第二十一章 二次根式重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

第二十一章 二次根式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级下·四川南充·期中）若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江西九江·期末）下列不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·四川成都·期末）下列各式正确的是 (    ) A． ×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－4 6．（2024·江苏南京·二模）下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·广东揭阳·期中）若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 8．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（   ） A．24 B．50 C． D．26 10．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论： ①；②设有理数a，b满足，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（5小题，每小题2分，共10分） 11．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 12．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 14．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ． 15．（2024·辽宁大连·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 三、解答题（8小题，共70分） 16．（23-24八年级下·河南安阳·期末）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（23-24八年级下·河南信阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 19．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）把二次根式与分别化成最简二次根式后，能够合并，如果是非负整数，求符合条件的的值． 20．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质： （为任意实数）． 利用上述两条性质解决下列问题． (1)化简，当______时，______；当______时，______． (2)解方程； (3)方程的解是______； (4)方程的解是______． 21．（22-23八年级上·北京顺义·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得 化简．例如，∵==． ∴ 请仿照上例解下列问题： （1）；（2） 22．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 23．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 二次根式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共23题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23八年级下·四川南充·期中）若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先把125分解，然后根据二次根式的性质解答． 【详解】∵125=25×5， ∴是整数的正整数n的最小值是5． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，把125分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义：分母中不含根号，根号中不含分母，被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键． 【详解】A、为最简二次根式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 3．（22-23八年级上·江西九江·期末）下列不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念进行逐一判断即可． 【详解】解：∵无法进行化简，属于最简二次根式，故A不符合题意； ∵无法进行化简，属于最简二次根式，故B不符合题意； ∵， ∴不属于最简二次根式，故C符合题意； ∵无法进行化简，属于最简二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，理解最简二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法运算和二次根式的化简进行运算排除选项． 【详解】、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算错误，此选项不符合题意； 、，计算正确，此选项符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5．（22-23八年级下·四川成都·期末）下列各式正确的是 (    ) A． ×＝9 B．(4)2＝8 C．÷ D．＝7－4 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可． 【详解】A．×＝3，故该选项错误； B．(4)2＝32，故该选项错误； C．÷＝=3，故该选项错误； D．∵4＝，7＝， <，即4<7， ∴＝7－4， 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的运算和求算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键 6．（2024·江苏南京·二模）下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，结果为无理数，不合题意； 、，结果为无理数，不合题意； 、，结果为有理数，符合题意； 、，结果为无理数，不合题意； 故选：． 7．（22-23八年级上·广东揭阳·期中）若+（a﹣4）2＝0，则化简的结果是（　　） A． B．± C． D．± 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得． 【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键． 8．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴ ∴ ， 故选：A． 9．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（   ） A．24 B．50 C． D．26 【答案】A 【分析】根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，得到最大正方形的面积，计算即可，本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为， 得到最大正方形的面积， 故阴影面积为， 故选A． 10．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论： ①；②设有理数a，b满足，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：①，故正确； ②， ∴，故错误； ③， ， ∵， ∴，故正确； ④∵，而， ∴，故错误； ⑤ ，故正确； 正确的有①③⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 二、填空题（5小题，每小题2分，共10分） 11．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 12．（22-23八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【详解】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数式规律探究，总结归纳出数式变化规律是解题的关键． 通过观察，归纳总结出规律为，再把代入即可求解． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 14．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ． 【答案】39 【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， 两式相减得，即， 两边平方得到， ∴，经检验是原方程的解， 故答案为：． 15．（2024·辽宁大连·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，由题意得：，，，先求出，再代入公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共70分） 16．（23-24八年级下·河南安阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行乘法计算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)15 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，按照二次根式乘法法则计算即可． （1）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （2）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （3）根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算即可． （4）根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 18．（23-24八年级下·河南信阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)20 (2) (3)10 (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 19．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）把二次根式与分别化成最简二次根式后，能够合并，如果是非负整数，求符合条件的的值． 【答案】符合条件的的值有： 【分析】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．由二次根式有意义的条件及是非负整数得到，根据，且与是同类二次根式，知，分别取即可得答案． 【详解】解：根据题意得：，且， ， ，且与是同类二次根式， ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 符合条件的的值有：． 20．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质： （为任意实数）． 利用上述两条性质解决下列问题． (1)化简，当______时，______；当______时，______． (2)解方程； (3)方程的解是______； (4)方程的解是______． 【答案】(1)，；，； (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）结合（1）分类讨论求解即可； （3）由二次根式有意义的条件可求出，从而得出，即可将原方程化简，再求解即可； （4）根据二次根式的性质分类讨论求解即可，注意舍去不合题意的解． 【详解】（1）解：化简，当，即时，； 当，即时，． 故答案为：，；，； （2）解：， 由（1）可知当时，原方程可化为， 解得：； 当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或； （3）解：∵方程成立， ∴， ∴， ∴， ∴原方程可化为， 解得：； （4）解： 分类讨论：当时，即，， ∴原方程可化为， 解得：； 当时，即，， ∴原方程可化为， 解得：； 当时，即，， ∴原方程可化为， 解得：（舍）． 综上可知该方程的解为或． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质解方程．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 21．（22-23八年级上·北京顺义·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得 化简．例如，∵==． ∴ 请仿照上例解下列问题： （1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把4分成3+1，根据二次根式的性质进行化简即可． （2）把7分成2+5，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = = 【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，正确理解阅读材料所示内容、掌握二次根式的性质是解题的关键． 22．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3)4或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． （2）解：猜想：， 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式； ②若，即时， 原式， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 23．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$