精品解析：安徽省滁州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

2024年滁州市高二教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知正项等比数列单调递增，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 4. 一个大于1自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数（prime number），质数又称素数，如等都是素数.数学上把相差为2的两个素数叫做孪生素数，如：3和5，5和.如果我们在不超过31的素数中随机选取两个不同的数，则这两个数是孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，点在边上，且，则长为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 160 7. 如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 10. 已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有零点之和为 11. 如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 和平面所成角的正弦值为 D. 四面体外接球的表面积为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为__________. 参考数据：若随机变量，则，. 13. 过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________. 14. 已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列，其前项和为.若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和. 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021一2035年）》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：（单位：人） 性别 购车种类 合计 新能源汽车 燃油汽车 男 20 40 60 女 20 10 30 合计 40 50 90 （1）试根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； （2）以上述统计结果的频率估计概率，设事件“购车为新能源汽车”，“购车车主为男性”. ①计算； ②从该市近期购车男性中随机抽取2人､女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望. 附：参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若在定义域上恒成立，求实数取值范围. 19. 已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于两点，，其中坐标原点. ①求与的关系式； ②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年滁州市高二教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元一次不等式求得集合，由此求得. 【详解】，解得：， 所以，所以， 所以. 故选：B 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算得，然后利用二倍角公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 所以， 故选：C 3. 已知正项等比数列单调递增，，则（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】因为正项等比数列单调递增，所以，所以， 又，所以，所以， 故选B. 4. 一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数（prime number），质数又称素数，如等都是素数.数学上把相差为2的两个素数叫做孪生素数，如：3和5，5和.如果我们在不超过31的素数中随机选取两个不同的数，则这两个数是孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式计算求解即可. 【详解】不超过31的素数有：，共个数， 从中随机选取两个不同的数共有种情况， 其中孪生素数有，3和5，5和，和，和，和，共有种情况， 由古典概型的概率公式计算可得概率为. 故选：D 5. 在中，，点在边上，且，则长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理计算可得，再利用余弦定理计算即可. 【详解】∵ ∴由余弦定理可得： 即， ∴或（舍去） ∴， ∴由余弦定理可得： ， ∴ 故选：A 6. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和可求得的值，由各项系数和可求得的值，进而由二项定理求得的系数即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 所以二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得， 解得 ， 所以二项式为， 则该二项式展开式的通项为 ，， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 7. 如图，正方体的棱长为1，点为棱的中点，空间中一点满足，则点的轨迹截正方体表面所得图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取，的中点为、，连接，，可证的轨迹截正方体表面所得图形为平行四边形，故可求截面的周长. 【详解】空间中一点满足，即面， 如图，取，的中点为、，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故， 故四边形为平行四边形，故，，所以四边形为平行四边形， 同理可证得：为平行四边形，故， 因为，面，面，所以面， 因为，面，面，所以面， 又因为，所以，面面，当面时，则面， 所以点的轨迹截正方体表面所得图形即为平行四边形， 由勾股定理计算可得， 故截面的周长为， 故选：D 8. 双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解.， 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 令直线交的延长线交于，直线交于，则， 由平分，且，得， 则，， 显然分别为线段的中点，而是的中点，于是， ，即，， 所以的面积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据待定系数法，将代入条件即可求解，，进而即可根据选项逐一求解. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，，所以， 所以z的实部为1，虚部为，故A正确，B错误； 因为， 所以若，则， 若，则 故C正确，D错误． 故选：AC． 10. 已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，且判断是奇函数且图象关于对称，进而确定周期和对称中心，判断A，B；计算得C错误；推导出在的图象关于对称且值域为确定D选项. 【详解】因为，所以是奇函数； 因为，所以的图象关于对称， 所以，则， 因而，所以的最小正周期，故A正确； 由，则的一个对称中心为，故B正确； ，故C错误； 当时，单调递增且值域为， 因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为， 又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为， 所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 和平面所成角的正弦值为 D. 四面体外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线面角的向量求法判断C，利用球的方程求解出半径，再求表面积即可. 【详解】 如图，作，因为面面，面面， 所以面，且作，因为， ，所以，是的中点，，， 对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，因为是棱的中点，所以， 所以，，， 设面的法向量，所以， 令，解得，所以， 可得，故平面成立，故A正确， 对于B，，，设面的法向量为， 所以，令，解得， 得到，故不平行于，所以平面不成立，故B错误， 对于C，，，设面的法向量为， 所以，令，解得， 故，设和平面所成角为，且， 所以，故C正确， 对于D，设四面体外接球的方程为， 将四点代入球方程，可得， ， 利用加减消元法得到，解得， 再利用加减消元法得到，解得， 现在将，代入方程组，得到， 此时解得，故原方程解得， 故球的方程为， 设球的表面积为，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后将点代入球的方程求出半径，再得到所要求的表面积即可． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为__________. 参考数据：若随机变量，则，. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，即，， 所以 ， 即这名学生数学成绩在分之间概率约为. 故答案为： 13. 过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出抛物线的切线方程，再利用点到直线的距离以及弦长即可求解. 【详解】因为，即， 所以， 设点，则切线斜率为， 所以切线方程为，即 令，解得 所以点坐标为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为 所以，即， 解得（负值已舍）， 所以点坐标为. 故答案为：. 14. 已知函数满足，且恰有一个极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数满足，得到，恰有一个极值点，转化为有唯一解，且在解的两边导数值正负相反，参变分离求出的范围. 求范围，转化为函数值域即可. 【详解】满足，即，即， 且恰好有一个极值点， 有唯一解. 且在解的两边导数值正负相反（∗）. 即有唯一解. 令，则，解得. 递增， 递减， 所以时，函数取极大值，极大值为. 画出草图. 则或. 当时，， ， 解得， 递增， 递减， 当时，函数取极大值，极大值为. 由于（∗），则舍去. 经检验满足题意. 则.令， ，解得. 递增， 递减， 当时，函数取极大值，极大值 画出图像， 则值域为，即取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，本题求解参数范围的基本思路是导函数零点的个数，参变分离，转化为两个函数交点个数.从而确定参数的范围.后将两个参数的函数通过消元转化为的函数，后用导数研究关于的函数值域.思维量大，综合性强，属于难题. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列，其前项和为.若，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据等差数列的前项和公式与等比中项公式列出关于和的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）计算可得，利用等差和等比数列前项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 设的首项为，公差为， ，即.① 又成等比数列，即， 所以. 化简得：.② 联立①②，可得，故. 【小问2详解】 ，即. . ， . 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为的正方形，四边形为菱形，，平面平面. （1）求三棱锥的体积； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，证得面，利用等体积转化利用体积公式求解三棱锥体积． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建泣空间直角坐标系.分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 设，如图1，连接. 因为四边形为菱形且， 所以为等边三角形，则. 四边形是边长为的正方形，所以. 又面，故面 ，面. 又，则， . 【小问2详解】 因为平面平面，且面面面， 在正方形中，，所以面. 面，则，又由（1）知. 如图2，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建泣空间直角坐标系. 可得. 设面BAF的法向量为，， ，令 设两的法向量为，， 令. 故. 所以，平面和平面夹角的余弦值为. 17. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021一2035年）》，《规划》提出，到2035年，纯电动汽车成为新销售车辆的主流，公共领域用车全面电动化，燃料电池汽车实现商业化应用，高度自动驾驶汽车实现规模化应用，有效促进节能减排水平和社会运行效率的提升.某市车企为了解消费者群体中购买不同汽车种类与性别的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了近期购车的90位车主，得到如下列联表：（单位：人） 性别 购车种类 合计 新能源汽车 燃油汽车 男 20 40 60 女 20 10 30 合计 40 50 90 （1）试根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关； （2）以上述统计结果的频率估计概率，设事件“购车为新能源汽车”，“购车车主为男性”. ①计算； ②从该市近期购车男性中随机抽取2人､女性中随机抽取1人，设这三人中购买新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望. 附：参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）①，；②分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据给定表中数据，计算再与临界值表比对即可； （2）①由条件概率公式结合表中数据计算即可； ②设事件C：在购车群体中，男性购买新能源汽车，设事件：在购车群体中，女性购买新能源汽车，分别求出，，且随机变量的可能取值为：，再求随机变量每个可能取值的概率，并写出分布列及期望即可. 【小问1详解】 依题意可得，. 零假设为：购车种类与性别无关联. 依据列联表中数据，经计算得到： . 所以，根据小概率得独立性检验，我们判断购物种类与性别有关， 此判断犯错误概率不大于0.005. 【小问2详解】 ①由条件概率公式结合表中数据得， ②设事件C：在购车群体中，男性购买新能源汽车. 则. 设事件：在购车群体中，女性购买新能源汽车. 则. 依题意，的可能取值为：. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，随机变量的数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）在函数表达式中代入，利用导数研究函数单调性、最值即可； （2）求导得，对的取值进行适当划分并分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，， 恒成立， 在上单调递减. 所以， 当时，的最大值是0； 【小问2详解】 ， . 当时，恒成立，则在上単调递增. ，不满足题意. 当时，. 在上恒成立， 在上单调递增. ，不满足题意. 当时，令. （i）若时，， 令， 在上单调递增，上单调递减. 所以当时，矛盾，不满足题意. （ii）若时，在上恒成立， 在上单调递减. ，满足题意 综上所述，的取值范围为满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是求导后，找到适当的临界值，对进行分类讨论，由此即可顺利得解. 19. 已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于两点，，其中为坐标原点. ①求与的关系式； ②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由求出，从而可求出椭圆方程； （2）①设，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，由，得，结合前面的式子化简可求出与的关系式；②由中点坐标公式求出点的坐标，再设，可表示出点的坐标，代入椭圆方程化简可得，而，结合①的关系可求得结果. 【小问1详解】 依题意可得：右焦点，且，即. 又因为. 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①：设， ， . . 由韦达定理可得：.① 又因为，即， ， 将①代入上式，化简可得：. 即：，此时成立. 故与的关系式为：. ②：由①知：因为为线段的中点， 所以， 设 又因为在椭圆上，. 化简可得：. （*） 又由（1）知：，将其代入（*）式得： . ，即. 所以，的取值范围为. 另解：接（*）式：又由（1）知：. . 即. 所以，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积问题，第（2）问解题的关键是表示出的坐标，代入椭圆化简可得的关系式，化简，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$