求出可得结果. 【解析】因为等式对任意实数都成立， 所以，所以. 故答案为：. 11．若恒成立，则的值 ． 【答案】5 【解析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果. 【解析】因为，即恒成立， 所以，所以. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键. 题型6：求一元二次方程的解集 12．用因式分解法求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果； （2）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果； （3）根据题意，将方程化为，求解，即可得出结果. 【解析】（1）由得，解得或； 所以该方程的解集为； （2）由得， 即， 解得或， 所以该方程的解集为； （3）由得， 所以， 解得或； 所以该方程的解集为. 【点睛】本题主要考查求一元二次方程的解集，属于基础题型. 题型7：韦达定理 13．已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）由根与系数关系得，并用它们表示出各式求值即可. 【解析】（1）由题设，则； （2）； （3）. 14．若，是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3)28 (4) 【分析】利用根与系数关系求出，，再对各式变形，将与的值代入计算就可以得到答案. 【解析】（1）根据根与系数的关系得，，， . （2）根据根与系数的关系得，，， . （3）根据根与系数的关系得，，， . （4）根据根与系数的关系得，，， . 15．设，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可. 【解析】由题设且， 所以. 故答案为： 16．设是方程的两个实数根，则 【答案】 【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解. 【解析】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得， 所以，故， 故答案为：. 17．已知是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【解析】因为一元二次方程的判别式， 所以该方程有两个不相等的实数根，则有， 因此， 故答案为： 题型8：根据韦达定理求参数 18．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理和已知等式可构造方程求得可能的取值，代回方程验证方程是否有两个实根即可确定结果. 【解析】由题意知：，，， 即，解得：或； 当时，一元二次方程为，，方程有两个不等实根，满足题意； 当时，一元二次方程为，，方程无解，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 19．已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，设而不求的思想，注意检验实数根是否存在. 【解析】有解，则有 韦达定理代入得：， 整理得：， 解之或， 经判别式检验知， 故答案为： 20．关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理求出方程的另一个根，再检验即可. 【解析】因为为关于的一元二次方程的根， 显然，且，不妨令，则， 此时，方程可化为，经检验符合题意， 即方程另一个根为. 故选：D 题型9：含绝对值问题 21．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】B 【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可. 【解析】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：B 22．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程等价于，求解即可. 【解析】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 题型10：充要条件的证明 23．求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性. 【解析】充分性：∵， ∴方程的判别式，且， ∴方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 24．已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件． 【答案】证明见解析 【分析】由且得到a与b的范围，以此讨论方程的根的情况，从而得到答案﹒ 【解析】由且，得，， 则方程的判别式，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为、， 因为，，所以且﹒ 题型11：解答综合题 25．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)或或 【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可； （2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【解析】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得， 且，， 若，则，即，解得（舍去）， 即不存在实数，使成立. （2）由题意， 又当，即时，且，， 故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 26．已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【解析】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 27．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式大于等于零求解即可； （2）由根与系数的关系可求解. 【解析】（1）∵， ∴， 解得，； （2）由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为． 一、填空题 1．已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据立方和公式，结合配方法，利用韦达定理，可得答案. 【解析】由，则，由，则， 利用配方法，可得，由，解得， 故答案为：（答案不唯一）. 2．若，且，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意是方程的两个解，然后由根与系数的关系求解计算． 【解析】由题意是方程的两个解， 所以，，则， ， 故答案为：1． 二、解答题 3．若是方程，的两个根． (1)求实数的取值范围； (2)用表示． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由判别式即可求解； （2）由韦达定理即可求解. 【解析】（1）因为方程有两个根， 所以，且有， 即，解得：. 综上：或. （2）由韦达定理得：，， 所以. 4．已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可将原方程等价为，易知恒成立，经检验可知该方程有两个不同的实数解； （2）结合（1）中的结论以及二次函数图像性质可知，即可得. 【解析】（1）原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 5．设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理和已知条件求的值； （2）利用韦达定理化简算式，配方法求最大值. 【解析】（1）方程有两个不相等的实数根， 则有，解得， 结合题意知：， ， 或， 又，所以. （2） ， 由，所以当时，取最大值为10. 6．设函数，若， (1)求证：方程有实根. (2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出，再利用判别式法可判断出方程有实根； （2）利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】（1）证明：若，由可得， 所以，，与已知条件矛盾，所以，， 对于方程，， 所以，方程必有实根. （2）解：由韦达定理可得，， 因为，则， 所以， ， 因此，. 7．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 【答案】(1) (2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析 【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可； （2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可. 【解析】（1）若方程有一个正根和一个负根， 则，即，． 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． （2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是， 证明：若方程有一个正根和一个负根， 则由（1）知其充要条件为， 从而，故必要性成立． 若，则方程中，，， 方程有两个同号根，充分性不成立， 故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件． 8．已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 【答案】(1). (2)不存在，详见解析. (3)或或. 【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、，最后根据得出，通过计算即可得出结果； （2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果； （3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果. 【解析】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得， ，， 因为，所以， 即，，，. （2）由（1）易知，，， 若存在实数，使成立， 则，解得， 因为，所以不存在实数使成立. （3）由（1）易知，，， 则， 因为，所以， 因为为整数，所以、、， 因为，所以或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$