第06讲 有理数乘法-【暑假导航】2024年七年级级数学暑假优学讲练（人教版2024）

第06讲 有理数乘法 一、有理数乘法 1．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得． 2．有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 3．多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 4．有理数乘法运算律： ① 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ② 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ③ 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 二、倒数 1．倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数． （1）互为倒数的两个数的乘积一定是1，即，互为倒数，则；反之亦然． （2）正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数． 2．求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可． 3．倒数等于本身的数有：1、-1； 考点1：有理数乘法的法则与计算 【例1】下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号； ③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024·天津滨海新·二模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【变式3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法错误的是（    ） A．几个有理数相乘，如果积为负数，则负因数的个数为奇数个 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【变式4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式5】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 考点2：利用有理数乘法法则判断符号 【例3】如果，那么（    ） A． B． C．a，b异号且负数的绝对值较小 D．a，b异号且负数的绝对值较大 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【变式1】（2024·北京·三模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，数轴上的两点所表示的数分别为，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．两点之间，且靠近点 D．两点之间，且靠近点 【变式3】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于1；③被减数一定大于减数；④绝对值等于其本身的有理数是正数；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4】（2024·山东济南·二模）有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 考点3：有理数乘法运算律的运用 【例5】简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【例6】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ （1）上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． （2）结合上述解法给你的启发，计算：． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：. 【变式2】计算：． 【变式3】利用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式4】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：“计算：，看谁算的又快又对．”有两位同学的解法如下： 小文：原式； 小丽：原式． （1）对于以上两种解法，__________的解法较好（填“小文”或“小丽”）； （2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：． 【变式5】（23-24七年级上·新疆省直辖县级单位·期中）学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）用你认为最合适的方法计算：． 考点4：倒数的概念及运用 【例7】（23-24七年级下·四川眉山·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【例8】（23-24八年级下·广东茂名·期末）实数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏南京·二模）的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）与互为倒数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】（2024·山东德州·二模）的倒数是（     ） A． B．2024 C． D． 【变式4】下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A． B． C． D．2 【变式5】（2024·广东深圳·模拟预测）下列互为倒数的是（    ） A．和 B．和2 C．3和 D．和 考点5：有理数乘法的运用 【例9】（23-24七年级下·河南郑州·期末）随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【例10】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． （2）学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ （3）若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【变式1】（2024·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺． 【变式2】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）快过年了，小刚的妈妈计划买1张餐桌和6把椅子来替换家里的旧餐桌和椅子，妈妈从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为800元，椅子的报价每把均为80元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送两把椅子；乙商场决定：餐桌、椅子均按报价的八五折销售，你认为小刚的妈妈应该到哪一家商场购买呢？ 【变式3】（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． （1）求的值． （2）请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【变式4】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【变式5】出租车司机小李某天上午的营运都是在一条东西走向的大道上，规定向东为正，向西为负，这天上午小李的行车路程（单位：千米）如下：． （1）当小李将最后一名乘客送到目的地时，车距出发地的距离是多少千米？在什么方向？ （2）若每千米的营运额为7元，则小李这天上午的总营运额为多少元？ （3）在（2）的条件下，如果营运成本为1.5元/千米，那么这天上午小李盈利多少元？ 1．关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，那么必有 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 2．（2024·江苏南通·模拟预测）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 3．（2024·江苏苏州·三模）数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如果，那么这四个数中负数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的个数有（    ）个 ①正数、负数和零统称有理数；②数轴上点表示的数都是有理数；③0是绝对值最小的有理数；④几个有理数的积为正数，那么负因数有偶数个． A．3 B．2 C．1 D．0 7．已知、、都是负数，且，则是（ ） A．负数 B．非负数 C．正数 D．非正数 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列语句说法正确的个数是（    ） （1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正． （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数． （3）加上一个数等于减去这个数的相反数． （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数． （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东淄博·二模）如果， 那么“□”内应填的实数是（   ） A． B．2024 C． D． 11．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 12．简便计算： 12．简便运算： 13．（1）计算：；（2）计算：． 14．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： （1）；（2）； （3）． 15．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算： （1） （2） 16．探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；： ； 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________． （2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）· 17．（22-23七年级上·广东茂名·期中）数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． （1）请你判断小明的解答是否正确 （2）请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 18．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）实数2的倒数是（    ） A． B．2 C． D． 4．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 6．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（    ） A． B．2023 C． D． 7．（2018·四川甘孜·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川攀枝花·中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（    ） A．160元 B．162元 C．172元 D．180元 9．（2023·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 11．（2023·湖南·中考真题）计算：（    ） A． B．6 C． D．8 12．（2023·山西·中考真题）计算的结果为（    ）． A．3 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数乘法 一、有理数乘法 1．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得． 2．有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 3．多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 4．有理数乘法运算律： ① 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ② 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ③ 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 二、倒数 1．倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数． （1）互为倒数的两个数的乘积一定是1，即，互为倒数，则；反之亦然． （2）正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数． 2．求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可． 3．倒数等于本身的数有：1、-1； 考点1：有理数乘法的法则与计算 【例1】下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号； ③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可． 【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误； ④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误； 故选：A． 【例2】（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【详解】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 【变式1】下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法法则，相反数的概念； 根据有理数乘法法则和相反数的概念，进行判断便可． 【详解】解：①同号两数相乘，积为正号，不是符号不变，该说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该说法错误； ④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该说法错误； 故选：A． 【变式2】（2024·天津滨海新·二模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【变式3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法错误的是（    ） A．几个有理数相乘，如果积为负数，则负因数的个数为奇数个 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数相乘的正负、绝对值的意义、相反数的定义，逐项分析判断即可，熟练掌握有理数相乘的正负、绝对值的意义、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、几个有理数相乘，如果积为负数，根据“有理数相乘，同号得正，异号得负”，则负因数的个数为奇数个，故本选项正确，不符合题意； B、一个有理数的绝对值是正数或零，一定不是负数，故本选项正确，不符合题意； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确，不符合题意； D、一个负数的相反数是正数，0的相反数是0，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式5】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 考点2：利用有理数乘法法则判断符号 【例3】如果，那么（    ） A． B． C．a，b异号且负数的绝对值较小 D．a，b异号且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的加法和乘法，掌握有理数的加法和乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则，有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：，且， ，异号且负数的绝对值较小． 故选：C． 【例4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则：根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【详解】解：∵同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个 ∴这4个数中正数有3个或1个 故选：B 【变式1】（2024·北京·三模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 根据对应的点在数轴上的位置得到，然后逐一判断即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确； 故选D． 【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，数轴上的两点所表示的数分别为，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．两点之间，且靠近点 D．两点之间，且靠近点 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法和乘法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：∵根据题意，数轴上的，且，， ∴与异号且绝对值大，即，， 则原点的位置在两点之间，靠近点， 故选：C． 【变式3】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于1；③被减数一定大于减数；④绝对值等于其本身的有理数是正数；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数，有理数的乘法等知识．熟练掌握有理数的分类，相反数，有理数的乘法是解题的关键． 根据有理数的分类，相反数，有理数的乘法对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，有理数包括所有正有理数、负有理数和0，①错误，故不符合要求； 若两个数互为相反数，其中0的相反数是0，不能相除，②错误，故不符合要求； 被减数不一定大于减数，③错误，故不符合要求； 绝对值等于其本身的有理数是0，④错误，故不符合要求； 几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积可为0或负数，⑤错误，故不符合要求； 故选：A． 【变式4】（2024·山东济南·二模）有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，有理数的大小比较法则，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由数轴可得，，，再根据绝对值性质，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，有理数的大小比较法则即可解答． 【详解】解：由数轴可知, ，，， ∴，，， 故选：． 【变式5】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的，，得出的结论，再根据已知条件，，判断字母，，表示的数的正负性即可． 【详解】解：由图可知， ， ，， ， 故D正确； ，， 当时，， 当时，， 故A错误； 由得，， 当，0离近时，，0离远时，； 当时，， 故B错误； ， ，， 当0离近时，； 0离远时，， 故C错误； 故选：D． 考点3：有理数乘法运算律的运用 【例5】简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 【例6】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ （1）上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． （2）结合上述解法给你的启发，计算：． 【答案】（1）⑤， （2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据乘法运算的结合律进行判定即可； （2）结合材料提示，运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：第⑤的计算是， ∴在第⑤步出现错误，正确结果是， 故答案为：⑤，． （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：. 【答案】 【分析】利用乘法分配律解题即可. 【详解】解： . 【变式2】计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律的逆运算可先把提出，可得再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 【详解】解： 【变式3】利用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）13 【分析】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算等知识． （1）逆用分配律进行计算即可求解；（2）逆用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：“计算：，看谁算的又快又对．”有两位同学的解法如下： 小文：原式； 小丽：原式． （1）对于以上两种解法，__________的解法较好（填“小文”或“小丽”）； （2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)小丽 (2)有，见解析 (3) 【分析】（1）小丽用的乘法分配律，要好于小文的解法； （2）把写成的形式，再利用乘法分配律求解； （3）根据（2）的解法利用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）小丽用的乘法分配律，要好于小文的解法； 故答案为：小丽； （2）还有更好的解法： ． （3）． 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握乘法分配律是解答的关键． 【变式5】（23-24七年级上·新疆省直辖县级单位·期中）学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)小军的解法较好 (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律．把带分数进行适当的转化，再利用乘法分配律计算即可求解． （1）根据计算的简便程度判断即可； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：对于以上两种解法，小军的解法较好， 故答案为：小军； （2）解： ． 考点4：倒数的概念及运用 【例7】（23-24七年级下·四川眉山·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故选D． 【例8】（23-24八年级下·广东茂名·期末）实数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，根据“两数之积等于1，则称这两个数互为倒数”，得出答案即可，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是， 故选：B． 【变式1】（2024·江苏南京·二模）的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查倒数的意义，根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答． 【详解】解：． 的倒数是， 故选：D． 【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）与互为倒数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与互为倒数， ， ， 故选：A． 【变式3】（2024·山东德州·二模）的倒数是（     ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值与倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据倒数的定义以及绝对值的性质进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：C． 【变式4】下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．乘积是1的两数互为倒数，由此即可判断． 【详解】A、的倒数是，故A不符合题意； B、的倒数是，故B符合题意； C、的倒数是2，故C不符合题意； D、2的倒数是，故D不符合题意． 故选：B． 【变式5】（2024·广东深圳·模拟预测）下列互为倒数的是（    ） A．和 B．和2 C．3和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，据此即可判断． 【详解】解：∵ ∴和互为倒数， 故选：D． 考点5：有理数乘法的运用 【例9】（23-24七年级下·河南郑州·期末）随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解． 【详解】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米， 当显示电量时，已行驶里程为（千米． 故答案为：． 【例10】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． （2）学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ （3）若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】（1）六； （2）学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 【变式1】（2024·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式． 根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可． 【详解】解：（尺） 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）快过年了，小刚的妈妈计划买1张餐桌和6把椅子来替换家里的旧餐桌和椅子，妈妈从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为800元，椅子的报价每把均为80元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送两把椅子；乙商场决定：餐桌、椅子均按报价的八五折销售，你认为小刚的妈妈应该到哪一家商场购买呢？ 【答案】乙商场 【分析】该题主要考查了有理数混合运算的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系式求解． 分别算出从甲、乙两商场购买买1张餐桌和6把椅子的费用，再比较即可； 【详解】解：根据题意得：甲商场：元， 乙商场： 元， ∵， ∴选择乙商场． 【变式3】（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． （1）求的值． （2）请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 【变式4】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 【变式5】出租车司机小李某天上午的营运都是在一条东西走向的大道上，规定向东为正，向西为负，这天上午小李的行车路程（单位：千米）如下：． （1）当小李将最后一名乘客送到目的地时，车距出发地的距离是多少千米？在什么方向？ （2）若每千米的营运额为7元，则小李这天上午的总营运额为多少元？ （3）在（2）的条件下，如果营运成本为1.5元/千米，那么这天上午小李盈利多少元？ 【答案】(1)车在出发地西1千米处 (2)427元 (3)335.5元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．解题是读懂题意，正确的列出算式． （1）将所有数据相加，根据和的情况进行分析即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的营运额即可； （3）用总路程乘以每千米的盈利计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， ∴当小李将最后一位乘客送到目的地时，他的车在出发地西1千米处； （2）解：（千米）， ∴小李这天下午的总营运额为：（元）； （3）解：由（2）知，小李这天下午的总营运路程为61千米， ∴这天下午小李盈利为：（元）． 1．关于有理数，下列说法不正确的是（    ） A．若，那么必有 B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数 C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积 D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，根据有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，逐项判断即可；理解有理数加减乘除的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．若，必有，结论正确，故不符合题意； B．一个有理数和它的相反数的乘积为负数或零，结论错误，故符合题意； C． ，，，结论正确，故不符合题意； D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝值大，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法运算法则是关键． 根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．（2024·江苏苏州·三模）数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，有理数的加法、乘法和除法，属于基础知识，解题的关键是根据在数轴上的位置确定数的符号．根据点在数轴上的位置判断字母的符号，从而判断各选项． 【详解】解：∵a在原点的左侧，b在原点的右侧， ∴， ∴，，， 两数的绝对值未知， ∴的符号无法确定， 故选：C． 4．现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆．根据数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误． ∴正确的有2个； 故选：A． 5．如果，那么这四个数中负数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、 b 、c 、d的符号． 根据，，得出a、b异号，c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数，再由，负因数得个数是1个或3个．即可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵ ∴c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数， ∴a、b、c、d中至少有2个正数， 又∵ ∴负因数得个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有1个． 故选：D． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的个数有（    ）个 ①正数、负数和零统称有理数；②数轴上点表示的数都是有理数；③0是绝对值最小的有理数；④几个有理数的积为正数，那么负因数有偶数个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数与数轴，绝对值和有理数的乘法计算，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称有理数，原说法错误，不符合题意； ②数轴上点表示的数不都是有理数，原说法错误，不符合题意； ③0是绝对值最小的有理数，原说法正确，符合题意； ④几个有理数的积为正数，那么负因数有偶数个，原说法正确，符合题意． 故选：B． 7．已知、、都是负数，且，则是（ ） A．负数 B．非负数 C．正数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质，可求出、、的值，然后将根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ，， ，，， 又、、都是负数， 是负数． 故选：A． 8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列语句说法正确的个数是（    ） （1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正． （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数． （3）加上一个数等于减去这个数的相反数． （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数． （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，乘除法，倒数，绝对值的意义，熟练掌握与有理数的基本知识点及运算法则是解决本题的关键． 根据有理数的加减乘除运算法则和倒数的概念，绝对值的意义依次分析即可． 【详解】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意； （2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意； （3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意； （4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数，这句话是错误的，如， 但，此时，故（4）不符合题意； （5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意． 故选：B． 9．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 10．（2024·山东淄博·二模）如果， 那么“□”内应填的实数是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，结合，得出“□”内应填的实数是的倒数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填的实数是的倒数， 即“□”内应填的实数是， 故选：C． 11．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，有理数乘法运算以及惩罚运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）利用乘法运算律计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先去括号和绝对值符号，再根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 12．简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 12．简便运算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 13．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 14．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： （1）；（2）； （3）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 15．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算： （1） （2） 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先变形为，再根据乘法分配律计算； （2）根据乘法分配律的逆用计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；： ； 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________． （2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）· 【答案】(1)同号，异号，绝对值相加，绝对值 (2) (3)交换律适合，结合律不适合，举例见解析 【分析】（1）根据已知的式子进行归纳即可； （2）根据※（加乘）运算的运算法则解答即可； （3）根据交换律和结合律的特点和※（加乘）运算的运算法则解答即可． 【详解】（1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，再将它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的绝对值； 故答案为：同号，异号，绝对值相加，绝对值； （2）； （3）交换律适合有理数的※（加乘）运算，如； 事实上，当同号时，，所以， 当异号时，，所以， 当0和数a进行※（加乘）运算时，，所以 结合律不适合有理数的※（加乘）运算， 如， 所以． 【点睛】本题考查了有理数的运算，正确理解※（加乘）运算的运算法则是解题的关键． 17．（22-23七年级上·广东茂名·期中）数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． （1）请你判断小明的解答是否正确 （2）请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 【答案】(1)小明的解答正确 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：小明的解答正确， 理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法和除法计算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 18．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地东18千米处 (2)23千米 (3)7升 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得答案； （3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与原有油量的差，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：B地在A地东18千米处； （2）第一次14千米， 第二次（千米）， 第三次（千米）， 第四次（千米）， 第五次（千米）， 第六次（千米）， 第七次（千米）， 第八次（千米）， ， 答：最远处离出发点A有23千米； （3）耗油量： （升）， （升）， 答：求途中还需补充7升油． 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 2．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）实数2的倒数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌握倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数为， 故选：D ． 4．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 5．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 6．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（    ） A． B．2023 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义．乘积等于1的两个数互为倒数． 由倒数的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 7．（2018·四川甘孜·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，解题的关键是根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选A． 8．（2023·四川攀枝花·中考真题）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价进行销售．“六·一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（    ） A．160元 B．162元 C．172元 D．180元 【答案】B 【分析】根据题意可直接进行列式求解． 【详解】解：由题意得： （元）； 故选B． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，解题的关键是理解题意． 9．（2023·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 10．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法法则计算可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键． 11．（2023·湖南·中考真题）计算：（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A 【点睛】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 12．（2023·山西·中考真题）计算的结果为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$