6.9　第2课时　垂　线 课件 2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第6章　6.9　直线的相交 第2课时　垂线 学习目标　1.经历垂线的概念的发生过程，了解垂线的概念. 2.会用符号表示两条直线互相垂直. 3.会用三角尺或量角器过一已知点画已知直线的垂线. 4.了解“过一点有一条而且仅有一条直线和已知直线垂直”. 5.了解“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的概念. 掌握重点　两条直线互相垂直的概念、画法及表示方法. 突破难点　垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就说这两条直线 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 . 互相垂直 垂线 知识点1　垂直的概念 答案 垂足 一般地，在 内，过一点有一条而且 直线垂直于已知直线. 同一平面 仅有一条 5 自我检测 1.下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是(　　) D 答案 2.下列说法正确的有(　　) ①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在同一平面内，过一点任意画一条直线都可以垂直于已知直线； ④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 解析　由垂线的性质可知①②正确. 故选B. 答案 解析 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短. 从直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离. 垂线段 知识点2　点到直线的距离 答案 垂线段 8 3.如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是(　　) A.PA B.PB C.PC D.PD B 解析　根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选B. 答案 解析 自我检测 4.在如图图形中，线段PQ能表示点P到直线l的距离的是(　　) D 答案 返回 解析 解析　图A，B，C中，线段PQ不与直线l垂直，故线段PQ不能表示点P到直线l的距离； 图D中，线段PQ与直线l垂直，垂足为点Q，故线段PQ能表示点P到直线l的距离. 故选D. 典例精析 11 例1　(教材补充例题)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 解 类型1　 过一点画已知直线的垂线 解 归纳总结　用三角尺作垂线的步骤： (1)“一落”，即三角尺的一条直角边落在已知直线上；(2)“二过”，即三角尺的另一条直角边经过已知点；(3)“三画线”，即沿着经过已知点的直角边画垂线. 例2　(教材例3针对训练)如图，点O在直线AB上，OE⊥AB，垂足为点O，OC⊥OD.若∠DOE＝32°，请你求出∠EOC，∠BOD的度数，并说明理由. 解　∵OC⊥OD，∴∠DOC＝90°， ∵∠DOE＝32°， ∴∠EOC＝90°－∠DOE＝90°－32°＝58°， 又∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°， ∴∠BOD＝∠DOE＋∠EOB＝32°＋90°＝122°， ∴∠EOC＝58°，∠BOD＝122°. 类型2　 与垂直有关的角度计算 解 归纳总结　本题考查了垂直的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点. 例3　(教材补充例题)如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连结CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道. 这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？ 类型3　 垂线的性质 解 解　∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴CE＜PC，DF＜PD， ∴CE＋DF＜PC＋PD， ∴方案一更节省材料. 归纳总结　(1)垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言；(2)实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择. 小结与反思 小结 数学是从实际生活中来的，又应用于生活.请将下列事件与对应的数学原理用连线连结起来. 反思 解 事件 数学原理 教室的门要用两扇合页才能自由开关 直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 飞机从萧山飞往北京，它的航行路线是直的 经过两点有且只有一条直线 测量跳远运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 两点之间线段最短 解　 返回 事件   数学原理 教室的门要用两扇合页才能自由开关 → 经过两点有且只有一条直线 飞机从萧山飞往北京，它的航行路线是直的 → 两点之间线段最短 测量跳远运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直 → 直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 课时作业 22 1.下列说法正确的有(　　) A.连结两点的线段叫做两点间的距离 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.对顶角相等 D.线段AB的延长线与射线BA是同一条射线 C 基础达标 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析　A.连结两点的线段的长度叫做两点间的距离，错误； B.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线，错误； C.对顶角相等，正确； D.线段AB的延长线与射线BA不是同一条射线，错误. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.下列图形中，线段EF的长度表示点F到直线l的距离的是(　　) A 答案 解析 解析　图B，C，D中，线段EF不与直线l垂直，故线段EF不能表示点F到直线l的距离； 图A中，线段EF与直线l垂直，垂足为点E，故线段EF能表示点F到直线l的距离. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.(2018·杭州)如图，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则下列哪条线段的长度是表示点A到BC的距离(　　) A.AD B.AF C.AE D.AB C 解析　∵AE⊥BC于点E， ∴AE表示点A到BC的距离. 故选C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.如图，直线a与b相交于点O，MO⊥直线a，垂足为O，若∠2＝35°，则∠1的度数为(　　) A.75° B.65° C.60° D.55° D 解析　∵∠2＝35°，MO⊥直线a， ∴∠1＝90°－35°＝55°. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 18 19 20 5.(2018·邢台)如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(　　) A.∠AOD＝90° B.∠AOC＝∠BOC C.∠BOC＋∠BOD＝180° D.∠AOC＋∠BOD＝180° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 19 20 解析　A.∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项错误； B.∠AOC和∠BOC是补角，补角相等且和又是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项错误； C.∠BOC和∠BOD是补角，和是180°，不能判定垂直，故此选项正确； D.∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，能判定垂直，故此选项错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.如果∠α的两边分别与∠β的两边互相垂直，那么∠α，∠β的关系是(　　) A.相等 B.互余 C.互补 D.相等或互补 D 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析　(1)如图①，∠α与∠β顶点相同时， ∵∠α＋∠β＝360°－90°－90°＝180°， ∴∠α，∠β的关系为互补. (2)如图②，∠α与∠β同为∠γ的余角，∠α＝∠β. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 图① 图② 7.(2018·北京)如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是(　　) A.∠1与∠2互为余角 B.∠3与∠2互为余角 C.∠2与∠AOE互为补角 D.∠AOC与∠BOD是对顶角 C 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析　A.∠1与∠2互余，说法正确； B.∠2与∠3互余，说法正确； C.∠AOE与∠BOE互补，说法错误； D.∠AOC与∠BOD是对顶角，说法正确. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.(2018·铜陵)如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝55°，过点O作射线使得OD⊥OC，则∠BOD的度数是(　　) A.35° B.45° C.35°或145° D.45°或135° C 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析　如图所示：∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°， ∵∠AOC＝55°， ∴∠BOD＝35° 则∠BOD′＝145°， 故∠BOD的度数是35°或145°. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.如图，已知AO⊥CO，∠COD＝40°，∠BOC＝∠AOD，要证BO⊥OD，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据： ∵AO⊥CO， ∴∠AOC＝_____(垂直的定义). 又∵∠COD＝40°(已知)， ∴∠AOD＝_____. ∵∠BOC＝∠AOD＝50°(已知)， ∴∠BOD＝_____， ∴______⊥____(垂直的定义). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 90° 50° 90° BO OD 10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O.如果∠COE＝40°，那么∠AOD等于_____度. 130 解析　∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵∠COE＝40°， ∴∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－40°＝50°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.(1)如图①，村庄A到公路BC的最短距离是AD，依据是_____________. (2)如图②，建筑工人常在一根细绳上拴上一个重物，做成一个“铅锤”，挂铅锤的线总垂直于地面上的任何直线，当这条线贴近墙壁时，说明墙与地面垂直.它的依据是__________________________________________ __________________. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 垂线段最短 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直 线垂直于已知直线 12.小明想度量图中点C到三角形ABC的边AB的距离，在老师的指导下小明完成了画图，那么______________就是点C到直线AB的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 线段CD的长度 解析　点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，线段CD的长度就是点C到直线AB的距离. 13.如图，AB交CD于点O，OE⊥AB. (1)若∠EOD＝40°，求∠AOC的度数. 解　∵OE⊥AB(已知)， ∴∠EOB＝90°(垂直的定义)， ∴∠DOB＝∠EOB－∠EOD ＝90°－40°＝50°(互余的意义)， ∴∠AOC＝∠DOB＝50°(对顶角相等). 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)若∠AOC∶∠BOC＝1∶2，求∠EOD的度数. 解　设∠AOC＝x°，∠BOC＝2x°， 则x＋2x＝180，解得x＝60， ∴∠AOC＝60°， ∴∠DOB＝∠AOC＝60°(对顶角相等)， ∴∠EOD＝90°－∠DOB＝90°－60°＝30°. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.如图所示，已知射线OA和点P. (1)作射线OP. (2)过点P作PM⊥OP，与OA交于点M. (3)过点P作PN⊥OA，垂足为N. (4)图中线段________的长表示点P到射线OA所在直线的距离. 解　如图所示，OP即为所求. 解　如图所示，PM即为所求. 解　如图所示，PN即为所求. 解　PN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 15.下列关系中，互相垂直的两条直线是(　　) A.互为对顶角的两角的平分线 B.互为补角的两角的平分线 C.两条直线相交所成的四个角中相邻两角的角平分线 D.相邻两角的角平分线 C 解析　两条直线相交所成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 19 20 能力提升 16.如图，河道l的一侧有A，B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A，B两村，下列四种方案中最节省材料的是(　　) B 解析　依据垂线段最短，以及两点之间线段最短，可得最节省材料的是 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 19 20 17.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有(　　) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 18.已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为___________. 30°或150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 解析 解析　∵OA⊥OC， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOB∶∠AOC＝2∶3， ∴∠AOB＝60°. 因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外. ①当在∠AOC内时，∠BOC＝90°－60°＝30°； ②当在∠AOC外时，∠BOC＝90°＋60°＝150°. 故答案为30°或150°. 19.如图①，已知A，O，B三点在同一直线上，射线OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC. (1)求∠DOE的度数. 解　∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOC＋∠BOC＝180°， ∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 ∴∠DOE＝90°. (2)如图②，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF＝α(0°＜α＜90°). ①求∠AOF的度数(用含α的代数式表示). 解　∵OC⊥OF， ∴∠COF＝90°， ∵∠DOF＝α， ∴∠COD＝90°－α， ∵∠AOD＝∠COD， ∴∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－α－α ＝90°－2α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 ②若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数. 解　∵∠BOD是∠AOF的2倍， ∴180°－(90°－α)＝2(90°－2α)， α＝18°， 即∠DOF＝18°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 20.如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF. (1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 素养提升 解　∵∠AOE＋∠AOF＝180°(互为补角)，∠AOE＝40°(已知)， ∴∠AOF＝140°(互补的意义). 又∵OC平分∠AOF(已知)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ∴∠EOD＝∠FOC＝70°(对顶角相等)； 而∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝50°， ∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝20°. (2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数(用含α的代数式表示). 解　∵∠AOE＋∠AOF＝180°(互为补角)， ∠AOE＝α，∴∠AOF＝180°－α. 又∵OC平分∠AOF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 而∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－α， (3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？请直接写出. 解　从(1)(2)的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 返回 本课结束 ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠COD＋∠COE＝(∠AOC＋∠BOC)＝90°， ∴∠FOC＝∠AOF＝70°(角平分线的性质)， ∴∠FOC＝∠AOF＝90°－α， ∴∠EOD＝∠FOC＝90°－α(对顶角相等)； ∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝α. $$