1.3探索三角形全等的条件 暑假自主学习解答题专题提升训练 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

2024-2025学年苏科版八年级数学上册《1.3探索三角形全等的条件》 暑假自主学习解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，根据给出的，，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法）    2．如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 3．如图，已知，E、F是上两点，且，求证：．（推理过程请注明理由） 4．如图，点、在上，，，．求证：． 5．如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 6．如图是一个沿河湿地公园局部设计图，在湿地公园的同一侧有两个小区 A 和B，、分别是小区，B直通河岸堤坝的路，其中E是乘坐观景船的游船码头．已知，，，，点 D，E，C在同一直线上，，，求C，D两个路口之间的距离的长度． 7．如图，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长． 8．如图，在和中， (1)求证：； (2)若，求的长度． 9．如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 10．如图，在与中，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)试说明； (2)若，，求线段的长度． 11．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 12．如图，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 13．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． (1)求∠的度数． (2)求证：． 14．如图，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求边上的高的长度． 15．如图，墙地面b，嘉嘉想知道这堵墙上点A到地面的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案． 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量的长度即为点A到地面的高度． (1)请说明为什么的长度即为点A到地面的高度； (2)若测得，，求梯子下滑的高度． 16．在中，和的角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：． 17．等腰三角形中，，点D为底边上一点，作，使，连接，请解答下列问题． 【问题发现】（1）如图1，若，通过证明，可得出与的数量关系是_______；与的数量关系是_______． 【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若点A到的距离为2，请直接写出点A到直线的距离． 18．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围 第一小组得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把，，转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________； ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．    19．（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 20．如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且．    观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由； 探究迁移： （2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积． 参考答案 1．解：如图，即为所求作的角．    2．解：如图，即为所求作的三角形； 3．证明：∵（已知） ∴（等式的性质） ∴ ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（）． 4．证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴、是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 6．解：如图： ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 答：C，D两个路口之间的距离的长度为． 7．解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 8．解：（1）在和中 ∵ ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴. ∵， ∴， ∴ 9．（1）解：是的平分线， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ． ． ，， ， 又， ， ． 10．（1）证明：， ， 在与中， ； （2）， ， ， 即． 11．（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（1）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ． （2）解：∵， ， ∵中，， ． 13．（1）解：． ． ， ； （2）证明：在中，，， ． ． 在和中， ， ， ． 14．（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 设边上的高的长度为， ∵ ∴， 解得：， ∴边上的高的长度为． 15．（1）解：由可知， ， 由题意可知， 在和中， ∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴梯子下滑的高度为． 16．（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．解：（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； （2）成立， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； （3）如图所示， 过点分别作的垂线， ∴， 依题意，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点A到直线的距离为． 18．（1）解：延长到，使得，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴正确选项的序号是②③， 故答案为：②③； （3）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ． 在和中， ∴， ∴ ． 20．解：（1） 且 在与中 , , （2） 它们的关系没有变化，此时， ， ， ， 在与中 ,, 在与中 （3） 由（2）可得，和仍然成立 学科网（北京）股份有限公司 $$