宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二下学期第三阶段考试数学复习卷（三）

试卷第 1 页，共 14 页 贺兰一中 2023-2024学年第二学期高二年级第三阶段考试数学复习卷（三） 一、单选题 1．已知集合  2 2 15 0A x x x= − − ∣ ，  3 2,B x x k k= = − Z∣ ，则集合 A B 中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式化简集合A ，即可求解. 【详解】由  2 2 15 0A x x x= − − ∣ 得  3 5A x x= −  ∣ ，所以  2,1,4A B = − . 2．函数 2 1( 2) ( ) { 1( 2) ax x x f x ax x + −  = −  是R上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是 A． 1 0 4 a−   B． 1 4 a  − C． 1 1 4 a−   − D． 1a  − 【答案】D 【详解】试题分析：∵ 2 1( 2) ( ) { 1( 2) ax x x f x ax x + −  = −  是 R上的单调递减函数，∴ 0 1 { 2 1 2 2 1 4 2 1 a a a a a  −    − −  + − ，选 D． 【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是2 1 4 2 1a a−  + − ，将分 段函数在R上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转 折点处，函数的图象不上升． 3．已知随机变量 X 服从二项分布 2 3, 3 B       ，则 ( )D X =（ ） A． 2 9 B． 1 3 C． 4 9 D． 2 3 【答案】D 【分析】代入二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】由随机变量 X 服从二项分布 2 3, 3 B       ，可得 ( ) 2 2 2 3 (1 ) 3 3 3 D X =   − = . 4．已知函数 2( ) sin (0)e xf x x f = + ，则 (0)f =（ ） A．1 B． 1 2 − C．2 D． 1− 【答案】D 【分析】其中 (0)f  为常数，求出函数 2( ) sin (0)e xf x x f = + 的导函数，代入 0x = 求解 (0)f  ，从而可以求解 (0)f . 【详解】由于函数 2( ) sin (0)e xf x x f = + ，则其导函数为： 2( ) cos 2 (0)e xf x x f= +  ， 试卷第 2 页，共 14 页 代入 0x = ，可得： 0(0) cos0 2 (0)ef f= + ，解得： (0) 1f  = − ，所以 2( ) sin e xf x x= − ，所以 0(0) sin 0 e 1f = − = − . 5．某中学举行夏季运动会，共有 3 类比赛 9 个项目：集体赛 2 项，田赛 3 项，径赛 4 项．要求参赛者每人 至多报 3 项，且集体赛至少报 1 项，则每人有（ ）种报名方式 A．49 B．64 C．66 D．73 【答案】C 【分析】根据两个计数原理结合组合知识即得. 【详解】由题可知，若每人报集体赛 1 项，则报名方式有 1 0 1 1 1 2 2 7 2 7 2 7C C +C C +C C 58= 种， 若每人报集体赛 2 项，则报名方式有 2 0 2 1 2 7 2 7C C +C C 8= 种，所以每人共有报名方式58 8 66+ = 种. 6．为样本空间，随机事件 A、B满足 ( ) ( ) 1 2 P A P B= = ， ( ) 1P A B = ，则有（ ） A． A B = B． ( ) 1P A B = C． AB = D． ( ) 1P A B = 【答案】B 【分析】以正态分布为背景，举反例判断 ACD，利用概率和公式判断 B. 【详解】设 ( )20,1X N ， 对 A，若事件  0A X=  ，事件  0B X=  ，则 ( ) ( ) 1 2 P A P B= = ， ( ) 1P A B = ，但 A B  ，项 A 错； 对 C，若事件  0A X=  ，事件  0B X=  ，则 ( ) ( ) 1 2 P A P B= = ， ( ) 1P A B = ，但 AB ，项 C 错； 对 D，若事件  0A X=  ，事件  0B X=  ，则 ( ) ( ) 1 2 P A P B= = ， ( ) 1P A B = ，但 ( ) ( ) ( ) 0 P AB P A B P B = = ， 项 D 错； 对 B，因为 ( ) 1P A B = ，所以 ( ) ( ) ( ) 1P A P B P AB+ + = ，又 ( ) ( ) 1 2 P A P B= = ，所以 ( ) 0P AB = ， 所以 ( ) ( )1 1P A B P AB = − = ，B 正确； 7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了 二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》 一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在 1654 年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学 史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是 （ ） A． 2 2 2 2 3 4 5 9C +C +C + +C 120= B．第 2023 行中从左往右第 1013 个数与第 1014 个数相等 C．记第 n行的第 i 个数为 ia ，则 1 i 1 1 2 4 n n i i a + − = = 试卷第 3 页，共 14 页 D．第 20 行中第 8 个数与第 9 个数之比为8:13 【答案】D 【分析】根据题意，归纳可得：第n 行的第 r 个数为 1Crn − ，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可 得答案． 【详解】根据题意，由数表可得：第n 行的第 r 个数为 1Crn − ，由此分析选项： 对于 A， 2 2 2 3 2 2 2 33 4 9 3 3 4 9 10C +C C =C +C +C C =C 1 119++ ++ − = ，A 错误； 对于 B，第 2023 行中从左往右第 1013 个数为 1012 2023C ，第 1014 个数为 1013 2023C ，两者不相等，B 错误； 对于 C，记第n 行的第 i 个数为 ia ，则 1Cii na −= ，则 1 1 1 1 1 1 1 2 2 C (1 2) 3 n n i i i n n i n i i a + + − − − = = = += =  ，C 错误； 对于 D，第 20 行中第 8 个数为 7 20C ，第 9 个数为 8 20C ，则两个数的比为 7 8 20 20 20! 8 3 ! 12! : 7! 13 C ! 20 C 8:1 !  =  =  ，D 正确． 8．已知 ( ) 2 1 ln ( 0) 2 f x a x x a= +  ，若对任意两个不等的正实数 1 2,x x ，都有 ( ) ( )1 2 1 2 1 f x f x x x −  − 恒成立，则a 的 取值范围是（ ） A． 1 , 4   +   B． 1 , 4   +    C． 1 0, 4      D． 1 0, 4       【答案】A 【分析】令 ( ) ( ) 2 1 ln ( 0) 2 g x f x x a x x x a= − = + −  ，由已知可得 ( ) ( ) 2 1 ln ( 0) 2 g x f x x a x x x a= − = + −  为 (0, )+ 上的增函数，从而可得 ( ) 1 0( 0, 0) a g x x x a x = + −    恒成立，参变分离可求 a 的取值范围. 【详解】根据 ( ) ( )1 2 1 2 1 f x f x x x −  − 可知 ( ) ( )1 1 2 2 1 2 0 f x x f x x x x  − − −   − ，令 ( ) ( ) 2 1 ln ( 0) 2 g x f x x a x x x a= − = + −  ， 可得 ( ) ( ) 2 1 ln ( 0) 2 g x f x x a x x x a= − = + −  为 (0, )+ 上的增函数， 所以 ( ) 1 0( 0, 0) a g x x x a x = + −    恒成立，分离参数得 ( )1a x x − ， 而当 0x  时， ( ) 2 (1 ) 1 1 [ ] 2 4 x x x x + − −  = ， 当且仅当 1x x= − ，即 1 2 x = 时取等号，故 ( )1x x− 最大值为 1 4 ，所以 1 a 4  ，所以a 的取值范围是 1 [ , ) 4 + . 二、多选题 9．使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感 染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量 x （单位为天），以监测到的病例总数为因 变量 y ，选择以下两个回归模型拟合 y 随 x 的变化：回归模型一： 1 1( 0)y k x b x= +  ；回归模型二： 2 ( 0) mxy k e x=  ，通过计算得出 1 1 25.14, 16.3; 2.5, 0.2k b k m= = − = = ，则下列说法正确的是（ ） 试卷第 4 页，共 14 页 x 1 5 7 12 16 20 y 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数 2R 大于使用回归模型二的决定系数 2R B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后 45 天，该传染病感染人数很有可能在 200 人左右 D．在首例病例出现后 45 天，该传染病的感染人数很有可能超过 10000 人 【答案】BD 【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断 A、B 两个选项，再 将 45x = 代入模型二的经验回归方程，即可判断 C、D 选项. 【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数 2R 越大， 所以使用回归模型一拟合的决定系数 2R 小于使用回归模型二的决定系数 2R ， 所以 A 错误，B 正确； 因为模型二的的拟合效果好，预报更准确，根据已知： 2 ( 0) mxy k e x=  ， 2 2.5, 0.2k m= = ，所以 0.22.5e xy = ，将 45x = 代入经验回归方程， 有 92.5e 20258y =  ，所以 C 错误，D 正确. 10．下列说法正确的是（ ） A．不等式 24 5 1 0x x− +  的解集是 1 1 4 x x x        或 B．不等式 22 6 0x x− −  的解集是 3 2 2 x x x    −     或 C．若不等式 2 8 21 0ax ax+ +  恒成立，则 a的取值范围是 D．若关于 x的不等式 22 3 0x px+ −  的解集是 ( ),1q ，则 p q+ 的值为 1 2 − 【答案】CD 【分析】对于 AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于 C，对a 分类讨论即可判断；对于 D，由一元二 次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得 ,p q，然后即可判断. 【详解】对于 A， ( )( )2 1 4 5 1 0 1 4 1 0 4 x x x x x− +   − −    或 1x  ，故 A 错误； 对于 B， ( )( )2 3 2 6 0 2 2 3 0 2 2 x x x x x− −   − +   −   ，故 B 错误；若不等式 2 8 21 0ax ax+ +  恒成立， 试卷第 5 页，共 14 页 当 0a = 时，21 0 是不可能成立的，所以只能 2 0 Δ 64 84 0 a a a   = −  ，而该不等式组无解，综上，故 C 正确； 对于 D，由题意得 ,1q 是一元二次方程 22 3 0x px+ − = 的两根，从而 3 1 2 2 3 0 q p −  =   + − = ，解得 3 1, 2 p q= = − ， 而当 3 1, 2 p q= = − 时，一元二次不等式 ( )( )2 3 2 3 0 1 2 3 0 1 2 x x x x x+ −   − +   −   满足题意， 所以 p q+ 的值为 1 2 − ，故 D 正确. 11．已知 ( ) ( ) ( )*2 3 n f x x n= − N 展开式的二项式系数和为512， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 21 1 ... 1 n nf x a a x a x a x= + − + − + + − ，下列选项正确的是（ ） A． 1 2 ... 1na a a+ + + = B． 1 2 32 3 ... 18na a a na+ + + + = C． 2 144a = D． 9 0 1 ... 3na a a+ + + = 【答案】BD 【分析】先用题目条件得到 9n = ，然后取特殊值即可验证 A，对表达式求导即可验证 B，换元并使用二项 式定理即可验证 C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证 D. 【详解】由已知有 0 12 C C ... C 512n nn n n= + + + = ，故 9n = ， ( ) ( ) 9 2 3f x x= − . 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 9 0 1 2 92 3 1 1 ... 1x a a x a x a x− = + − + − + + − . 对于 A，取 1x = 得 01 a− = ，取 2x = 得 0 1 91 ...a a a= + + + ， 所以 ( )1 2 9... 1 1 2a a a+ + + = − − = ，A 错误； 对于 B，对 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 9 0 1 2 92 3 1 1 ... 1x a a x a x a x− = + − + − + + − 求导得 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 8 1 2 3 918 2 3 2 1 3 1 ... 9 1x a a x a x a x− = + − + − + + − ，取 2x = 得 1 2 3 918 2 3 ... 9a a a a= + + + + ，B 正确； 对于 C，在 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 9 0 1 2 92 3 1 1 ... 1x a a x a x a x− = + − + − + + − 中用 1x+ 替换 x ， 得 ( ) 9 2 9 0 1 2 92 1 ...x a a x a x a x− = + + + + . 所以 ( ) ( ) 9 9C 2 1 0,1,...,9 kk k ka k − =   − = ，特别地对 2k = 有 ( ) 9 22 2 2 9C 2 1 144a − =   − = − ，C 错误； 对于 D，由 ( ) ( ) 9 9C 2 1 0,1,...,9 kk k ka k − =   − = 有 0 1 9 0 1 2 9... ...a a a a a a a+ + + = − + − + + . 在 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 9 0 1 2 92 3 1 1 ... 1x a a x a x a x− = + − + − + + − 中取 0x = 得 9 0 1 2 93 ...a a a a− = − + − − ， 所以 ( )9 90 1 9 0 1 2 9... ... 3 3a a a a a a a+ + + = − + − + + = − − = ，D 正确. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 试卷第 6 页，共 14 页 三、填空题 12．随机变量 ( )25,X N  ， ( ) 13 8 P X  = ，则 ( )3 7P X  = ． 【答案】 3 4 /0.75 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可． 【详解】因为随机变量 ( )25,X N  ，可得正态分布曲线的对称轴为 5x = ， 又因为 ( ) 1 3 8 P X  = ，所以 ( ) 1 7 8 P X  = ， 1 7 ( 7) 1 8 8 P X  = − = ，所以 ( ) 7 1 3 3 7 8 8 4 P X  = − = . 13．若 6 2 a x x   −    展开式中的常数项为 160− ，则实数 =a . 【答案】1 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得 r 的值，代入列出方程，即可求解. 【详解】由二项式 6 2 a x x   −    展开式的通项为 ( ) 6 6 6 2 1 6 6C 2 ( ) ( ) 2 C rr r r r r r r a T x a x x − − − + = − = − ， 令6 2 0r− = ，可得 3r = ，代入可得 3 3 3 3 4 6( ) 2 C 160 160T a a= − = − = − ，解得 1a = . 14．对具有线性相关关系的变量 ,x y 有一组观测数据 ( )( ), 1,2...10 , 5, 4i ix y i x y= = = − ，其经验回归方程 3.2y x a= − + ，则在样本点 ( )3,2.9 处的残差为 . 【答案】0.5/ 1 2 【分析】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解. 【详解】将 5, 4x y= = − 代入 3.2ˆ ˆy x a= − + ，得 ˆ4 3.2 5 a− = −  + ，解得 ˆ 12a = ，所以 ˆ 3.2 12y x= − + ， 故当 3x = 时， ˆ 3.2 3 12 2.4y = −  + = ，所以残差e 2.9 2.4 0.5= − = . 四、解答题 15．设 p：实数 x满足 2 24 3 0x ax a− +  ，q：实数 x满足 2 6 8 0x x− +  ． (1)若 1a = ，且 p和 q均为真命题，求实数 x的取值范围； (2)若 0a  且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】(1) )2,3 ；(2) 4 , 2 3       . 【分析】（1）根据一元二次不等式求解 p，q为真命题时的范围，即可求解， （2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解. 【详解】（1）当 1a = 时，由 2 24 3 0x ax a− +  ，得 2 4 3 0x x− +  ， 解得1 3x  ，即 p为真命题时，实数 x的取值范围是 ( )1,3 由 2 6 8 0x x− +  ，解得2 4x  ， 即 q为真命题时，实数 x的取值范围是 2,4 ．所以若 p，q均为真命题，则实数 x的取值范围为 )2,3 ． 试卷第 7 页，共 14 页 （2）由 2 24 3 0x ax a− +  ，得 ( )( )3 0x a x a− −  ，因为 0a  ，所以 3a a ，故 p： 3a x a  ． 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q是 p的充分不必要条件， 所以 2 3 4 a a    ，解可得 4 2 3 a  ．故实数 a的取值范围是 4 , 2 3       16．在某项测验中，共有 20 道多项选择题（15 道双选题和 5 道三选题随机排列），每道题都给出了 4 个选 项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选 错的得 0 分．现有甲乙两位同学均已答完前 19 题，两人对于每一题的答对与否均不确定． (1)若甲同学在解答第 20 题时，随机选择一个选项作答，求他第 20 题得 2 分的概率； (2)若乙同学在解答第 20 题时，已正确判断出 A 选项是错误的，而对 BCD 三个选项的正确与否无法确定， 现在有三个方案： ①从 BCD 三个选项中随机选一个作为答案； ②从 BCD 选项中随机选两个作为答案； ③直接选择 BCD 作为答案； 为使第 20 题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由． 【答案】(1) 9 16 (2)建议乙同学选择方案②作答，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用条件概率公式和全概率公式求解； （2）方法一：分别求正确答案为两个选项和正确答案为三个选项两种情况的得分期望，结合期望的性质求 相应的期望，并对比分析；方法二：根据题意结合独立事件概率乘法公式求相应的分布列和期望，并对比 分析. 【详解】（1）设事件 A = “第 20 题为双选题”，事件B = “第 20 题得 2 分”， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 11 32 1 1 4 4 CC3 1 1 3 , , , 4 4 C 2 C 4 P A P A P B A P B A= = = = = = ， 根据全概率公式有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 9 4 2 4 4 16 P B P A P B A P A P B A=  +  =  +  = . （2）解法一：在 20 道多项选择题中，双选题出现的概率为 15 3 20 4 = ，三选题出现的概率为 5 1 20 4 ． ①当乙从 BCD 三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第 20 题的得分为 X ， 若正确答案为两个选项，则得分 X 的分布列为 此时 X 的期望为 ( ) 1 2 4 0 2 3 3 3 E X  = + = ； 若正确答案为三个选项，则任意选一个均正确，得分 2X = ，此时 X 的期望为 2； 故 ( ) 3 4 1 3 2 4 3 4 2 E X =  +  = ； ②当乙从 BCD 三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第 20 题的得分为Y . X 0 2 P 1 3 2 3 试卷第 8 页，共 14 页 若正确答案为两个选项，则得分Y 的分布列为 Y 的期望为 ( ) 2 1 5 0 5 3 3 3 E Y =  +  = ； 若正确答案为三个选项，则得分Y 的期望为 2； 故 ( ) 3 5 1 7 2 4 3 4 4 E Y =  +  = ． ③当乙同时选择 BCD 三个选项作答时，设乙同学在解答第 20 题的得分为Z ， 若正确答案为两个选项，则得分Z 的期望为 0： 若正确答案为三个选项，则得分Z 的期望为 5； 故 ( ) 3 1 5 0 5 4 4 4 E Z =  +  = ． 因此 ( ) ( ) ( )E Y E X E Z  ，建议乙同学选择方案②作答． 解法二：在 20 道多项选择题中，双选项由现的概率为 15 3 20 4 = ，三选题出现的概率为 5 1 20 4 ． ①当乙从 BCD 三个选项中随机选一个作答时， 设得分为变量 X ，则 X 的可能取值为 0、2， 则 ( ) ( ) 3 1 1 1 3 2 1 3 0 0 , 2 1 4 3 4 4 4 3 4 4 P X P X= =  +  = = =  +  = ， X 的概率分布列为 所以 ( ) 1 3 3 0 2 4 4 2 E X =  +  = ； ②当乙从 BCD 三个选项中随机选两个作答时， 设得分为变量 ,Y Y 的可能取值为 0、2、5 则 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 3 C3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 0 0 , 2 0 1 , 5 0 4 C 4 2 4 4 4 4 C 4 4 P Y P Y P Y= =  +  = = =  +  = = =  +  = ， Y 的分布列为 所以 ( ) 1 1 1 7 0 2 5 2 4 4 4 E Y =  +  +  = ； ③当乙同时选择 BCD 三个选项作答时， 设得分为变量 ,Z Z 的可能取值为 0、5 则 ( ) ( ) 3 1 3 3 1 1 0 1 0 , 0 0 1 4 4 4 4 4 4 P Z P Z= =  +  = = =  +  = ， Z 的分布列为 故 ( ) 3 1 5 0 5 4 4 4 E Z =  +  = ； 因此 ( ) ( ) ( )E Y E X E Z  ， 建议乙同学选择方案②作答． Y 0 5 P 2 3 1 3 X 0 2 P 1 4 3 4 Y 0 2 5 P 1 2 1 4 1 4 Z 0 5 P 3 4 1 4 试卷第 9 页，共 14 页 17．某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答 3 道题，第一题分值为 40 分，第二、三题分值均为 30 分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得 0 分，参赛者累计得分不低于 70 分即可获奖．已知甲答 对第一、二、三题的概率均为 1 2 ，乙答对第一、二、三题的概率分别为 3 5 ， 2 5 ， 2 5 ，且甲、乙每次答对与否 互不影响． (1)求甲的累计得分 X 的分布列和期望； (2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】(1)分布列见解析， ( ) 50E X = (2) 1 4 【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得 到 X 的分布列及期望； （2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式 ( ) ( ) ( ) P AB P A B P B = 进行求解，或者利用条件概率 的本质特征，样本空间缩小，进行求解. 【详解】（1）由题意知：甲累计得分 X 的可能取值有：0,30,40,60,70,100， 所以 ( ) 3 1 1 0 2 8 P X   = = =    ， ( ) 2 1 2 1 1 1 30 C 2 2 4 P X   = =   =    ， ( ) 2 1 1 1 40 2 2 8 P X   = =  =    ， ( ) 2 1 1 1 60 2 2 8 P X   = =  =    ， ( ) 2 1 2 1 1 1 70 C 2 2 4 P X   = =   =    ， ( ) 3 1 1 100 2 8 P X   = = =    ，  X 的分布列为： X 0 30 40 60 70 100 P 1 8 1 4 1 8 1 8 1 4 1 8 ( ) 1 1 1 1 1 1 0 30 40 60 70 100 50 8 4 8 8 4 8 E X =  +  +  +  +  +  = . （2）法一：根据题意得：得分不低于 70 分即可获奖，由（1）知：甲获奖的概率为 1 1 3 8 4 8 + = ， 乙获奖的概率为： 1 2 3 2 3 3 2 2 48 C 5 5 5 5 5 5 125    +   = ，乙只得 70 分的概率为： 1 2 3 2 3 36 C 5 5 5 125    = ， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为： 3 48 18 8 125 125  = ，甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为： 1 36 9 8 125 250  = ， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为： 9 1250 18 4 125 = . 法二：已知得分不低于 70 分才可获奖，即甲、乙的得分应为 70 或 100，共计 4 种情况，其中，甲比乙高的 情况，只有甲获得 100 分，乙获得 70 分时一种情况，故概率为： 1 4 . 试卷第 10 页，共 14 页 18．2024 年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为 2024 年第一个“火出圈”的网红城市，冰城 通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从 2024 年 1 月 1 日至 5 日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： x （日） 1 2 3 4 5 y （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算 x y， 的相关系数 r （计算结果精确到 0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅 游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有 5 个男游客和 ( )5k k  个 女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为 p ，当k 取多少时， p 最大？ 参考公式： ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx = = = = − − − = = − −     ，a y bx= − ， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − −    ， 参考数据： 3 1.732 ． 【答案】(1) 0.98r  ，可以认为两者的相关性很强(2) 8.5 34.5y x= + (3)当 20k = 时，恰有一次中奖的概率 p 最 大 【分析】（1）根据相关系数 r 的公式计算并判断；（2）根据公式求出 ,b a，得解； （3）根据题意可得 ( ) ( ) 1 1 *5 2 5 C C 5, N C k k P k t k k +  = =   ，判断 ( )P k 的单调性可得 ( ) ( ) 5 5 9 P k P = ，即 5 0 9 t  ， 由二项分布得 1 2 3 2 3C (1 ) 3 6 3P t t t t t=   − = − + ，利用导数求出最大值. 【详解】（1）因为 1 2 3 4 5 45 50 60 65 80 3, 60 5 5 x y + + + + + + + + = = = = ，所以 ( )( ) 5 5 1 1 5i i i i i i x x y y x y xy = = − − = −  ( )1 45 2 50 3 60 4 65 5 80 5 3 60 85=  +  +  +  +  −   = ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 10i i x x = − = − + − + − + − + − = ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 2 1 45 60 50 60 60 60 65 60 80 60 750i i y y = − = − + − + − + − + − = ， 所以 ( )( ) ( ) ( ) 1 5 5 2 2 1 1 n i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − −    85 85 86.650 3 =  0.98 ，由此可以认为两者的相关性很强． 试卷第 11 页，共 14 页 （2）由（1）知 ( )( ) 5 1 85i i i x x y y = − − = ， ( ) 5 2 1 10i i x x = − = ．所以 ( )( ) ( ) 5 1 5 2 1 ˆ i i i i i x x y y b x x = = − − = −   = 85 8.5 10 = ． 因为 60 8.5 3 34.5a y bx= − = −  = ，所以回归方程为 8.5 34.5y x= + ． （3）记 ( ) ( )( ) ( ) 1 1 *5 2 5 C C 10 5, N C 5 4 k k k P k t k k k k+  = = =   + + ， ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 10 1 10 410 1 0 6 5 5 4 4 5 6 k kk P k P k k k k k k k k + − + − = − =  + + + + + + + ， ( ) ( ) ( ) 5 1 5 9 P k P k P +   = ，即 5 0 9 t  ． 1 2 3 2 3C (1 ) 3 6 3P t t t t t=   − = − + ，令 ( ) 3 23 6 3F t t t t= − + ， 则 ( ) ( )( )29 12 3 3 3 1 1F t t t t t= − + = − − ，得 1 0, 3 t       ， ( ) 0F t  ， 1 5 , 3 9 t       ， ( ) 0F t  ， 所以 ( )F t 在 1 0, 3       上单调递增，在 1 5 , 3 9       上单调递减， 当 1 3 t = 时，P取得最大值．由 ( )( ) 10 1 5 4 3 k t k k = = + + ，解得 20k = 或 1k = （舍去）， 当 20k = 时，恰有一次中奖的概率P最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出 ( )P k 的表达式，并判断单调性求出 ( )P k 的范 围，利用二项分布求出 1 2 3 2 3C (1 ) 3 6 3P t t t t t=   − = − + ，借助导数求出最大值. 19．已知函数 2( ) ln 1f x x ax x a= + − + + ． (1)证明曲线 ( )y f x= 在 1x = 处的切线过原点； (2)讨论 ( )f x 的单调性； (3)若 ( ) e xf x  ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3) 2 e a  【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可； （2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论 a的取值，求函数的单调区间; （3）把问题转化为 ( )2( ) 1 ln e 1xg a x a x x= + + − − + ，利用一次函数单调性得 e ( ) 2 g a g        ，只需证 e 0 2 g       ， 利用导数研究单调性即可. 【详解】（1）由题设得 1 ( ) 2 1( 0)x ax x f x = + −  ，所以 (1) 1 2 1 2f a a = + − = ， 又因为 (1) 1 1 2f a a a= − + + = ，所以切点为 (1,2 )a ，斜率 2k a= ， 所以切线方程为 2 2 ( 1)y a a x− = − ，即 2y ax= 恒过原点． 试卷第 12 页，共 14 页 （2）由（1）得 22 1 ( ) ( 0) ax x f x x x − +  =  ， ① 0a = 时， 1 ( ) x f x x − + = ，当 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在(0,1)上单调递增， 当 (1, )x + 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (1, )+ 上单调递减；令 ( ) 22 1ax xt x = − + ，则 1 8a = − ② 0a  且 1 8 0a = −  时，即 1 8 a  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增， 1 0 8 a  时， 1 8 0a = −  ， ( ) 22 1 0t a xx x= − +  ，则 1 1 8 0 4 a x a − −   ，或 1 1 8 4 a x a + −  ，得 ( ) 0f x  所以 ( )f x 在 8 , 1 0 1 4 a a     −   − 上单调递增，在 1 1 8 , 4 a a  + − +    上单调递增； ( ) 22 1 0t a xx x= − +  ，则1 1 8 1 1 8 4 4 a a x a a − − + −   ，则 ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 1 1 8 1 1 8 , 4 4 a a a a − − + −       上单调递减， ③ a<0时， 1 8 0a = −  ， 则 ( ) 22 1 0t a xx x= − +  ，则 1 1 8 4 a x a − −  ，所以 ( )f x 在 1 1 8 , 4 a a  − − +     上单调递减； ( ) 22 1 0t a xx x= − +  ，则 1 1 8 0 4 a x a − −   ，所以 ( )f x 在 8 , 1 0 1 4 a a     −   − 上单调递增， 综上： 0a = 时， ( )f x 在(0,1)上单调递增； ( )f x 在 (1, )+ 上单调递减； 1 8 a  时， ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增； 1 0 8 a  时， ( )f x 在 8 , 1 0 1 4 a a     −   − 上单调递增，在 1 1 8 , 4 a a  + − +    上单调递增； ( )f x 在 1 1 8 1 1 8 , 4 4 a a a a − − + −       上单调递减， a<0时， ( )f x 在 1 1 8 , 4 a a  − − +     上单调递减； ( )f x 在 8 , 1 0 1 4 a a     −   − 上单调递增， （3）当 1x = 时， (1) ef  ，即 2 e a  ， 下面证明当 2 e a  时， ( ) e xf x  ， ,( )0x + ，即证 2ln 1 exx ax x a+ − + +  ， 令 ( )2( ) 1 ln e 1xg a x a x x= + + − − + ，因为 2 1 0x ，所以 e ( ) 2 g a g        ，只需证 e 0 2 g       ， 即证 2e eln e 1 0 2 2 xx x x+ − − + +  ，令 2e e( ) ln e 1 2 2 xh x x x x= + − − + + ， (1) 0h = ， 1 ( ) e e 1xh x x x  = − + − ，令 1 ( ) e e 1xm x x x = − + − ， 2 1 ( ) e exm x x  = − − ， 试卷第 13 页，共 14 页 令 2 1 ( ) e exp x x = − − ， 3 2 ( ) exp x x  = − + ， exy = − 与 3 2 y x = 在 (0, )+ 上单调递减， 所以 3 2 ( ) exp x x  = − + 在 (0, )+ 上单调递减， 1 e 16 0 2 p    = − +     ， (1) 2 e 0p = −  ， 所以存在 0 1 ,1 2 x       ，使得 ( )0 0p x = ，即 0 3 0 2 e x x = ， 所以 ( )00,x x ， ( )0 0p x  ， ( )0 ,x x + ， ( )0 0p x  ， 所以 ( )p x 在 ( )00, x 上单调递增，在 ( )0 ,x + 上单调递减， 所以 ,( )0x + ， ( )0( )p x p x ， ( ) 0 3 0 0 0 2 3 2 3 0 0 0 0 e 21 2 1 e e e x x x p x x x x x − − = − − = − − = ， 令 3( ) e 2x x x = − − ， 2 1( ) 3e 1, ,1 2 x x x    = −     时 ( ) 0x   ， 所以 ( ) x 在 1 ,1 2       上单调递增，所以 ( ) (1) e 3 0x  = −  ， 所以 ,( )0x + ， ( ) 0p x  ，所以 ( )m x 在 (0, )+ 上单调递减， (1) 0m = ， (0,1)x ， ( ) 0m x  ， (1, )x + ， ( ) 0m x  ， 所以 ( )h x 在(0,1)上单调递增，在 (1, )+ 上单调递减， 所以 ( ) (1) 0h x h = ，综上所述 2 e a  ． 【点睛】关键点点睛 第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当 1x = 时的函数值比较，从而得到结论. 试卷第 14 页，共 14 页 贺兰一中2023-2024学年第二学期高二年级第三阶段考试数学复习卷（三） 一、单选题 1．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可求解. 【详解】由得，所以. 2．函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵是上的单调递减函数，∴，选D． 【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是，将分段函数在上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升． 3．已知随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】由随机变量服从二项分布，可得. 4．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以，所以. 5．某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（    ）种报名方式 A．49 B．64 C．66 D．73 【答案】C 【分析】根据两个计数原理结合组合知识即得. 【详解】由题可知，若每人报集体赛1项，则报名方式有种， 若每人报集体赛2项，则报名方式有种，所以每人共有报名方式种. 6．为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以正态分布为背景，举反例判断ACD，利用概率和公式判断B. 【详解】设， 对A，若事件，事件，则，，但，项A错； 对C，若事件，事件，则，，但，项C错； 对D，若事件，事件，则，，但，项D错； 对B，因为，所以，又，所以， 所以，B正确； 7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为，由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 8．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据可知，令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以，所以的取值范围是. 二、多选题 9．使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（    ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 【答案】BD 【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断A、B两个选项，再将代入模型二的经验回归方程，即可判断C、D选项. 【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大， 所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数， 所以A错误，B正确； 因为模型二的的拟合效果好，预报更准确，根据已知：， ，所以，将代入经验回归方程， 有，所以C错误，D正确. 10．下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误；若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的，所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根，从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 11．已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得，取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 三、填空题 12．随机变量，，则 ． 【答案】/0.75 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可． 【详解】因为随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为， 又因为，所以，，所以. 13．若展开式中的常数项为，则实数 . 【答案】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，代入可得，解得. 14．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为 . 【答案】0.5/ 【分析】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解. 【详解】将代入，得，解得，所以， 故当时，，所以残差. 四、解答题 15．设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解， （2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，由，得， 解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是由，解得， 即q为真命题时，实数x的取值范围是．所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为． （2）由，得，因为，所以，故p：． 若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件， 所以，解可得．故实数a的取值范围是 16．在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定． (1)若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率； (2)若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案： ①从BCD三个选项中随机选一个作为答案； ②从BCD选项中随机选两个作为答案； ③直接选择BCD作为答案； 为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由． 【答案】(1)(2)建议乙同学选择方案②作答，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用条件概率公式和全概率公式求解； （2）方法一：分别求正确答案为两个选项和正确答案为三个选项两种情况的得分期望，结合期望的性质求相应的期望，并对比分析；方法二：根据题意结合独立事件概率乘法公式求相应的分布列和期望，并对比分析. 【详解】（1）设事件“第20题为双选题”，事件“第20题得2分”， 则， 根据全概率公式有. （2）解法一：在20道多项选择题中，双选题出现的概率为，三选题出现的概率为． 0 2 ①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为， 若正确答案为两个选项，则得分的分布列为 此时的期望为； 若正确答案为三个选项，则任意选一个均正确，得分，此时的期望为2； 故； ②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为. 0 5 若正确答案为两个选项，则得分的分布列为 的期望为； 若正确答案为三个选项，则得分的期望为2； 故． ③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设乙同学在解答第20题的得分为， 若正确答案为两个选项，则得分的期望为0： 若正确答案为三个选项，则得分的期望为5； 故． 因此，建议乙同学选择方案②作答． 解法二：在20道多项选择题中，双选项由现的概率为，三选题出现的概率为． ①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时， 0 2 设得分为变量，则的可能取值为0、2， 则， 的概率分布列为 所以； ②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时， 设得分为变量的可能取值为0、2、5 0 2 5 则， 的分布列为 所以； ③当乙同时选择BCD三个选项作答时， 0 5 设得分为变量的可能取值为0、5 则， 的分布列为 故； 因此， 建议乙同学选择方案②作答． 17．某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． (1)求甲的累计得分的分布列和期望； (2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】(1)分布列见解析，(2) 【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得到的分布列及期望； （2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式进行求解，或者利用条件概率的本质特征，样本空间缩小，进行求解. 【详解】（1）由题意知：甲累计得分的可能取值有：， 所以，，， ，，， 的分布列为： 0 30 40 60 70 100 . （2）法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖，由（1）知：甲获奖的概率为， 乙获奖的概率为：，乙只得70分的概率为：， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为：，甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：. 法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：. 18．2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】(1)，可以认为两者的相关性很强(2)(3)当时，恰有一次中奖的概率最大 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断；（2）根据公式求出，得解； （3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值. 【详解】（1）因为，所以 ， ， ， 所以 ，由此可以认为两者的相关性很强． （2）由（1）知，．所以=． 因为，所以回归方程为． （3）记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 19．已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3) 【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可； （2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a的取值，求函数的单调区间; （3）把问题转化为，利用一次函数单调性得，只需证，利用导数研究单调性即可. 【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为，即恒过原点． （2）由（1）得， ①时，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减；令，则 ②且时，即时，，在上单调递增，时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， ③时，， 则，则，所以在上单调递减； ，则，所以在上单调递增， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减， 时，在上单调递减；在上单调递增， （3）当时，，即， 下面证明当时，，，即证， 令，因为，所以，只需证， 即证，令，，，令，， 令，，与在上单调递减， 所以在上单调递减，，， 所以存在，使得，即， 所以，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 令，时， 所以在上单调递增，所以， 所以，，所以在上单调递减， ，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，综上所述． 【点睛】关键点点睛 第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当时的函数值比较，从而得到结论. 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贺兰一中2023-2024学年第二学期高二年级第三阶段考试数学复习卷（三） 一、单选题 1．已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．已知随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（    ）种报名方式 A．49 B．64 C．66 D．73 6．为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（    ） A． B． C． D． 7．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 8．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（    ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A．使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 10．下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 11．已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．随机变量，，则 ． 13．若展开式中的常数项为，则实数 . 14．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为 . 四、解答题 15．设p：实数x满足，q：实数x满足． (1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定． (1)若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率； (2)若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案： ①从BCD三个选项中随机选一个作为答案； ②从BCD选项中随机选两个作为答案； ③直接选择BCD作为答案； 为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由． 17．某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． (1)求甲的累计得分的分布列和期望； (2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 18．2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； (3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 19．已知函数． (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； (3)若，求实数的取值范围． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$