第04讲 有理数的加法-【暑假导航】2024年七年级数学暑假优学讲练（人教版2024）

有理数的加法 一、加法 1．定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2．法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【注意】有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字； 3．运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 考点1：有理数的加法运算 【例1】计算： （1），； （2），． （3）___________． 【例2】两个有理数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个有理数的情况是（ ） A．同为正数 B．同为负数 C．一个正数和一个负数 D．一个为，一个为负数 【变式1】计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D．4047 【变式2】下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【变式3】（2024·浙江台州·一模）如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【变式4】（2024·山西太原·二模）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【变式5】下列说法正确的是（　　） A．两个加数之和一定大于每一个加数 B．两数之和一定小于每一个加数 C．两个数之和一定介于这两个数之间 D．以上皆有可能 考点2：有理数加法中符号问题 【例3】（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【例4】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【变式1】（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【变式4】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【变式5】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 考点3：加法运算定律的运用 【例5】（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【例6】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算． 【变式1】，上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为 ． 【变式4】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【变式5】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： （1） （2） （3） 考点4：有理数加法的实际应用 【例7】（2024·浙江温州·一模）某日上午八点温州市的气温为，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，则下午两点的气温为（    ） A． B． C． D． 【例8】（23-24六年级下·上海青浦·期末）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存 吨． 【变式1】（2024·云南昆明·二模）九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（    ） A．95分 B．90分 C．85分 D．75分 【变式2】学校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了80米，此时张明的位置在（    ） A．学校 B．书店 C．学校北10米处 D．学校南10米 【变式3】（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 【变式4】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，如果在纽约当地时间10日有一场篮球比赛，则北京时间是 ． 【变式5】（23-24七年级上·广东潮州·期中）台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 1．（23-24九年级下·吉林白山·阶段练习）实数3与的和是（    ） A． B．1 C． D．5 2．计算的结果为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（2024·河南开封·二模）下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（    ） A．一正一负且的绝对值大 B．一正一负且b的绝对值大 C．a、b一正一负且正数的绝对值大 D．a、b一正一负且负数的绝对值大 5．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 7．如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知室外温度为，室内温度比室外温度高，则室内温度为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·河北沧州·期中）在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 10．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则 0（填“”“”或“”） 13．若，，则______0； 若，，则______0； 若，，且，则______0． 14．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 15．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 16．计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 17．用适当方法计算： (1) (2) 18．折项法计算：． 19．拆项法计算： 20．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 21．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 22．（22-23七年级上·广东广州·期中）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 23．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）七年级一班某次数学测验，第二组个同学的平均成绩为分，数学老师以平均成绩为基准，超过为正，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为，，，，；问第位同学小叶的实际成绩是多少分？ 24．（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 25．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）现有10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，，，． (1)这10袋小麦中，重量在90千克以下的有 袋． (2)这10袋小麦的总重量是多少千克？ 26．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）“滴滴”司机王师傅上午在东西方向的道路上营运，共连续运载七批乘客．若规定向东为正，向西为负．王师傅营运七批乘客里程如下：，，，，，，（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少？ (2)上午王师傅开车行驶总路程为多少千米？ 27．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负） (1)这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 1．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·青海·中考真题）计算的结果是（　　） A． B．5 C． D．1 4．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算，结果正确的是（　　） A．2 B． C．8 D． 5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2022·浙江温州·中考真题）计算的结果是（    ） A．6 B． C．3 D． 7．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 有理数的加法 一、加法 1．定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2．法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【注意】有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字； 3．运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 考点1：有理数的加法运算 【例1】计算： （1），； （2），． （3）___________． 【答案】（1），5，， （2），1，， （3）0 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 【例2】两个有理数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个有理数的情况是（ ） A．同为正数 B．同为负数 C．一个正数和一个负数 D．一个为，一个为负数 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则，可得出两个负数相加，和一定小于任何一个加数． 【详解】解：∵两数相加，和小于任何一个加数，∴这两这数为负数．故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【变式1】计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D．4047 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，负数加正数的计算规则是：符号取绝对值较大的加数的符号，数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值． 【详解】解：， 故选B． 【变式2】下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（2024·浙江台州·一模）如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的特征，有理数的加减法，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【详解】解：A、原点在点A的左侧时，，符合题意； B、原点在A，B两点之间时，则，不符合题意； C、 原点在B，P两点之间，则，不符合题意； D、 原点在点P的右侧，则，不符合题意； 故选A． 【变式4】（2024·山西太原·二模）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 【详解】解： 故选B． 【变式5】下列说法正确的是（　　） A．两个加数之和一定大于每一个加数 B．两数之和一定小于每一个加数 C．两个数之和一定介于这两个数之间 D．以上皆有可能 【分析】利用有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：A、两个加数之和不一定大于加数，不符合题意； B、两数之和不一定小于每一个加数，不符合题意； C、两个数之和不一定介于这两个数之间，不符合题意； D、以上皆有可能，符合题意， 故选：D． 考点2：有理数加法中符号问题 【例3】（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 【例4】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】根据有理数的加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题考查有理数加法的符号法则，解决本题的关键是熟悉加法法则，并正确判断绝对值的大小． 【变式1】（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数a、b、c，且、，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法中的符号法则，根据有理数加法的符号法则：“同号相加，取相同的符号，再把绝对值相加，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行计算”，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴的符号可能同为负，也可能一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值，或者一个为负，一个为0， ∵， ∴的符号可能同为正，也可能一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，或者一个为正，一个为0， ∴不能确定a、b、c的大小关系， 故选D． 【变式3】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 【变式4】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 【变式5】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 考点3：加法运算定律的运用 【例5】（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律， 故选：A 【例6】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【变式1】，上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据加法交换律和结合律进行计算，即可解答． 【详解】解：， 上面的计算所运用的运算律是先用交换律，再用结合律， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【变式3】若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，先确定字母的值，再运算即可． 【详解】因为a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3， 所以，， ， 故答案为：． 【变式4】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据有理数加法运算法则计算即可； （2）根据有理数加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 考点4：有理数加法的实际应用 【例7】（2024·浙江温州·一模）某日上午八点温州市的气温为，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，则下午两点的气温为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减运算的知识，理解题意列出算式是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则运算即可． 【详解】解： 故选：C． 【例8】（23-24六年级下·上海青浦·期末）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存 吨． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得答案，利用有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】解：（吨， 故本周五天后这种小麦库存吨， 故答案为：． 【变式1】（2024·云南昆明·二模）九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（    ） A．95分 B．90分 C．85分 D．75分 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，整数和负数的定义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量，以及有理数的加法法则．根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：（分）， 故选：D． 【变式2】学校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了80米，此时张明的位置在（    ） A．学校 B．书店 C．学校北10米处 D．学校南10米 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的应用．解决本题的关键是确定原点和正负方向．规定家的位置为0，向北走为正，向南走为负，再把所得数相加即可得到相应位置． 【详解】解：规定家的位置为0，向北走为正，向南走为负，则米， 所以张明的位置在家南边30米处． 因为学校在家的南边20米， 所以此时张明的位置在学校南10米处． 故选D． 【变式3】（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 【答案】 4 13 【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果． （1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数； （2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间． 【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）； 故答案为：4； （2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）； 故答案为为：13． 【变式4】（22-23七年级上·山东青岛·阶段练习）5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，如果在纽约当地时间10日有一场篮球比赛，则北京时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据北京和纽约的时差加上纽约时间，即可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5】（23-24七年级上·广东潮州·期中）台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 【答案】①最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米；②40.5 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （2）先算出总路程，再与每千米耗油1.5升相乘，即可作答． 【详解】解：①根据题意可得：南记为正，北记为负， 则距的距离为． 最后他们没有回到出发点，在地的正南方向，距地1千米． ②从地出发，汽车共走了； 故从地出发到收工时耗油量为（升． 1．（23-24九年级下·吉林白山·阶段练习）实数3与的和是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法．根据题意，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可． 【详解】解：依题得． 故选：B． 2．计算的结果为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．熟练掌握有理数的加法是解题的关键． 根据有理数的加法求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 3．（2024·河南开封·二模）下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案． 【详解】解：∵， ∴与相加等于0的数是． 故选：B． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则（    ） A．一正一负且的绝对值大 B．一正一负且b的绝对值大 C．a、b一正一负且正数的绝对值大 D．a、b一正一负且负数的绝对值大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则；根据异号两数相加，结果取绝对值大的数的符号，即可求解． 【详解】解：∵ 若一正一负，则的绝对值大即负数的绝对值大， 故选：D． 5．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，正负数，根据数轴可得，再结合可得出一定是正数，解题的关键是能根据和确定的符号． 【详解】解：由数轴可得：， ， 一定是正数， 故选：B． 7．（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【答案】D 【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案． 【详解】解：∵两数和为正数， ∴绝对值大的数的符号为正， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解题的关键． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知室外温度为，室内温度比室外温度高，则室内温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，用室外温度加上温度差即可得出室内温度． 【详解】解：由题意得： 室内温度为， 故选：C． 9．（23-24七年级上·河北沧州·期中）在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，由变形可知与3交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律． 【详解】解：在计算时通常转化成， 这个变形的依据是：加法交换律． 故选：A． 10．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法的运算法则， 根据有理数加法的运算法则即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 12．（2024·陕西西安·模拟预测）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则 0（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的含义，相反数的含义，有理数的加法运算，掌握，在数轴上对应点的位置得出，互为相反数是关键．由，表示不同的数，可得互为相反数，从而可得答案． 【详解】解：∵，表示不同的数， ∴互为相反数， ∴且， ∴， 故答案为： 13．若，，则______0； 若，，则______0； 若，，且，则______0． 【答案】 【分析】根据有理数的加法法则可直接进行解答． 【详解】解：若，，则， 若，，则， 若，，且，则． 故答案为，，． 14．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 【答案】②③ 【分析】根据新定义逐项进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故①错误； ∵，； ∴， 故②正确； ∵，，， ∴； 故③正确； ，， 只有当时，， ∴该运算满足交换律不成立． 故④错误， 故答案为：②③ 【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键． 15．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 17．用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．拆项法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，将带分数拆分，再利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ． 20．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 21．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 (2) (3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析 【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序； （3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳※（宏运算的运算法则：同号两数进行※（宏运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：，． 加法交换律适用； ， ， 而， 加法结合律不适用． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法． 22．（22-23七年级上·广东广州·期中）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】根据题目中的拆项法进行解答即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则以及运算律是解本题的关键． 23．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）七年级一班某次数学测验，第二组个同学的平均成绩为分，数学老师以平均成绩为基准，超过为正，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为，，，，；问第位同学小叶的实际成绩是多少分？ 【答案】分 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据正负数的意义求出小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩与平均成绩差值，即可求出小叶的实际成绩，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第6位同学小叶的实际成绩超出标准分10分. ∴小叶的实际成绩是分， 答：小叶的实际成绩是分． 24．（22-23七年级上·山东济南·期中）食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 【答案】(1)最轻的一筐比最重的要轻千克； (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； (3)买进这筐青萝卜的实际总价钱为元； 【分析】本题考查正负数及正负意义的应用： （1）根据表格中与标准质量差的最大值最小值之差即可得到答案； （2）利用正负数之和与0比较即可得到答案； （3）先求出总数量，乘以单价即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， （千克）， ∴最轻的一筐比最重的要轻千克； （2）解：由题意可得， （千克）， ∵， ∴这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； （3）解：由（2）得， 这筐青萝卜的实际重量为： （千克）， ∵这批青萝卜每千克售价为元， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为：（元）， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为元． 25．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）现有10袋小麦，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，，，，，，，． (1)这10袋小麦中，重量在90千克以下的有 袋． (2)这10袋小麦的总重量是多少千克？ 【答案】(1)3 (2)925 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，涉及有理数加减和乘法运算，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． （1）利用正数，负数计算，负数是低于标准重量的，计算即可． （2）利用数据计算出10袋小麦的总重量为，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，负数有，，三个， 故重量在90千克以下的有3袋， 故答案为：3． （2）解：（千克）， 答：这10袋小麦的总重量是925千克． 26．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）“滴滴”司机王师傅上午在东西方向的道路上营运，共连续运载七批乘客．若规定向东为正，向西为负．王师傅营运七批乘客里程如下：，，，，，，（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少？ (2)上午王师傅开车行驶总路程为多少千米？ 【答案】(1)王师傅位于第一批乘客出发地的西方向，距离为7千米 (2)出发地向西7千米；45千米 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数加法的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，即可得答案； 【详解】（1） （千米）； 规定向东为正，向西为负， 王师傅位于第一批乘客出发地的西方向，距离为7千米． （2） （千米）； 答：上午王师傅开车行驶总路程为45千米． 27．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）我国海军航空特技飞行队应邀在黄山湖风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下：，，，，．（上升记为正，下降记为负） (1)这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)这架飞机比起飞点高了千米． (2)这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 【分析】（1）本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，将题干中的数据相加求解，即可解题． （2）本题考查绝对值意义，以及有理数加法的实际应用，根据燃油消耗总量飞机上升消耗的燃油飞机下降消耗的燃油列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：（）， 上升记为正，下降记为负， 这架飞机比起飞点高了千米． （2）解：飞机上升消耗的燃油为：（升）， 飞机下降消耗的燃油为：（升）， （升）， 这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗升燃油． 1．（2024·吉林长春·中考真题）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键． 根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：． 故选D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键． 数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可． 【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数, ∴、， ∵， ∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且， ∴，，， 故运算结果一定是正数的是． 故选：A． 3．（2023·青海·中考真题）计算的结果是（　　） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则，根据绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算，结果正确的是（　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】一个正数加上一个负数即减去这个负数的绝对值．故可改为，即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查有理数的加法，计算正确是解题的关键． 5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是； 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 6．（2022·浙江温州·中考真题）计算的结果是（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解： =6 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值时解题的关键． 7．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$