1.4 角平分线（2）课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

第一章：三角形的证明 1.4角平分线（2） 学习目标 ①能够证明三角形的三条角平分线交于一点，且则一点到三条边的距离相等。 ②灵活运用角平分线的性质和判定定理，解决了几何中的计算和证明问题。 旧知温习 一、角平分线的性质定理． 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等． 2 1 E D C P O B A 如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。（已知） ∴PD=PE（线角平分线上的点到这个角的两边距离相等） 该结论是常用来证明两线段相等的依据之一。 旧知温习 一、角平分线的性质定理． 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等． 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2 1 E D C P O B A 证明： ∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足（已知） ∴点P在∠AOB的角平分线上（在一个角部，且到角的两边距离相等的点在这条角的平分线上） 二、角平分线的性质定理——逆定理． 该定理是常用来证明 点在直线上（或直线经某点）的依据之一。 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线， 观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流． D F E M N C B A P 新知探究 结论：三角形三条角平分线相交于一点，并且p点到三条边的距离相等． How 证？ G 证明：三角形三条角平分线相交于一点，并且p点到三条边的距离相等． 已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上，且P到△ABC三边距离相等． 证明： 过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在线BM上（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等——性质定理 ） 同理：PE=PF． ∴PD=PF．（等式性质） ∴点P在∠BAC的平分线上。（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上——判定定理），并且PD=PE=PF. ∴△ABC的三条角平分线相交于点P，并且p点到三条边的距离相等。 新知探究 D E F M N C B A P 命题：三角形三个角的平分线相交于一点。 基本思路：我们知道两条直线相交只有一个交点，要想证明三条直线交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可，这时便可考虑前面所学的逆定理。 新课讲解——三角形角平分线的性质定理 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 3.符号语言 1.文字语言 2.图形语言 如图，在△ABC中， ∵BM、CN、AH是△ABC的三条角平分线，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC（已知） ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等） D E F M N C B A P H 该定理是常用来证明三条直线交于一点的依据之一。 该交点叫做三角形的内心。 性质 1.角平分线的交点叫内心， 三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。 2.垂线的交点叫垂心， 三角形垂心指的是三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。 3.中线的交点分别叫重心， 三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。 4垂.直平分线的交点叫外心. 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。 5.三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。 三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。 16112 (1) - 补充 “三心” 1.角平分线的交点叫内心 三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。 这个点也是这个三角形内切圆的圆心。 三角形内心到三角形三条边的距离相等。 3.中线的交点分别叫重心 三角形重心是三角形三条中线的交点。 当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。 2.垂直平分线的交点叫外心 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。 补充 “三线” 1.角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心） 2.中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点（重心） 三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形 3.高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。 任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心） 1.角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心） 2.中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点（重心） 三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形 3.高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。 任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心） 锐角三角形的三条高在三角形内部，且相交于一点；直角三角形一条是斜边上的高，另两条高就是两直角边；钝角三角形，有一条高在三角形内部，其余两条高是界外高。注意：识别或画三角形的高时，一定要清楚三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，再看是哪条边上的高，是界内高还是界外高。 等底等高的两个三角形的面积相等。 利用“等面积法”求高的长度. 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 练 D A B E C 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，CD=4cm（已知） ∴DE=CD=4cm（角平分线的性质定理） ∵AC=BC （已知） ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°， ∴∠B=×∠C=×90°=45°． ∴∠BDE=90°- 45°=45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中，BD= = =4 (勾股定理) ∴AC=BC=CD+BD=(4+4)cm． 练 D A B E C 如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 练 D A B E C (2)证明：由(1)的求解过程可知： DE=CD，AD=AD Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE（全等三角形对应边相等） 又∵BE=DE=CD（由(1)的求解过程知）， ∴AB=AE+BE=AC+CD． ∴得证：AB=AC+CD． 如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 P P1 C B A 练 L1 L2 L3 分析 根据到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 解答 解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角平分线两两相交的交点，共三处． 故选：D． 点评 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解． 练 已知：如图，在△ABC中．∠B=30°，∠C=90°，AD是Rt△ABC的角平分线． 求证：BD=2CD． 证明：如图所示， ∵∠C＝90°，∠B＝30°（已知）， ∴∠BAC＝60°（三角形内角和为180°）． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°（角平分线的性质定理）． 又∵∠B＝30°， ∴∠BAD＝∠B＝30°（等式性质），∴BD＝AD(等角对等边)． 又∵∠C＝90°（已知）,∠DAC＝30°（已得）， ∴AD＝2CD， ∴BD＝2CD． 法① 练 已知：如图，在△ABC中．∠B=30°，∠C=90°，AD是Rt△ABC的角平分线． 求证：BD=2CD． 证明： ∵∠C＝90°，∠B＝30°（已知）， ∴在Rt△ABC，AB=2BC,∠BAC＝60°（三角形内角和为180°）． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°（角平分线的性质定理）,AD=BD(等角对等边)． ∴在Rt△ABC中，AD＝2CD， ∴BD＝2CD． 法② 练 已知：如图，在△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足， ∵CF是∠BCE的平分线（已知）， ∴FP=FM(角平分线的性质定理）． 同理：FM=FN． ∴FP=FN（等式性质）． ∴点F在∠DAE的平分线上(角平分线的判定定理）． 分析：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足．根据角平分线的性质可得FP=FM，FM=FN．∴FP=FN，∴点F在∠DAE的平分线上． 点评：此题主要考查角平分线的性质定理和逆定理．本题比较简单，属于基础题． 要证明“点F在∠DAE的平分线上”，也就是证明点F到AD与A的距离相等就可以了。 如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC=6，求△ADE的周长. 练 C B A E D O 解：连结CO ∵DE∥BC（已知） ∴∠OBC＝∠BOD （两直线平行，内错角相等） 又∵BO是∠ABC的平分线 ∴∠DBO＝∠CBO（角平分线的性质定理） ∴∠DBO＝∠DOB（等式性质） ∴BD=OD（等角对等边） 同理可得 CE＝OE ∴C△ADE=AD+DE+EA =AD+DB+AE+EC =AB+AC =C△ADE - BC =15-6=9 小结 1.三角形角平分线的性质定理 如图，在△ABC中， ∵BM、CN、AH是△ABC的三条角平分线，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC（已知） ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等） D E F M N C B A P H 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 该定理是常用来证明三条直线交于一点的依据之一。 该交点叫做三角形的内心。 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 小结 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 作业 学到就是到， 继续“奥利给”。 See you 练 已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，且PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C,D。 求证：（1）OC=OD. 证明： ∵P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB（已知） ∴PC=PD（角平分线的性质）， 又∵在Rt△POC和Rt△POD中，OP=OP（已知） ∴Rt△POC≌Rt△POD（HL）， ∴得证：OC=OD（等边对等角) 分析：（1）由角平分线的性质易得PC=PD，根据等边对等角即可得出∠PCD=∠PDC； 练 已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，且PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C,D。 求证：（2）OP是CD的垂直平分线。 证明： ∵PC=PD ∴P在CD的垂直平分线上 又∵OC=OD ∴O在CD的垂直平分线上 ∴得证：OP是CD的垂直平分线 分析：（2）易证△POC≌△POD，则OC=OD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得OP垂直平分CD． $$