《平面图形总复习》（教案）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

【优质课】小学数学六下《平面图形总复习》教案 教学目标 1、引导学生回忆整理平面图形的特征以及平面图形的周长和面积的计算公式及推导过程，并能熟练的应用公式进行计算 能灵活运用平面图形的周长和面积的计算方法解决生活中的一些实际问题。 2、引导学生探索平面图形的知识间的相互联系，构建平面图形的知识网络从而加深对平面图形知识的理解，并从中领会整理知识的方法。 3、渗透“转化”、“推理”等思想方法，体验数学与生活的联系，以及数学在实际生活中的运用。 教学重难点 1、熟练运用公式进行计算，并能灵活运用平面图形的周长和面积的计算方法解决生活中的一些实际问题。 2、回忆平面图形面积计算公式的推导过程，探索计算公式间的内在联系，构建知识网络。 教学过程: 【1．展示学生平面图形知识整理】 师：师生问好。同学们，今天这节课咱们一起来探讨什么？ 生齐答：平面图形的面积总复习。（师板书课题） 师：课前同学们已经对平面图形的面积的相关知识进行了整理，老师也收集到了很多同学的作品，想不想欣赏？想。好，你看这些作品不仅字迹工整，内容全面，而且形式多样，看看能找到自己的作品吗？ 师：看得出来，咱班的同学课前都做了认真的梳理，让我们先给自己鼓鼓掌。师：老师在其中有看到了有两位同学的作品，很有意思，我们一起来看一看好不好？这是王娅琪同学的作品，请她上台来给大家介绍介绍怎么样？ 生1：嗯，首先关于这一张纸，我是这样整理的，先是平面图形的面积，就是平面图形的大小。接着我们来整理一下常用的面积单位，平方厘米、平方分米、平方米、公顷，还有平方千米，它们的进率也很有意思，相邻两个面积单位之间的进率，除了平方米和公顷外，别的的进率都是100。平方米和公顷之间的进率是10000。接着我们又按依次的顺序，来梳理了这些平面图形的面积公式。比如长方形它就是s=ab；正方形s=a2；平行四边形s=ah；三角形是s=ah÷2；梯形s=(a+b)×h÷2；而圆形s=πr2。 师：同学们，她整理的这些公式对吗？对，其实刚才王娅琪也说了，她是按照怎样的方式整理的？ 生1：是按照依次的顺序来整理的。 师：也就是按照咱们学习的顺序，同不同意？同意。咱们从三年级的时候学习了有关长方形和正方形的面积，随后到了五年级，咱们又依次学习了这些图形的面积。看她整理的多细致，咱们掌声请回。 师：好，孩子们，咱们接着来看下一位同学的作品。同学们，你看明白了吗？ 有哪些同学整理的方式和他差不多的？举举手。这么多啊，那你们是按照什么样的思路整理的？来，女孩。 生2：我跟他整理的差不多，我是按照由长方形可以推理出正方形的面积公式、平行四边形的面积公式，还有圆形的面积公式，而由平行四边形的面积公式又可以推导出三角形的面积公式和梯形的面积公式。 【2．复习平面图形面积推导过程，厘清长方形与其他平面图形之间的关系】 师：你们听明白吗？听明白了。也就说他想表达的是按照这些图形的推导过程整理的。那从这一组作品中能不能看出这些图形的推导过程。能。这样，咱们任选一个图形，同桌之间先相互说一说，好不好？来开始。（学生同桌之间相互交流，约1分钟） 师：好了，孩子们差不多了，谁来先选择其中一个图形说一说。来，男孩，你选择的是？ 生3：我选择的图形是三角形，我们可以用两个相同的三角形拼成一个平行四边形，因此三角形的高就相当于平行四边形的高，三角形的底就相当于平行四边形的底。我们知道平行四边形的面积公式是底乘以高，所以我们可以知道三角形的面积公式就等于底×高÷2。 师：通过他的描述，你想起来没有？想起来了。好，请坐，咱们一起来看。 师：是不是这样，咱们就得到了三角形的面积公式。 （师PPT出示三角形面积公式推导过程，并板书三角形的面积公式） 师：谁还想接着选一选？这一排女孩，你来。 生4：我选择的图形是平行四边形，我们可以将平行四边形沿着高剪出一个直角三角形，将这个直角三角形拼到平行四边形的另一侧，将它填补成一个长方形。此时长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。因此我们可以得出平行四边形的面积等于底乘高。 师：说得有理有据。同学们看是不是这样子？是吧，是咱们就能得到了平行四边形的面积。（师PPT出示平行四边形面积公式推导过程，并板书平行四边形的面积公式） 师：好，那还有一些图形，谁想接着选一选？你快点来，男孩。 生5:我选择的是梯形。梯形的面积公式，我是这样推倒的，用两个完全相同的梯形能拼成一个平行四边形，然后通过拼完了后，我们可以发现，梯形的上底加上下底也就等于平行四边形的底，梯形的高也就等于平行四边形的高，但它是用两个完全相同的梯形拼成的，所以面积公式要再除以2。根据我们以前所学的平行四边形的面积公式底乘高，我们可以推测出梯形的面积公式是上底加下底括号，乘高除以2。 师：是不是如他所说的这样？来，我们快速地看一看。的确如此，是吧。 （师PPT出示梯形面积公式推导过程，并板书梯形的面积公式） 师：那还剩下几个图形，谁来把握机会呢？来，女孩 生6：我想选择的是圆形。圆形的面积公式是这样推导的，把圆沿半径剪开，平均分成若干个小份，然后把这些小份拼成一个近似长方形的图形，这样这个长，这个近似长方形的图形的长就是πr，它的宽就是r。那我就可以得出圆形的面积公式是π×r×r就是πr2。 师：经过她的描述，你想起来了没有？想起来了。做得真好，来我们看一下，是这样吧，那拼成的是一个？近似的长方形。咱们以此来推出了圆的面积计算方法。 （师PPT出示圆的面积公式推导过程，并板书圆的面积公式） 师：那还剩下几个图形？2个。哎，最后总有那几个。来，女孩。 生7：我选择的图形是第一个长方形，长方形它的公式是这样推导的，首先我们用拼一拼、算一算的方法，我把这个长方形分成了平均的小正方形。数一数里边有多少个小正方形。在图中我们可以看到一共是15个小正方形，也就是说1个小正方形代表是1平方厘米，那15个小正方形代表的就是15平方厘米。通过算一算和摆一摆，我们知道了长方形的面积公式，是用它的长乘以它的宽，得出来它总共的面积。 师：你能听明白她的意思吗？好。请坐。 师：其实她想说的是，咱们是用这样的面积单位来测量这个长方形的面积，是吗？是的。然后用摆一摆、数一数的方法就能得到这个长方形的面积计算方法吧。 （师PPT出示长方形的面积公式推导过程，并板书长方形的面积公式） 师：那最后还剩一个什么图形？正方形。为什么在最后才选择呢？来，男孩。 生8:我选择的是正方形，正方形是一个特殊的长方形，当长方形的长和宽相等时，就成了一个正方形。我们已经学过长方形的面积公式是长乘宽，也就是说正方形的面积公式是边长乘边长。 师：也就是说，咱们正方形的面积计算方法是通过谁推理出来的？长方形。你们同不同意？同意。（师板书正方形面积公式） 师：同学们，咱们不知不觉中，是不是已经回顾完了这些图形的面积推导过程了，不妨仔细观察这幅图，从右往左看，在推导三角形和梯形面积公式的时候，它们有什么相似之处呢？来，女孩，你觉得？ 生9：我觉得他们都是先将它们的图形转化成长方形，然后再依次推导。 师：她提到了一个什么词？生齐答转化。（师板书转化） 师：转化成了什么图形？生齐答平行四边形。 师：是不是这样？（边板书两条关系线边问）那这里的正方形、平行四边形和圆呢。来这排最后的女孩，你觉得呢？ 生10：他们都是利用长方形的面积公式推导出来的。 师：或者说它们也是将它们转化成了怎样？ 生10：长方形。 师：同不同意她的想法？（边问边板书三条关系线） 师：同学们，你们看转化策略在图形面积公式的推导中是不是发挥了重要作用啊？是。那在这些图形中，你觉得哪个图形是最基础、最重要的？你觉得，女孩，大胆的说。 生11：我觉得应该是长方形。 师：你认为呢？生12:我觉得也是长方形。 师：你认为呢？生13：我觉得也是长方形。 师：你们都这样认为吗？是。 师：那么你们为什么认为它是最重要、最基础的？来，男孩。 生14：因为算出了长方形，我们就能推算出后面平面图形的面积。 师：你的意思是，通过长方形的面积，咱们可以推导出？ 生齐答正方形、平行四边形、圆形。（教师指着板书） 师：然后通过平行四边形的面积，咱们又能推导出？ 生齐答三角形、梯形。 师：是不是？这样看来啊，它的确很重要。（师将原板书的黄色长方形变成红色） 师：你看同学们在咱们刚才不知不觉的交谈中，咱们就发现了，诶，这些图形的面积计算之间确实有着共同的特点，或者说确实有着？联系。（板书联系） 师：好同学们，通过课前的整理和刚才的交流，我们不仅知道了这些图形面积计算的方法，还知道了这些面积公式是怎么推导的。最重要的是，咱们还感受到了这些图形的面积计算之间有着联系。既然同学们已经很熟悉这些图形的面积计算方法了，老师就想考考大家，咱们一起来看。 【3．巩固练习，发现影响平面图形面积的关键线段】 师：你能列式计算这些图形的面积吗？ 师：第一个，谁来？男孩。 生1：长方形，我们学习了长方形。师：直接列式计算。 生1：用3×2=6师：什么单位？生1：厘米，额，平方厘米。 师：同意吗？同意，请坐，第二个，谁来。来，男孩。 生2：第二个用高是。师：直接列式就可以。 生2：3乘4等于12平方厘米。 师：可以吗？可以。或者4×3。第三个咱们一起说。 生：3×3÷2=4.5 师：平方厘米。这个有点难度了。男孩，你来吧，拿着话筒。 生3：2+5×2÷2是7，单位是？平方厘米 师：最好是2+5的和，是不是更好一些啊？最后一个，来，女孩，你来。 生4：嗯，用2乘2再乘上派，结果是4π平方厘米。对不对？对 师：就知道难不倒大家，但是同学们，咱们光会计算并不稀奇，如果还能发现这些面积计算中的奥秘，那可真了不起。接下来咱们就接着研究好不好？好。听，活动要求。 师：听明白活动要求了吗？这样，咱们同桌之间打开理学单，同桌合作。开始吧。 （学生合作完成，师巡视指导，同桌交流2分钟） 师：咱们一起来交流。来，就请这一组同学，上台来给大家汇报。依次来，谁先来汇报？ 生1：同学们，你们看，通过我们的观察，我们发现长方形是有两条线段很关键，一个是它的长，另一个是它的宽。因为通过长和宽我们可以知道长方形的面积。第二个图形平行四边形，我们觉得底和高比较重要，因为平行四边形的面积公式是底乘以高。三角形我们认为也是底和高比较重要，因为三角形的面积也是通过底和高再除以2得到的。 生2：我们来看梯形，我会发现梯形的面积是上底加下底乘高除2，所以我们知道它的关键线段应该是上底、下底和高。大家看这个圆形，我会发现圆形的面积是πr2，所以是和它的半径是很有关联的，所以应该是半径这条线段比较关键。我们再来看，我发现上面第一排三个图形都是与都是两条线段比较有关系，梯形是三条线段关键，圆形只有一条线段比较关键。 师：你们觉得他们说的有没有道理？有。和他们想法一样的举手。都这样认为是吧？来，咱们掌声请回。 师：好孩子们。为了让同学们看得更清楚，老师把他们作品搬到屏幕上。 师：咱们先来看前3个。正如刚才这一组同学所说，他们都与两条线段的长度有关。仔细观察这两条线段的位置关系，好像还挺特别的。他们特别在哪呢？男孩。 生3：他们特别之处是他们都是垂直的关系。 师：男孩，你觉得呢？ 生4：我觉得他们一条是横向，一条是纵向。 师：他想表达的是他们是什么位置关系？ 生4：就是一条是横向的，一条是纵向的。 师：也就是他们互相？垂直。是不是这样？是的。 师：你们也这样认为吗？是的，我们来看看是不是这样的，是吧？ 师：我们接着再来看这些面积的算式中，他们都是把这两条关键的线段相？乘。显而易见吗？那这三个图形的面积也就是和这两个关键线段长度的什么有关？ 生齐答长度。 师：长度的？生齐答大小。 师：大小，他们刚才说了。诶，孩子我听到了，他们和这两条关键线段的？ 生5：乘积有关系。 师：什么有关？生齐答乘积。听明白了？听明白了。 师：那如果他们沿着这样的思路接着往下思考的话，梯形和圆是不是也可以看成是与两条关键线段的长度乘积有关呢？是的，都已经想明白了？没事，咱们先和同桌之间互相交流，是不是这么回事，好不好？来，开始。（生同桌互相交流2分钟，教师巡视指导） 师：来，同学们想明白了吗？来，女孩。 生6：我觉得可以把这个梯形的上底挪到下底的旁边，让上底跟下底变成一条线这里，这样的话它的底×高，也是两条线段。 师：能听明白她的意思吗？能，好，我们来看看你是不是这个意思？是的。 师：那这样看来，梯形的面积是和哪两条线段的乘积是有关系的？ 生7:上底与下底的和以及高，这两条线段。 师：同不同意？同意。而且啊，这两条线段的位置关系也是要互相垂直的，是不是这样？ 师：你看咱们梯形的问题解决了。圆，来，女孩。 生8:这个是可以的，因为横向有一个半径，那竖向也有一个半径，就可以看出来它也是两条垂直的线段相乘，而且它的公式是π乘r乘r，中间两个r之间还有一个乘号。 师：你觉得是和这两个半径乘积是有关系的，是吗？她说的有没有道理？有。 师：那同学们想一想，如果咱们是不是可以进一步的将这个圆进行什么？生齐答转化。 师：给你有什么启示？转化以后和哪两条线段就有关系了？ 生9：把圆形转化成长方形，就和长方形的长和宽有联系了。 师：嗯，长长方形的长相当于？ 生9：长相当于圆的半径，不，直径，然后宽相当于它的半径。 师：我们来看是不是这样的呢？长相当于什么？孩子，你先请坐，没事，来，最后女孩，你觉得呢？ 生10：我觉得要是把圆它平均分成若干的小份，然后拼起来近似于长方形，那么长方形的长是不是就等于它圆周长的一半，然后可以算出来，也就是πr，然后长方形的宽，那么我们是沿半径平均分成的小份，那么长方形的宽也就是圆的半径，所以圆的面积是πr×r，也就是πr2。 师：所以你觉得和这两条关键的线段是有关系的，你们同意她的想法吗？同意。 师：那这两条关键的线段他们仍然是互相垂直的。 师：我发现咱班同学真有数学的眼光。那这样咱们学到这，咱们刚才经过探索以后发现了什么奥秘？没关系，来，男孩。 生11：他们的关键线段都有着垂直的关系。 师：还有谁有补充？好，女孩。 生12：它们的面积都是用两条关键的线段相乘。 师：你们觉得呢？掌声。 师：正如咱们同学发现的那样，他们的面积都与？ 生齐答两条关键线段乘积有关。是不是这样？同学们发现真了不起。 师：那同学们学到这儿，咱们对这些平面图形的面积是不是有了新的认识？是。 但我觉得光有认识可能还不够，如果还能够学你致用，那有真本事。我们一起来练习。 师：第一个，下面平行四边形的面积可能是多少？来，男孩。 生1：我们知道平行四边形的面积公式是底乘高，所以说这里用20乘以15就等于300平方米。 师：还有同学有不同的想法吗？来，同桌你说。 生2：这15米是它的斜边，把这个斜边如果换成高的话就大了，所以要把它缩小，所以它的面积必须300平方米往下，也就是240平方米。 师：你们同意谁的想法？来，孩子，你听明白吗？听明白了，你们都听明白了，是吗？对，看来啊难不倒大家。 师：第2个，谁来读一读？来，你来读一读。 生3：一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，三角形的高是平行四边形的高的几倍？ 师：嗯，你想回答，那你来回答。没事。 生3：这里可以知道是两倍。因为平三角形的面积公式是底乘高除以2，所以它如果底相等的话，那它高要是平行四边形的两倍，它俩才能一样。 师：能听明白他的意思吗？能。来，请坐。老师也画了一幅图。 师：这里的三角形和平行四边形什么关系？底相等。那三角形的面积是平行四边形的？生齐答1/2。 师：那想要使它们的面积相等，孩子可以怎么办？ 生4：高乘以2。 师：是不是这样？真的很善于想象是吧？好，最后咱们选2。是不是通过这样画图的方法更容易去理解？画图真是个好策略。 师：来到第二题，你会计算这个涂色部分的面积吗？这样请同学们拿出咱们的作业单，快速地写一写。 师：请这个同学上台和我们分享一下。 生5：我们可以先看这个平面图形的大体，它看起来大体是一个梯形的一个形状，并且有给你标明上底、下底以及高的数据。我们就可以先用梯形的面积计算公计算出大体，这个大轮廓的面积是39平方厘米。接着我们可以看到涂色部分的面积，它不包括这样一个三角形，三角形也给你标明了底和高，我们可以把这个空白部分三角形的面积计算出来是12平方厘米，最后我们用大体梯形的面积减去空白三角形的面积，就等于涂色部分的面积是27平方厘米。 师：同意她的方法吗？同意。好，请回，那还有其他不同的方法吗？ 生6：嗯，我们可以抛开这些辅助线，可以看出来这就是两个阴影三角形面积相加，那么我们可以知道它们的底边之和是9，那么他们那个高也知道是6，那我们就提取一下，就可以知道它的面积是9+6，因为它们的底边之和是9，提取高的公因数是9*6。然后除以2，是因为三角形的面积公式还有一步是底乘高除以2等于27。 师：这两个阴影三角形相当于什么？ 生6：相当于就是可以把它们看成一个大的三角形。 师：你来画一画。 师：同学们，你们看明白了吗？ 生齐答看明白了。 师：这个打的三角形的面积与这两个三角形的面积和是相等的，是不是这样？掌声欢送。 【4．探究三角形与其他平面图形之间的关系】 师：同学们，老师这还有两个不规则图形。你觉得它们的面积怎么计算？ 生7：我觉得可以这样算，首先上面一个它是一个不规则的四边形，那我们可以将它沿它的边剪开，就可以分成一个三角形，还有一个梯形，就变成了两个规则的图形，就可以算。然后下面一个，是可以把它分成两个三角形依次计算。 师：你们同意吗？同意。那上面这个除了按照她的分法，还有没有简单一点的？ 生8：我觉得还可以根据它的两个点进行切割，切割成两个三角形。 师：行不行？是不是这样？是。那下面一个如他所说的是不是也是这样？如果是五边形，来，女孩你觉得呢？ 生9：我觉得可以把这个五边形分成一个梯形和一个三角形，是从上面这3个点连起来。 师：这样分完以后上面是三角形，下面这是不是梯形？是。是不是？有没有平行？没有。可以怎么办？ 生10：还可以再把底下再切出来一个三角形。 师：也就是可以分成三份，是不是？我们接着往下想，如果是六边形、七边形呢？男孩。 生11：可以都把它们切割成三角形。第一个是从最高那个点往下切到最底面那个点。 师：这样行吗？可以。下面一个是不是也是这样？是。同不同意？来，孩子们，咱们接着列举下去，你有什么发现呢？这一排男生。 生12：从它的一个点出发，向其他的某个点可以分割成无限个三角形。 师：同不同意？同意。请坐。 师：你看咱们是不是只要知道三角形的面积，就可以计算出多边形的面积了？ 生齐答是。 师：那孩子们回到咱们学习过的这些平面图形，他们也可以通过分割成三角形的方式来计算他们的面积吗？ 生齐答可以。 师：长方形呢？生齐答对角线。 师：比划一下。（贴出分割成两个三角形的长方形） 师：平行四边形呢？对角线。（板贴平行四边形） 师：正方形呢？对角线。（板贴正方形） 师：梯形呢？对角线。这样，这样都行吧。（板贴梯形） 师：圆呢？ 生13：这个圆形我可以从圆的中心点用线来分割，可以分割成无限个小三角形。 师：是不是这样？是。 师：同学们，如果老师把这些近似的三角形排一排，同学们请看，那这些三角形底的和相当于是什么？男孩。 生14：相当于圆的周长。 师：同不同意？同意。高相当于？一起说。 生：圆的半径。 师：那怎么计算圆的面积。男孩，你说。 生15：可以用圆的周长乘以r。 师：你的意思是用2πr乘r，是吗？那得到的不是πr2啊？ 生15：可以用圆的半径平方再乘以π。 师：那为什么可以这样用？为什么可以这样算呢？没事。来，同桌，你想补充。 生16：他刚才说的用圆的周长去乘以它的半径，这一步是对的，因为它是个三角形，所以它要再除以2。 师：听明白意思吗？来，你的意思是把这些小三角形看成一个什么？ 生16：大的三角形。 师：是不是这样？ 师：老师发现咱班真的很有数学的思维。好，这样咱们是不是就算出了三角形的面积了？ 师：所以我们发现哪个图形也很重要？什么？ 生齐答三角形。（师板贴三角形） 师：咱们只要会计算三角形的面积，就可以算出？ 生齐说长方形、平行四边形、正方形（师相机板书画出关系线） 师：欸，有的同学提到了就可以算出咱们平面图形的面积，甚至是咱们之前所提到的多边形的面积。 师：好，孩子们，通过课前的整理，咱们知道哪个图形很重要？ 生：长方形。 师：咱们只要知道长方形的面积计算方法，就可以推导出这些平面图形的面积。是的，通过刚才的交流和讨论，咱们又知道谁也很重要？ 生：三角形。 师：任意的多边形都可以分割成三角形。那咱们除了可以通过长方形，可以从通过三角形出发来建立平面图形之间的联系以外，咱们是不是可以考虑通过另外的图形重新出发，重建这些平面图形之间的联系？这个问题我们就留着课后再去讨论，好不好？好，下课。 学科网（北京）股份有限公司 $$