5.4　第2课时　图形的面积、体积变形等问题 课件 2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第5章　5.4　一元一次方程的应用 第2课时　图形的面积、体积变形等问题 学习目标　1.掌握列方程解应用题的一般步骤. 2.掌握等积变形问题基本数量关系，会列一元一次方程解简单的实际问题. 掌握重点　掌握等积变形问题基本数量关系，列方程解实际问题. 突破难点　学会用列表法、图示法等分析题目中的数量关系. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 对于面积不变的问题，形状不同而面积相等就是列方程的依据.解决此类问题应熟悉常用的面积公式，并能根据题目信息用未知数表示相关图形的面积. 知识点1　面积不变问题 5 1.如图，在周长为10 m的长方形窗户上钉一块宽为1 m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为(　　) A.4 m2 B.9 m2 C.16 m2 D.25 m2 自我检测 A 答案 对于体积不变的问题，形状不同而体积相等就是列方程的依据，解决此类问题应熟悉常用的体积公式，如长方体、圆柱的体积公式. 知识点2　体积不变问题 7 自我检测 2.从一内径为12 cm的圆柱形大茶壶中，向一内径为6 cm，内高为16 cm的圆柱形小空茶杯倒满水，大茶壶中水的高度下降(　　) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm B 答案 返回 典例精析 9 例1　(教材例3针对训练)图①为一正面白色、反面灰色的长方形纸片.现沿虚线剪下分成甲、乙两个长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图②所示. 若图②中白色与灰色区域的面积比为8∶3，图②纸片的面积为33，则图①纸片的面积是多少？ 类型1　 简单的面积不变问题 解 解　设每一份面积为x，则图②中白色部分面积为8x，灰色部分面积为3x， 由题意得8x＋3x＝33，解得x＝3. ∴灰色部分面积为3×3＝9， ∴图①纸片的面积为33＋9＝42. 归纳总结　本题考查了比例问题在解实际问题中的应用，解答时根据条件建立方程求出灰色部分面积是关键. 例2　如图，水平放置的容器内原有210毫米高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入1个大球水面上升4毫米，每放入1个小球水面上升若干毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出. (1)先放入5个大球，再放入4个小球，这时水面上升到了242毫米，那么放1个小球会使水面上升多少毫米？ 类型2　 体积不变问题 解答 解　设放一个小球会使水面上升x毫米，由题意得210＋5×4＋4x＝242， 解得x＝3. 答　放一个小球会使水面上升3毫米. (2)在(1)的条件下，仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为n. ①如果放入了n个小球后，水并没有溢出，那么此时水面的高度是多少毫米？ 解　由题意得，210＋6×4＋3n＝234＋3n， 答　此时水面的高度是(234＋3n)毫米. 解答 ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？ 解　因为限定水面高不超过260毫米， 所以水面最高即为260毫米， 所以，n应取最大的正整数8， 答　最多能放入8个小球. 解答 归纳总结　等积变形的问题等量关系是：物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积(或面积)不变. 小结与反思 小结 把一个长10 cm、宽8 cm、高5 cm的长方体铁块熔铸成一个直径为20 cm的圆柱体铁块，求这个圆柱体铁块的高(不计损耗，π取3.14，结果精确到0.1 cm). 反思 解答 返回 解　设这个圆柱体铁块的高为x cm， 解得x≈1.3. 答　这个圆柱体铁块的高约为1.3 cm. 课时作业 20 1.已知如图某长方体的展开图的面积为504 cm2，根据图中的数据可求出x的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 D 解析　由题意得 2×(12x＋6x＋6×12)＝504， 解得x＝10. 故选D. 基础达标 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.如图，五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是64 cm，则大长方形的面积是(　　) A.192 cm2 B.220 cm2 C.240 cm2 D.256 cm2 C 答案 解析 解析　设小长方形的宽为x cm，长为3x cm， 根据题意得2(3x＋2x＋3x)＝64， 解得x＝4， ∴大长方形的面积为20×12＝240(cm2). 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为(　　) A.16 cm2 B.20 cm2 C.80 cm2 D.160 cm2 C 解析　设原来正方形纸的边长是x cm，则第一次剪下的长条的长是x cm，宽是4 cm，第二次剪下的长条的长是(x－4)cm，宽是5 cm， 则4x＝5(x－4)，解得x＝20. 20×4＝80(cm2). 故选C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.如图所示由四种大小不同的八个正方形拼成一个长方形，其中最小的正方形的边长为5，则这个长方形的周长为(　　) A.82 B.86 C.90 D.94 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 18 解析　设右上方正方形的边长为x， 由题意知左上方正方形的边长为10，右下方正方形的边长为15－x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 则10＋2x＝5＋5＋3×(15－x)， 解得x＝9， 所以长方形的周长为2×(15＋10＋9＋9)＝86， 故选B. 5.有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20厘米，高20厘米，先内装蓝色溶液若干.若如图②放置时，测得液面高10厘米.若如图③放置时，测得液面高16厘米.则该玻璃密封器皿总容量为(　　) A.1 250π立方厘米 B.1 300π立方厘米 C.1 350π立方厘米 D.1 400π立方厘米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 解析　设该玻璃密封器皿总容量为V cm3， π×102×10＝V－π×102×(20－16)， 解得V＝1 400π， 故选D. 6.如图，每个圆纸片的面积都是30，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠面积分别为6,8,5，三个圆纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分面积为(　　) C 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.54 B.56 C.58 D.69 解析　设三个圆纸片都重叠部分的面积为x， 则73＋6＋(8－x)＋(5－x)＋x＝30×3， 得x＝2. 所以三个圆纸片重叠部分的面积为2. 图中阴影部分的面积为73－(6＋8＋5－2×2)＝58. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.图①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则这个长方体的高为____cm. 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 根据题意得15－x＝2x， 解得x＝5. 故答案为5. 8.一块圆柱形铁块，底面半径为20 cm，高为16 cm.若将其锻造成长为20 cm，宽为8 cm的长方体，则长方体的高为________cm.(π取3.14) 125.6 解析　设长方体的高为x cm， 则π×202×16＝20×8×x， 解得x≈125.6. 故答案为125.6. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.如图，宽为30 cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的长为____cm. 24 解析　设其中一个小长方形的长为x cm，则宽为(30－x)cm，依题意有 2x＝x＋4(30－x)， 解得x＝24. 故其中一个小长方形的长为24 cm. 故答案为24. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.如图，一个瓶子的容积为1升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm；倒放时，空余部分的高度为5 cm.则瓶内溶液的体积为____升.现把溶液全部倒在一个底面直径为8 cm的圆柱形杯子里，圆柱形杯子溶液的高度为________(结果保留3个有效数字). 0.8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.9 cm ∴x＝0.8. 当把溶液全部倒在一个底面直径为8 cm的圆柱形杯子里时， ∵1升＝1 000 cm3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　∵小长方形的周长是8 cm， ∴长与宽的和是4 cm. 设小长方形的宽为x cm，则长为(4－x)cm，根据题意得 3x＝4－x， 解得x＝1， 所以小长方形的宽是1 cm. 所以大长方形的宽为3x＝3 cm，长为4－x＋2x＝5 cm， 所以大长方形的面积是15 cm2. 11.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，小长方形的周长是8 cm，则小长方形的宽是多少？大长方形的面积是多少？ 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.用正方形硬纸板做长方体盒子，每个盒子由4个长方形侧面和2个正方形底面组成.硬纸板以如图两种方法裁剪.A方法：剪6个侧面；B方法：剪9个底面.现有24张硬纸板，用A方法裁剪种了x米，用B方法裁剪了其余的硬纸板. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)用x的代数式表示：裁剪出的侧面的个数为________，底面的个数为________. 解　∵x张用A方法裁剪，则(24－x)张用B方法裁剪， ∴裁剪出的侧面个数为6x，底面的个数为9(24－x)＝(216－9x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 解　根据题意，得6x＝2(216－9x)， 解得x＝18， 则侧面的个数为6×18＝108， 所以盒子的数量为108÷4＝27(个)， 答　能做27个盒子. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解答 13.如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40 cm,50 cm.今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，则隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为(　　) B 答案 解析 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.43 cm B.44 cm C.45 cm D.46 cm 解析　设长方形的宽为x公分，抽出隔板之后水面高度为h公分，长方形的长为130＋70＝200(公分). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解得h＝44， 故选B. 14.如图，将一条长为60 cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1∶2∶3，则折痕对应的刻度的可能性有(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 解析　设折痕对应的刻度为x cm，依题意有 ①x＋x＋x＝60， 解得x＝20； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解得x＝25； 解得x＝35； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解得x＝40. 综上所述，折痕对应的刻度有4种可能. 故选C. 15.小明和小慧两位同学在数学活动课中，把长为30 cm，宽为10 cm的长方形白纸条粘合起来.小明按如图甲所示的方法粘合起来得到长方形ABCD，粘合部分的长度为6 cm.小慧按如图乙所示的方法粘合起来得到长方形A1B1C1D1，黏合部分的长度为4 cm.若长为30 cm，宽为10 cm的长方形白纸条共有100张，则小明应分配到______张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等(要求100张长方形白纸条全部用完). 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 解析　设小明应分配到x张长方形白纸条，则小慧应分配到(100－x)张长方形白纸条，依题意有 10[30x－6(x－1)]＝30[10(100－x)－4(100－x－1)]， 解得x＝43. 小明应分配到43张长方形白纸条，才能使小明和小慧按各自要求黏合起来的长方形面积相等. 故答案为43. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.如图，一足球由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，如果这种足球的白皮有20块，那么黑皮有____块. 12 解析　设黑皮有3x块，则白皮有5x块. ∵5x＝20， ∴x＝4， ∴3x＝12， 故答案为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 17.小亮做了一个用于放试管的木架子，他在 厘米长的木条上钻了7个孔，每个孔的直径都为a厘米，如图所示： 解　设相邻两孔之间的距离是x厘米，根据题意可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解答 18 (1)如果两端的空间与任何相邻两孔之间的距离相同，当a＝ 时，相邻两孔之间的距离是多少厘米？ 解得x＝1.5. 答　相邻两孔之间的距离是1.5厘米. 解　设每个孔的直径为y厘米，根据题意可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解答 18 解得y＝1. 答　每个孔的直径为1厘米. 18.解决下列问题：(结果精确到个位) (1)用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是多少？面积是多少？ 解 素养提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　设长方形的宽为x厘米，则长方形的长为(x＋10)厘米， 根据题意可知：x＋(x＋10)＝40，所以x＝15厘米， 长方形的长为25厘米，宽为15厘米，面积为25×15＝375(平方厘米). (2)用这根绳子围成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？面积是多少？ 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　根据(1)的解题方法，且正方形的边长相等， 所以可以算出正方形的边长为20厘米， 所以正方形的面积为20×20＝400(平方厘米). (3)如果用这根绳子围成一个圆，那么这个圆的半径是多少？面积是多少？(π可取3.14) 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　设圆的半径为x厘米， 则圆的面积为S＝π×x×x≈510(平方厘米). (4)再分别取长度为100厘米，120厘米的绳子重复上面的(1)(2)(3)运算，比较得出的结果. 你能从中获得什么猜想？ 解 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　100厘米时，长方形面积为600平方厘米，正方形面积为625平方厘米，圆面积约为796平方厘米. 120厘米时，长方形面积为875平方厘米，正方形面积为900平方厘米，圆面积约为1 146平方厘米. 猜想，相同周长情况下，圆的面积>正方形的面积>长方形的面积. 本课结束 即234＋3n＝260，解得n＝， 列方程解应用题 则10×8×5＝π×2×x 解析　设长方体的高为x cm，则其宽为＝(15－x)cm. 解析　设溶液的体积为x升，那么空余部分的体积为x升， 依题意得x＋x＝1， ∴圆柱形杯子溶液的高度为＝0.8×1 000÷≈15.9 cm. 由题意得，×40＋×50＝200·x·h， ②x＋x＋x＝60， ③x＋x－x＝60， ④x＋x－x＝60， －7×＝8x， (2)如果两端的空间都是，其它相邻两孔之间的距离相同都为，那么每个孔的直径为多少厘米？ －2×－6×＝7y， 圆的周长为2×x×π＝80，故x＝. $$