6.9直线的相交（2） 学案 2023--2024学年浙教版七年级数学上册

浙教版数学七年级上册自主学案 第6章　图形的初步知识 6.9　直线的相交 第2课时　垂直 教材的地位 和作用 　垂直作为两条直线相交的特殊情形,它的概念、画法和性质是空间与图形领域的基础知识,学习它会为后面的平行线的定义和性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础.同时,本节的学习对加深“角与线”的认识,建立空间观念,发展思维有好处 重点 难点 重点 　两条直线互相垂直的概念、画法及表示法 难点 　垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念 易错点 　点到直线的距离是垂线段的长度而不是垂线段 知识点一　垂直的概念 　　当两条直线相交所构成的四个角中有一个是　直角　时,我们就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.  两条线段垂直是指这两条线段所在的　直线　垂直.  1.以下两条直线互相垂直的是 (D) ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等; ③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补. A.①③ B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 知识点二　点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的　垂线段　的长度,叫做点到直线的距离.  2.如图5,点A到直线CD的距离是指哪一条线段的长 (C) 图5　　　　　　　 A.AC B.CD C.AB D.BD 【例题探究】 类型一　过一点画已知直线的垂线 例1 (教材补充例题)在图6中,分别过点P作AB的垂线. 图6 解:如图所示. 【归纳总结】 用三角尺作垂线的步骤: “一落”,即三角尺的一条直角边落在已知直线上;“二过”,即三角尺的另一条直角边经过已知点;“三画线”,即沿着经过已知点的直角边画垂线. 类型二　与垂直有关的角度计算 例2 (教材例3针对训练)如图7,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O.如果∠EOD=42°,求∠AOC的度数. 图7 解:∵OE⊥AB, ∴∠EOB=90°. 又∵∠EOD=42°, ∴∠BOD=90°-42°=48°, ∴∠AOC=∠BOD=48°. 类型三　垂线的性质 例3 (教材补充例题)如图8所示,下列说法:(1)把图甲中弯曲的河道BCA改成直道BA,可以缩短航程;(2)把图乙中的渠水引到水池C中,可在渠岸AB边上找到一点D,使CD⊥AB,沿CD挖水渠,水渠最短;(3)如图丙所示,甲、乙两辆汽车分别从A,B处沿道路AC,BC同时出发开往C城,若两车速度相同,则甲车先到达C城.其中运用“垂线段最短”这个性质的是(C) 图8 　　A.(1)(2)　　　　　　B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3) 【归纳总结】 垂线的性质: (1)在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线. (2)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 在同一平面内,互相垂直的两条直线是相交线吗?它们是一种怎样的特殊情况? 解:是相交线,它们相交所成的角是90°. 【学以致用】 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，画出了如图所示的四种图形，其中正确的是(　A　) 第1题图 A．① B．②③ C．①④ D．①③④ 2．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中属于点到直线的垂线段的共有(　D　) 第2题图 A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【解析】 AB是点B到AC的垂线段，CA是点C到AB的垂线段，AD是点A到BC的垂线段，BD是点B到AD的垂线段，CD是点C到AD的垂线段，故图中属于点到直线的垂线段的共有5条． 3．在直线AB上任取一点O，以点O为端点作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数为(　D　) A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120° 【解析】 可分两种情况讨论： 第3题答图 ①当OC，OD在直线AB的同侧时，如答图1. ∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°. 又∵∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝180°－∠COD－∠AOC＝60°； ②当OC，OD在直线AB的异侧时，如答图2. ∵OC⊥OD，∠AOC＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝180°－∠AOD＝120°. 综上所述，∠BOD的度数为60°或120°. 4．(1)如图，已知∠AOB和一点P，过点P画∠AOB两边的垂线． 第4题图 (2)用垂直符号表示出图形①中的垂直关系． 解：(1)如答图所示． 第4题答图 (2)PC⊥AO，PD⊥OB. 5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD且OE平分∠BOF. (1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度数． (2)试说明OC是∠AOF的平分线． 第5题图 解：(1)∵OE⊥CD， ∴∠DOE＝∠COE＝90°， 即∠DOB＋∠EOB＝90°. 又∵∠DOB＝∠EOB＋10°， ∴∠EOB＋10°＋∠EOB＝90°， ∴∠EOB＝40°. 又∵OE平分∠BOF， ∴∠EOF＝∠BOE＝40°， ∴∠COF＝∠COE－∠EOF＝50°. (2)∵OE平分∠BOF， ∴∠EOF＝∠BOE. ∵OE⊥CD， ∴∠DOB＋∠EOB＝∠EOF＋∠COF＝90°， ∴∠BOD＝∠COF. 又∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝∠COF， ∴OC是∠AOF的平分线． 6．如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内的三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE. (1)若∠AOB＝70°，∠DOE＝20°，求∠BOC的度数． (2)若∠AOE＝136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数． (3)若∠DOE＝20°，∠AOE＋∠BOD＝220°，求∠BOD的度数． 第6题图 解：(1)∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE， ∴∠BOE＝∠AOB＝70°， ∠COE＝2∠DOE＝40°， ∴∠BOC＝∠BOE－∠COE＝30°. (2)∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE， ∴∠BOE＝∠AOE，∠DOE＝∠COE. 又∵∠BOD＝∠BOE－∠DOE， ∴∠BOD＝(∠AOE－∠COE)＝∠AOC. ∵AO⊥CO，∴∠AOC＝90°，∴∠BOD＝45°. (3)∵OB平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOE. 又∵∠AOE＋∠BOD＝220°， ∴2∠BOE＋∠BOD＝220°. ∵∠DOE＝20°， ∴2∠BOE＋∠BOD＋∠DOE＝220°＋20°， ∴2∠BOE＋∠BOE＝240°， 即3∠BOE＝240°，∴∠BOE＝80°，∴∠BOD＝∠BOE－∠DOE＝60°. 7．[推理能力]如图，O是直线AC上一点，以点O为端点作射线OB，使得∠AOB＝60°.射线OC不动，射线OA，OB同时开始绕点O顺时针转动一周． (1)若射线OA，OB的转动速度相同，均为每秒10°，则当OA⊥OC时，转动的时间为__9或27__s；当OB⊥OC时，转动的时间为__3或21__s. (2)若射线OA，OB的转动速度分别为每秒40°和每秒20°，则当OA⊥OB时，OB转动的时间为多少？ 第7题图 解：(2)设OA，OB转动的时间为t(s)，OA转动一周的时间为t＝＝9(s)． 分情况讨论： OA停止转动前，由题意，得 40t－20t＝60＋90，解得t＝7.5； OA转动一周后，停止转动，OB仍在转动，由题意，得 20t＝180－60＋90，解得t＝10.5. 综上所述，当OA⊥OB时，OB转动的时间为7.5 s或10.5 s. 学科网（北京）股份有限公司 $$