精品解析：广东省广州市增城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期期末质量检测卷 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直 3. 甲、乙两位学生5次数学训练成绩平均数均为90，方差分别为，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加数学竞赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 不确定 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 6. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 7. 一次函数的图象大致是( ). A. B. C. D. 8. 已知一次函数与相交于点，则方程组解是（ ） A. B. C. D. 9. 若直线过点，则直线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 若一组数据1、3、8、5、8的众数是__________． 13. 下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度 与弹跳高度 的关系，能表示这种关系的式子是____． y 50 80 100 150 x 25 40 50 75 14. 在中，，斜边，则斜边上的中线__________． 15. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则__________． 16. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留；②快车速度比慢车速度快；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是_______填上你认为正确结论的序号）． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 18. 已知：▱ABCD中，E、F对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 19. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）当时，直接写出x的取值范围． 20. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 21. 为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同． （1）求该县投入资金的年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？ 22. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线． （1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）连接BE、DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？ 23. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）分别求出当与时，与之间的函数关系式； （2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？ （3）当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 24. 如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由． 25. 如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接． （1）直接写出与的位置和数量关系． （2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末质量检测卷 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意； B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意； D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意； 故选：D 3. 甲、乙两位学生5次数学训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加数学竞赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用平均数、方差作决策，理解平均数、方差的意义是解答的关键． 根据平均数相同，方差越小发挥越稳定，故选择方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴乙发挥更稳定，应选择乙， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各个选项。即可得到正确答案． 本题主要考查了二次根式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故A选项错误； B、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　） A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AC＝×10＝5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题关键． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C 7. 一次函数的图象大致是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】析：根据一次函数y=x+2与x轴和y轴的交点，结合一次函数图象的性质便可得出答案． 解答：解：一次函数y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2， 故一次函数y=x+2图象经过（0，2）（-2，0）； 故根据排除法可知A选项正确． 故选A． 8. 已知一次函数与相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值就是对应二元一次方程组的解． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：∵一次函数与相交于点， ∴方程组的解是， 故选：A． 9. 若直线过点，则直线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把点代入中，求出一次函数的表达式，然后求出时y的值，即可得直线与轴的交点坐标． 本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 详解】把点代入中，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为． 故答案为：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 若一组数据1、3、8、5、8的众数是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了众数．根据众数的定义，即可求解． 【详解】解：∵8出现的次数最多， ∴众数是8． 故答案为：8 13. 下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度 与弹跳高度 的关系，能表示这种关系的式子是____． y 50 80 100 150 x 25 40 50 75 【答案】 【解析】 【分析】观察各选项可知y与x是正比例函数关系，设函数关系式为，然后选择一组数据代入，利用待定系数法求函数解析式解答即可． 【详解】解：根据题意，设函数关系式为， 则， 解得， 所以，y与x的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数关系式的求解，根据各选项判断出y与x是正比例函数关系是解题的关键． 14. 在中，，斜边，则斜边上中线__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可解答． 【详解】解：∵在中，，斜边， ∴斜边上的中线， 故答案：4． 15. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠前后对应边相等，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 由折叠可知，，，根据勾股定理得出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求出x的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可知，，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：3． 16. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留；②快车速度比慢车速度快；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是_______填上你认为正确结论的序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】根据题意可知两车出发时相遇，此时可知他们的速度和，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车的距离为，由此可得慢车的速度，进而可得快车的速度，根据：路程和=速度和时间，即可求得，则可判定结论． 【详解】解：根据题意得， 两车的速度和为：， 相遇后快车停留了，故①结论错误； 慢车的速度为：， 则快车的速度为：， 所以快车的速度比慢车多，故②结论正确； ，所以图中，故③结论正确； 快车到达终点的时间为：， 慢车到达终点的时间为：， 因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，行程问题中的数量关系的运用，函数图象的意义，根据图象中获取信息解决问题是解题的关键． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． 18. 已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论． 【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 19. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的表达式，分别求出时y的值，和时x的值，即可得点A、B的坐标； （2）观察图像即可得解． 【小问1详解】 解：由，得 时，， 时，， ∴，． 【小问2详解】 解：由图知时，． 20. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出的长； （2）由，，的长，可得出，进而可证出是直角三角形且，利用三角形的面积公式可求出及的值，将其代入中即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）知，即， ， 是直角三角形，且， ； 由（1）知在中，，，， ． ． 21. 为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同． （1）求该县投入资金的年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？ 【答案】（1）该县投入资金的年平均增长率为； （2）该县年投入资金为万元． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的增长率问题，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设该县投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金年投入资金，即可得出的关于一元二次方程，解之取正值即可； 根据中求出的年平均增长率，根据年投入资金年投入资金即可求解． 【小问1详解】 解：设该县投入资金的年平均增长率为， 依题得：， 解得，（不合题意，舍去）， 故该县投入资金的年平均增长率为． 【小问2详解】 解；由得：该县投入资金的年平均增长率为， 年投入资金万元，增长率保持不变， 预计该县年投入资金为万元． 答：该县年投入资金为万元． 22. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线． （1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）连接BE、DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？ 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别以、为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可； （2）连接，，四边形为菱形，理由为：由垂直平分，得到，，再由与平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，再由，等量代换得到四条边相等，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求直线； 【小问2详解】 解：四边形菱形，理由为： 证明：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图基本作图，解题的关键是熟练掌握性质及判定． 23. 某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． （1）分别求出当与时，与之间的函数关系式； （2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？ （3）当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 【答案】（1）当时，与之间的函数关系式为；当时，设与之间的函数关系式为； （2）70厘米 （3）继续生长大约18天，开始开花结果 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入，即可求解； （3）把代入，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，与之间的函数关系式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴当时，设与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ， 即继续生长大约18天，开始开花结果． 24. 如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由． 【答案】（1）； （2）①C ，D ；②存在，，或 【解析】 【分析】（1）由题意根据点A，B的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式； （2）①根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证△BOC≌△CED，可求出DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标； ②根据题意设点Q的坐标为（n，- n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值． 【详解】解：（1）将，代入得： 解得 直线AB得表达式为． （2）①过点D作于点E， ，， ．又， ， ，． 设，则点D得坐标为， 点D在直线AB上， ， ， 点C得坐标为，点D得坐标为． ②存在点Q得坐标为，或． 理由如下： 设点Q的坐标为（n，- n+3）． 分两种情况考虑，如图2所示： 当CD为边时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴0-n=4-1或n-0=4-1， ∴n=-3或n=3， ∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（-3，）； 当CD为对角线时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴n+0=1+4， ∴n=5， ∴点Q″的坐标为（5，）． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的表达式以及分CD为边和CD为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标． 25. 如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接． （1）直接写出与的位置和数量关系． （2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）， （2）；，证明见解析 （3）在（2）中得到的两个结论不发生变化，证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，可证，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可； （2）延长交于点H，可证，可得，从而得到，再由，，可得，从而得到，即可； （3）延长到H，使，连接，可得，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点H， 在正方形和正方形中，， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：猜想：；，证明如下： 如图，延长交于点H， 在菱形和菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在（2）中得到的两个结论仍成立．证明如下： 如图3，延长到H，使，连接， ∵点P是的中点， ∴， 在和中， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$