2.1 等式与不等式的性质（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.1.1-2.2.2 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 我们将通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式.在学习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件. 数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具.等式与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛的应用. 前言 数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系.自然界中存在着大量的相等和不等关系，例如圆的周长C与其直径d的比值等于一个常数π,直角三角形的斜边长大于直角边长等. 情景引入 等式 例1 设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假： (1)如果a=b,且c=d,那么a+c=b+d; (2)如果a=b,且c=d,那么ac=bd； (3)如果a=b≠0,那么 (4)如果a=b,那么an=bn,其中n是正整数； (5)如果ac=bc,那么a=b; (6)如果(a—b)²+(b—c)²=0,那么 a=b=c. 解(1)(2)(3)(4)(6)都正确. (5)错误.因为当c=0时，即使a≠b,仍有ac=bc=0. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 恒等式 观察以下等式： 【定义】含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立， 就称为 恒等式 恒等式是进行代数变形的主要依据之一，例如： ： 三数和的平方公式 两个恒等式 计算： 立方和(差)公式 含有未知数的等式称为方程.使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根. 以方程的解为元素所构成的集合称为方程的解集. 借助解集来表示方程和方程组的解是一个常用的方法. 方程的解和未知数的取值范围有关.同一方程在未知数不同取值范围内求解，其解集不一定相同.例如，方程 (a- )(a-1)(x- )=0 在自然数集N中的解集为{1},在有理数集Q中的解集为 {1, } ,而在实数集R中的解集为{1, ， } 方程的解集 例2 设a、b∈R,求关于x的方程ax=b的解集. 解：当a≠0时，解集为{ } 当a=0,b=0时，解集为R; 当a=0,b≠0时，解集为空集Ø. 课堂练习 沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.2.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 1.配方法 (1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为 ; ②当t=0时,解集为{0};③当t<0时,解集为⌀. (2)一般地,方程(x-k)2=t:①当t>0时,解集为 ; ②当t=0时,解集为{k};③当t<0时,解集为⌀. 2.公式法 (3)当Δ=b2-4ac<0时,方程的解集为⌀. 一元二次方程的解集 在初中已经学过如何求一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根.现在，让我们来表示出相应的解集. 3.因式分解法 对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),左边若能因式分解,变成(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,根据几个因式之积为0,则至少有一个因式为0,则x1= 名师点析(1)因式分解法是解一元二次方程的特殊方法. 用因式分解法解一元二次方程是通过因式分解把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解,它在解符合某些特点的方程时很方便,当不能用因式分解法求解时,还需要利用公式法求解. (2)用因式分解法解一元二次方程应注意的问题.①有些一元二次方程需要变形后(如移项,去括号,合并同类项等),才能用因式分解法求解;②用因式分解法解一元二次方程时,方程的一边必须为零;③不能在方程的两边同除以含有未知数的整式. (1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗? 提示:不一定,a≠0时为一元二次方程,a=0,b≠0时为一元一次方程. (2)任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)都可以化为(x-k)2=t的形式吗? 提示:都可以.一元二次方程 证明： 先证充分性.若a₁=a2,b₁=b₂,c₁=c2,等式a₁x²+b₁x+c₁=a2x²+b₂x+c₂ 自然恒成立. 再证必要性.利用等式的性质， a₁x²+b₁x+c₁=a2x²+b₂x+c₂ 恒成立，等价于 (a₁-a₂)x²+(b₁-b₂)x+c₁—c₂=0 对所有实数x都成立.这表明该方程有无数个实数根.但次数不超过2的一元整式方程至多有两个实数根，因此上述等式左边的各项系数均应为零，即成立a₁—a₂=b₁—b₂=c₁一c₂=0,从而a₁=a₂,b₁=b₂,c₁=c₂. 例题1 求证：a₁=a2,b₁=b₂,c₁=c₂是等式a₁x²+b₁x+c₁=a2x²+b₂x+c₂ 恒成立的充要条件. 韦达定理 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下关系: 一元二次方程根与系数的关系 证明 ：因为一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁、 x2,所以二次三项式ax²+bx+c可以因式分解为ax²+bx+c=a(x—x₁)(x—x2). 由于 a(x—x₁)(x—x₂)=ax²—a(x₁+x₂)x+ax₁x2,从而等式ax²+bx+c=ax²-a(x₁+x₂)x+ax₁x2恒成立.由例题1知，该等式两边的对应项系数应相等.因此可证韦达定理。 名师点析(1)根与系数的关系的应用:①不解方程,求与方程的根有关的代数式的值;②已知方程一根,求方程的另一根;③与根的判别式相结合,解决一些综合题. 思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件? 提示:先把方程化为ax2+bx+c=0的形式,然后验证,是否满足a≠0,Δ=b2-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题. 微练习 一元二次方程3x2-6x-7=0的两根和为　　　　.  解析:设3x2-6x-7=0的两根分别为x1,x2, 答案:2 求一元二次方程的解集 例2 用适当的方法求下列方程的解集. (1)x2-2x-8=0; (2)2x2-7x+6=0; (3)(x-1)2-2x+2=0. 分析根据方程的特征,合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程. 解:(1)方法一　移项,得x2-2x=8, 配方,得(x-1)2=9,由此可得x-1=±3, ∴x1=4,x2=-2,∴方程的解集为{-2,4}. 方法二　原方程可化为(x-4)(x+2)=0, ∴x-4=0或x+2=0,∴x1=4,x2=-2, ∴方程的解集为{-2,4}. (2)方法一　原方程可化为(x-2)(2x-3)=0, (3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0. 因式分解,得(x-1)(x-1-2)=0, ∴x-1=0或x-3=0, ∴x1=1,x2=3,∴方程的解集为{1,3}. 反思感悟 一元二次方程的常见解法 (1)开平方法:如果方程能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么 (2)配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式; ②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式; ③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式; ④用直接开平方法解变形后的方程. (3)因式分解法 ①平方差公式法; ②完全平方公式法; ③提取公因式法; ④十字相乘法. (4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为: 变式训练 求下列方程的解集: (1)4x2-4x-1=0; (2)x2+3x+1=0; (3)x2-7x+10=0. (3)∵x2-7x+10=(x-2)(x-5), ∴原方程可化为(x-2)(x-5)=0,从而可知x-2=0或x-5=0,即x=2或x=5. ∴方程的解集为{2,5}. 2 2 1 2 -2 3 14 -2 课堂练习 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 最常见的相等关系是数量之间的相等，例如sin30°与相等，并可表示为sin30°=.用等号“=”把两个表达式连接起来，所得的式子成为等式. 等式有以下性质： 设a、b、c均为实数 (1)传递性：，如果a＝b，且b＝c，那么a＝c. (2)加法性质：如果a＝b，那么a±c＝b±c； (3）乘法性质：如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c). _1234567890.doc 【答案】 【分析】直接解方程组即可. 【详解】由 ， 得 （ ），得 ， 所以 ， 即 所以方程组的解集为 1．已知 且 ，求关于 ， 的方程组 的解集． 2．解关于 ， 的方程组： ． 【答案】见解析 【分析】分别讨论 、 、 时的解即可. 【详解】（1）当 时， ，方程组解为 ； （2）当 时， ，方程组无解； （3）当 时，两式相加得 ，两式相减得 ，方程组解为 . 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 方程ax2+bx+c=a(x+)2+(a≠0), (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程的解集为{}; (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程的解集为{-}; {-} {k-,k+} -,x2=-. ax2+bx+c=0(a≠0)可以化为x+2=,即k=-,t=. (1)x1+x2=-; (2)x1x2=. (2)常见的涉及一元二次方程两根x1,x2的代数式的重要变形.①=(x1+x2)2-2x1x2;②;③;④(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;⑤(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2;⑥|x1-x2|=. ∴x1+x2=-=2. ∴x-2=0或2x-3=0,∴x1=2,x2=, ∴方程的解集为. 方法二　∵a=2,b=-7,c=6, ∴Δ=b2-4ac=1>0, ∴x=, 即x1=2,x2=, ∴方程的解集为. 可得x=±或mx+n=±,从而通过降次转化为一元一次方程. 当b2-4ac≥0时,x1,2=. 解:(1)方程的两边同时加上2,得4x2-4x+1=2,即(2x-1)2=2, ∴2x-1=±, ∴x1=,x2=. ∴方程的解集为. (2)∵a=1,b=3,c=1, ∴b2-4ac=32-4×1×1=5, ∴x=, 即x1=,x2=. ∴方程的解集为. 1．设 是一元二次方程 的两个根 ，且 ，则 ， . 2．关于 的方程 的两根为 ， ，则 的值为 ． 3．已知 都是实数，一元二次方程 有两个非零实根 ，且 ，则 = . $$