精品解析：安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位. 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知命题，命题，则（ ） A. 命题､命题都是真命题 B. 命题的否定､命题都是真命题 C. 命题､命题的否定都是真命题 D. 命题的否定､命题的否定都是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】先判断两个命题的真假，再根据命题的否定与原命题真假的关系即可得解. 【详解】对于命题，当时，，故是假命题，则的否定为真命题， 对于命题，故是假命题，的否定是真命题， 综上可得，的否定和的否定都是真命题. 故选：D. 2. 给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 2 4 4 7 8 A. ，时的残差为 B. ，时的残差为1 C. ，时的残差为 D. ，时的残差为0.9 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本中心点求解，把代入求解即可. 【详解】由已知，， 因为点在回归直线上， 所以， 所以时，所以残差为. 故选：. 3. 若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用瞬时速度公式即可求得时的瞬时速度，利用物体在到这段时间内的平均速度为公式即可求得从到这两秒内的平均速度. 【详解】， 所以.即该质点在时的瞬时速度为； 从到这两秒内的平均速度为； 故选：D. 4. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，C选项只需要用特殊值法，找出反例即可判断正误。D选项需要利用对钩函数，利用函数单调性即可判断正误。 【详解】对于选项A，若时，，则错误. 对于选项B，若，当，则，则B错误. 对于选项C，若取，则，故错误. 对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 6. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式系数和可求，进而利用通项公式可求奇次项有，利用排列组合知识，可求奇次项都互不相邻的概率. 【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以. 二项式即为， 通项公式为， 故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为. 故选：A. 7. 现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试不合格率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设10名学生中有名不合格，根据题意可得，可求，进而可求不合格率. 【详解】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为， 由，得，化简得，解得， 即本次测试的不合格率为. 故选：C. 8. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用基本不等式进行形式的转变进而找到分子和分母的关系，可以求出最小值，根据对勾函数以及，对分母进行放缩，进而求出最大值. 【详解】因为，当且仅当时等号成立. ，由对勾函数性质，所以， 则，同理 则， 故的取值范围是. 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 设，若，则 C. 已知随机变量的方差为，则 D. 若，则当时概率最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性和概率的计算，可判定A正确；根据二项分布的期望与方差的计算公式，列出方差组，可得判定B正确.根据方差的性质，可判定C不正确，根据二项分布的概率计算公式，求得相应的概率，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，由且，可得，所以A正确； 对于B中，设，且，可得， 解得，所以B正确. 对于C中，根据方差的性质，可得，所以C错误. 对于D中，因为，则， 因为，若， 当时，； 当时，， 即， 所以当时概率最大，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知且，下列等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，利用排列数阶乘公式计算推断；对选项B，利用排列数阶乘公式计算推断；对选项C，利用组合数性质逐次计算即可判断；对选项D，利用二项式系数的性质计算判断. 【详解】选项A，，故A错误； 选项B，， 所以，故B正确； 选项C， ，故C错误； 选项D，考虑二项式展开式的前的系数是， 又因为的前的系数可看成，故D正确. 故选：BD. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，则的取值范围是 D. 存在实数，使函数在内有最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A错误；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；设函数的3个零点分别是，得到，令，利用导数求得函数的单调性和最值，可判定C正确；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增， 则，即，所以，所以A错误； 对于B中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的负实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确. 对于C中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，可得， 则在上单调递减，所以， 当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为， 即的取值范围是，所以C正确； 对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数， 故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，所以， 要使函数在内有最小值，即，即，故无解， 所以不存在，所以D不正确. 故选：BC. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 全集，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集运算先求，然后再求交集可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知，函数有两个不同极值点，则__________. 【答案】4. 【解析】 【分析】求得导数，，求得极值点，代入函数中可求的值. 【详解】由，可得， 令，即，解得， 所以 故答案为：. 14. 从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有__________种不同的取法.（答案用表示） 【答案】 【解析】 【分析】设三组中的数的个数分别为，得到，结合隔板法，即可求解. 【详解】解：设三组中的数的个数分别为 则，所以 利用隔板法可得：. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.） 15. （1）解关于的不等式：. （2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）参变分离可得在上有解，则，结合对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，即， 当时，解得或，所以不等式的解集为； 当时，，所以不等式解集为； 当时，解得或，所以不等式的解集为， 综上可得当时等式的解集为； 当时不等式的解集为，当时不等式的解集为. （2）因为关于的不等式在上有解， 所以在上有解，所以，， 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，当时， 所以当时， 所以. 16. 为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图： 从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表： 男生 女生 合计 喜欢 35 15 50 不喜欢 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据样本数据，依据的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因. （2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因 参考公式：其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不一致，原因见解析 （2）不一致，原因见解析 【解析】 【分析】（1）计算卡方，与临界值比较即可得解； （2）计算卡方，与临界值比较即可得解. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢篮球和学生性别没有关联. . 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联. 不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断， 会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论.. 【小问2详解】 将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算： . 根据独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联， 与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍， 相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化. 17. 对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”. （1）对于和点，求点，使得点是到点的“最近点”. （2）对于，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直，若存在，求出点；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，取得，记，利用导数求得在上单调递增，且，进而得到单调性，结合，即点是到点的“最近点”，求得斜率，进而求得到点的“最近点”，得到结论. 【小问1详解】 解：因为，可得， 当且仅当时，等号成立，所以当时，点是到点的“最近点”. 【小问2详解】 解：因为，可得； 所以，记， 可得，所以在上单调递增，且， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即点是到点的“最近点”，切点为， 则在点处的切线的斜率为1，， 所以直线与在点处的切线垂直， 当且仅当取时，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直. 【点睛】知识方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到函数新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清函数新定义的性质，按函数新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 18. 某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选人选人选，则选择的人获奖；5人中3人选人选人选，则选择和的人均获奖；如中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖） （1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率； （2）设每组5人中获奖人数为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）商家提供方案2：将三个字母改为和两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）选择方案2 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可； （3）分别求出两种方案获取总奖金的数学期望，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲获奖为事件，乙获奖为事件， ； 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 的数学期望； 【小问3详解】 选择方案1获取奖金总额的数学期望为， 设选择方案2获奖人数为的可能取值为， 则， 方案2获奖人数的数学期望， 选择方案2获取奖金总额的数学期望为， 因为，所以选择方案2. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于（2）中确定随机变量的取值之后，要明确每种情况相应的选法数，从而求得概率. 19. 函数. （1）求函数的单调区间； （2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围； （3）设，若是函数在上的极值点，求证：. 【答案】（1）在单调递增，在和单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解函数的单调性， （2）利用点斜式求解切线方程，即可，得，根据斜率为负可得或，即可利用对勾函数的性质求解， （3）求导，判断函数单调性，即可确定时取极大值，代入即可求证. 【小问1详解】 的定义域为 令得. 令，可得或, 所以在单调递增，在和单调递减. 【小问2详解】 因为，所以 设切点坐标为，则切线方程为 因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或. 在切线方程中，令，得， 解得 令，则或， 由对勾函数的性质可知：当时，，当且仅当时取等号， 当时，单调递增，此时 可得. 即在轴上的截距的取值范围为. 【小问3详解】 因为.则 当时，.故在上单调递减. 当时，令 则 由于，，则，故 所以在上单调递减，因为， 所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点 当时，，即， 当时，，即，所以时取极大值. 所以， 即得证. 【点睛】方法点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位. 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知命题，命题，则（ ） A. 命题､命题都真命题 B. 命题否定､命题都是真命题 C. 命题､命题的否定都是真命题 D. 命题的否定､命题的否定都是真命题 2. 给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则（ ） 1 2 3 4 5 2 4 4 7 8 A. ，时的残差为 B. ，时的残差为1 C. ，时的残差为 D. ，时的残差为0.9 3. 若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ） A. B. C. D. 4. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 对于实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 设，若，则 C. 已知随机变量的方差为，则 D. 若，则当时概率最大 10. 已知且，下列等式正确的有（ ） A. B. C D. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，则的取值范围是 D. 存在实数，使函数在内有最小值 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 全集，则__________. 13. 已知，函数有两个不同极值点，则__________. 14. 从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有__________种不同的取法.（答案用表示） 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.） 15. （1）解关于的不等式：. （2）关于不等式在上有解，求实数的取值范围. 16. 为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图： 从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表： 男生 女生 合计 喜欢 35 15 50 不喜欢 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据样本数据，依据的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因. （2）将样本列联表中所有数据扩大为原来2倍，依据的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因 参考公式：其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”. （1）对于和点，求点，使得点是到点的“最近点”. （2）对于，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直，若存在，求出点；若不存在，说明理由. 18. 某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选人选人选，则选择的人获奖；5人中3人选人选人选，则选择和的人均获奖；如中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖） （1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率； （2）设每组5人中获奖人数为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）商家提供方案2：将三个字母改为和两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？ 19. 函数. （1）求函数的单调区间； （2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围； （3）设，若是函数在上的极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$