5.4　第1课时　和差倍分、行程和日历等问题 课件 2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第5章　5.4　一元一次方程的应用 第1课时　和差倍分、行程和日历等问题 学习目标　1.掌握列方程解应用题的一般步骤. 2.掌握行程问题中基本数量关系，会列一元一次方程解简单的实际问题. 掌握重点　会列一元一次方程解简单的行程问题. 突破难点　确定题目中等量关系，正确列出方程. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系，尤其是等量关系(即相等关系). 2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示(例如x). 3.列方程：根据相等关系列出方程. 4.解方程：求出未知数的值. 5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情况，并写出答案(包括单位名称). 知识点　列一元一次方程解实际问题的一般步骤 5 自我检测 某校组织活动，共有100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比第二组人数的2倍少8人，问这两个组各有多少人？ 解答 返回 解　设第一组有x人，则第二组有(100－x)人. 根据题意，得x＋8＝2(100－x)， 解这个方程，得x＝64. 所以100－64＝36(人). 答　第一组有64人，第二组有36人. 典例精析 7 例1　七年级学生去春游，步行的同学以5 km/h的速度出发了18 min后，骑自行车的同学才以14 km/h的速度按原路追赶，骑自行车的同学经过多少小时可以追上步行的同学？ 解　设骑自行车的同学经过x h可以追上步行的同学， 类型1　 用一元一次方程解简单的行程问题 解答 归纳总结　行程问题中的基本关系为路程＝速度×时间，我们要根据题目情境，灵活运用此公式，才能顺利解决各类行程问题. 类型2　 利用一元一次方程解决较复杂的行程问题 解答 解　设相遇前乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为(x＋30)km/h.根据题意，得 解得x＝60， 所以x＋30＝90,3x＋2(x＋30)＝360. 答　相遇前，甲车的速度是90 km/h，乙车的速度是60 km/h，A，B两地的距离为360 km. 归纳总结　解较复杂的行程问题，可以先根据题意画出示意图，能形象、直观地表示出各数量之间的关系，再根据示意图列出方程. 小结与反思 小结 小张在家门口乘公共汽车去火车站，在行驶了 的路程后，估计继续乘公共汽车将会赶不上火车，于是下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果乘出租车比乘公共汽车早到了5 min，在火车到站前到了火车站.已知公共汽车的平均速度为40 km/h，求小张家到火车站有多远？ 反思 解答 返回 解　设小张乘公共汽车行驶了x km，则乘出租车行驶了2x km，小张家到火车站有3x km.根据题意， 答　小张家到火车站的距离有10 km. 课时作业 15 D 基础达标 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.小明骑自行车到学校上学，若每小时骑15千米，可早到10分钟；若每小时骑13千米，则迟到5分钟.设他家到学校的路程为x千米，下列方程正确的是(　　) A 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.周末小丽一家去爬山，上山时每小时走2.5千米，下山时按原路返回，每小时走4千米，结果上山比下山多花0.2小时.设下山所用时间为x小时，可得方程(　　) A.4(x＋0.2)＝2.5x B.4x＝2.5(x＋0.2) C.4(x－0.2)＝2.5x D.4x＝2.5(x－0.2) B 解析　设下山所用时间为x小时，则上山所用的时间为(x＋0.2)小时， 依题意，得4x＝2.5(x＋0.2). 故选B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.一列动车以300 km/h的速度过第一、第二两个隧道，已知第二个隧道的长度比第一个隧道长度的2倍还多1.5 km，已知该列车过第二个隧道比第一个隧道多用了90秒，若设第一个隧道的长度为x km，则由题意列出的方程正确的是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 18 解析　设第一个隧道的长度为x km，则第二个隧道的长度为(2x＋1.5)km， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 故选C. 5.长江上有A，B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2 h，从B到A(航线相同)逆水航行要用时3.5 h.已知水流的速度为15 km/h，求轮船在静水中的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为x km/h，则可列方程为(　　) A.(x－15)×3.5＝(x＋15)×2 B.(x＋15)×3.5＝(x－15)×2 D.(x＋15)×2＋(x－15)×3.5＝1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 解析　设轮船在静水中的航行速度为x km/h，则轮船顺水航行的速度为(x＋15)km/h，轮船逆水航行的速度为(x－15)km/h， 依题意，得2(x＋15)＝3.5(x－15). 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.甲、乙两人从相距21千米的两地同时出发，相向而行，120分钟后相遇.甲每小时比乙多走500米，设乙的速度为x千米/时，下面所列方程正确的是(　　) A.2(x＋500)＋2x＝21 B.2(x＋0.5)＋2x＝21 C.120(x－500)＋120x＝21 D.120(x－0.5)＋120x＝21 B 解析　设乙的速度为x千米/时， 则甲的速度为(x＋0.5)千米/时， 依题意得2(x＋0.5)＋2x＝21. 故选B. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.哥哥今年15岁，弟弟今年9岁，x年前哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍，则列方程为(　　) A.15－x＝2(9－x) B.9－x＝2(15－x) C.15＋x＝2(9＋x) D.9＋x＝2(15＋x) A 解析　x年前哥哥的年龄是(15－x)岁，x年前弟弟的年龄是(9－x)岁. 根据x年前哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍，可列方程为15－x＝2(9－x)， 故选A. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.三个连续偶数的和是24，设中间的偶数为n，则可列出的方程为(　　) A.n＋(n＋2)＋(n＋4)＝24 B.n＋(n－2)＋(n－4)＝24 C.(n－2)＋n＋(n＋2)＝24 D.(n－4)＋2n＋(n＋4)＝24 C 解析　设中间的偶数为n，则其他的两个为n－2， n＋2，根据题意得 (n－2)＋n＋(n＋2)＝24. 故选C. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件，两者销量之和为5 900件，用x表示珐琅书签的销量，则可列出一元一次方程____________________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2x－700)＋x＝5 900 解析　设珐琅书签销售了x件，则文创笔记本销售了(2x－700)件， 根据题意得(2x－700)＋x＝5 900. 故答案为(2x－700)＋x＝5 900. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　设x s后第一次相遇，根据题意得出 (6＋7.5)x＝400. 解　设x s后第一次相遇，根据题意得出 (7.5－6)x＝400. 11.根据下列问题，设未知数，列出方程，不用求解. 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑6 m，乙每秒跑7.5 m. (1)若两人同时同地背向而行，则几秒后第一次相遇？ (2)若两人同时同地同向而行，则几秒后第一次相遇？ 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.如图是2018年5月月历. (1)如图，用一正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为x，则被正方形框住的4个数之和用含x的式子表示出来是__________. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　记左上角的一个数为x，则另三个数分别为x＋1，x＋7，x＋8. 依题意得x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝4x＋16. 故答案是4x＋16. (2)在表中用正方形框的4个数之和最小值记为a1，最大值记为a2，则a1＋a2＝________. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　∵当4个数是1,2,8,9时，4个数之和最小， a1＝1＋2＋8＋9＝20； 当4个数是23,24,30,31时，4个数之和最大， a2＝23＋24＋30＋31＝108， ∴a1＋a2＝20＋108＝128. 故答案为128. (3)当(1)中被正方形框的4个数之和等于76时，求x的值. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　由题意得，x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝76， 解得x＝15， 所以当被框住的4个数之和等于76时，x的值为15. (4)在(1)中能否用正方形框这样的4个数，使它们的和等于92？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解　不能. 由题意得，x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝92，解得x＝19， 故由此框住的四个数应是19,20,26,27，但是19, 20不在同行的相邻位置，所以不能框住4个数的和等于92. 13.有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过.此时，王老师前面还有36个人等待通过(假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计)，而通过道口后，他还需7分钟到达学校.这时在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常(维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口)，结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口.问：维持秩序的时间是(　　) A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟 B 答案 解析 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析　设维持秩序的时间为x分钟，根据题意得， 3x＋9(6－x)＝36， 解得x＝3. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.某中学学生志愿者服务小组在“九月夕阳红关爱老人”活动中，购买了一批红枣到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋红枣，那么还剩下16袋；如果送给每位老人4袋红枣，那么还缺14袋.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为_______________. 3x＋16＝4x－14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 18 15.轮船沿江从P港顺流行驶到Q港，比从Q港返回P港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求P港和Q港相距多少千米.设P港和Q 港相距x千米.根据题意，可列出的方程是___________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 18 16.一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，把个位上数字与十位上数字对调后，所得的数比原数大36，求这个两位数.设十位上数字为x.根据题意列方程为______________________. (20x＋x)－(10x＋2x)＝36 解析　设十位上数字为x，则个位上的数字为2x，这个两位数是10x＋2x； 个位与十位对调后，个位上的数字变成x，十位上的数字变成2x， 此时的两位数是20x＋x.根据等量关系列方程得(20x＋x)－(10x＋2x)＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 (1)用算术方法求出四个班的总捐款数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解答 18 答　四个班的总捐款数为676元. (2)设四个班捐款的总和是x元，那么你能列出关于x的方程吗？ 解　设四个班捐款的总和是x元，由题意得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 18.从A地步行前往B地，先是一段1.5千米的下坡路，然后是5.6千米的平路，最后经过2.5千米的上坡路到达，甲、乙两人分别从A，B两地同时相向而行，两人下坡速度都是每小时5千米，平路速度都是每小时3.5千米，上坡速度都是每小时2千米.问当两人相遇后乙还需多少时间到达A地？ 素养提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解答 解　甲走下坡路的时间：1.5÷5＝0.3(小时)，平路的时间：5.6÷3.5＝1.6(小时)， 乙走下坡路的时间：2.5÷5＝0.5(小时)， ∵0.3＋1.6>0.5，∴两人相遇在平路上， 乙走完全程的时间：0.5＋1.6＋1.5÷2＝2.85(小时)， 设两人相遇后乙还需x小时到达A地， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x＝1.65， 答　当两人相遇后乙还需1.65小时到达A地. 返回 本课结束 由题意，得14x＝5×＋5x，解得x＝. 答　骑自行车的同学经过 h才可以追上步行的同学. 例2 甲、乙两列火车从A，B两地相向而行，乙车比甲车早出发1 h，甲车比乙车的速度快30 km/h，甲车发车2 h后与乙车相遇.相遇后，甲车以原速度的行驶，乙车以原速度的行驶，结果h后，两车的距离等于A，B两地间的距离.求两车相遇前的速度和A，B两地之间的距离. 3x＋2(x＋30)＝×， 得－＝，解得x＝，则3x＝10. 1.根据“x的3倍与5的和比x的少3”可列方程(　　) A.3(x＋5)＝＋3 B.3x＋5＝＋3 C.3(x＋5)＝－3 D.3x＋5＝－3 A.＋＝－ B.＋10＝－5 C.＋＝＋ D.－＝－ A.＝－90 B.＝＋90 C.＋＝ D.－＝ 依题意，得＋＝. C.＝ 10.某人从甲地到乙地，全程的乘车，全程的乘船，最后又步行了4 km到达乙地，设甲、乙两地的路程为x km，则根据题意可列方程 ________________. x－x－x＝4 ＝－3 17.某校七年级四个班为“希望工程”捐款，七(1)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(2)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(3)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(4)班捐了169元. 解　169÷ ＝169÷＝676(元). x－x－x－x＝169. x－＝2.85－x－， $$