1.4角平分线（1）课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第一章：三角形的证明 1.4角平分线（1） 学习目标 ①能够证明角平分线的性质，定理及其逆定理。②进一步发展自己的推理证明意识与能力培养将文字语言转化为符号、图形语言的能力。 旧知温习 一、线段垂直平分线的性质定理． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 如图， ∵AC=BC，MN⊥AN，P是MN上任意一点（已知 ） ∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。） N A P B C M 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 如图， ∵AP=BP（已知 ） ∴点P在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。） P B A C 二、线段垂直平分线的性质定理——逆定理． 旧知温习 一、线段垂直平分线的性质定理． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 如果结合我们前面学习过的 有关线段垂直平分线的定理及证明方法， 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？ 能尝试用折纸的办法得到 角平分线及角平分线上的点的性质吗？ 性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 How 证？ 你能证明这一结论吗？ 请结合我们前面所学的定理的证明方法写出这个性质的证明过程，可以吗？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵OC是∠AOB的平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的性质），OP=OP（公共边）， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 2 1 E D C P O B A 新课讲解 在△PDO和△PEO中 ∠PDO=∠PEO ∠1=∠2 OP=OP 分析：要证明PD=PE，只要证明他们所在的两个三角形全等。即：△PDO≌△PEO，而△PDO≌△PEO的条件由已知一直他满足公理（AAS）。 故而结论得证。 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等． 新课讲解——角平分线的性质定理 3.符号语言 1.文字语言 2.图形语言 2 1 E D C P O B A 如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。（已知） ∴PD=PE（线角平分线上的点到这个角的两边距离相等） 该结论是常用来证明两线段相等的依据之一。 你能写出这个定理的逆命题吗? 角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 1.角平分线的性质定理的逆命题 逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 新课讲解——角平分线的性质定理的逆命题 在推逆定理的时候，先把原命题的条件和结论注明出来，再让学生依据条件和结论推出其逆命题。这个时候同学们多半会缺少“在角的内部”这一条件，这是再强调“在角的内部”这一条件，强化学生记忆，增强学习自主性。 1.角平分线的性质定理的逆命题 逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 猜：是！ 它是真命题吗？ 如果是，请证明；如果不是，请说明理由。 新课讲解——角平分线的性质定理的逆命题 已知：如图。在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE， 求证：点P在∠AOB的角平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知） 　　　∴∠PDO=∠PEO=90°． 　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中 　　　OP=OP（公共边）， PD=PE（已知） 　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)． 　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． ∴OC是∠AOB的平分线。 ∴得证：点P在∠AOB的角平分线上 新课讲解——角平分线的性质定理的逆命题 2 1 E D C P O B A 分析：要证明点p在∠AOB的平分线上，可以先做出过点p的射线oc，然后证明∠POD=∠POE 3.符号语言 1.文字语言 2.图形语言 新课讲解——角平分线的性质定理的逆定理 （判定定理） 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2 1 E D C P O B A 证明： ∵PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足（已知） ∴点P在∠AOB的角平分线上（在一个角部，且到角的两边距离相等的点在这条角的平分线上） 该定理是常用来证明 点在直线上（或直线经某点）的依据之一。 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 练 分析 利用角平分线的性质和含30度角的直角三角形的知识解题即可。 点评：本题考查了角平分线的性质．结合已知条件推知AD平分∠BAC是解题的关键． 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 练 解： ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=DF（已知） ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这角的平分线上-角平分线逆定理） 又∵在△ABC中，∠BAC=60°，AD = 10（已知） ∴∠DAE=30°， ∴DE=AD=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。） 分析 利用角平分线的性质和含30度角的直角三角形的知识解题即可。 点评：本题考查了角平分线的性质．结合已知条件推知AD平分∠BAC是解题的关键． 练 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB=FC 有的同学会利用△AED≌△AFD，得出ED=FD，再推出△BED≌△CFD，再得出EB=FC。 注意在两全等的直角三角形中证全等是HL，若果在其基础上加个直角相等的话，那么就成的SSA，这显然是不对的，若出现此情况，应及时纠正。 证明边相等： 不一定要证明其所在的两三角形全等，得出对应边相等。 可以利用角平分线的性质定理得“边相等”。 可以利用中垂线的性质定理。 练 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB=FC 证明： ∵AD 是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC（已知） ∴DE=DF（角平分线的性质定理） ∵BD=CD（已知） ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ∴得证：EB=FC。 新课讲解——尺规作图（角平分线） 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线。 作法： ①以O为圆心,适当的长为半径画弧于角两边相交于点M、N。 用尺规做角的平分线。 ②分别以两个交点为圆心,适当的长为半径画弧，两弧交于一点。 ③连接点O与交点，并延长。 O B A N M C ①因为半径固定，所以om等于on。 ②因为分别以m和n为圆心，适当的长为半径，两弧相交于点c，所以Mc等于nc。 同时OC=OC 故而，在这里我们得到▲MOC≌▲NOC，从而得到角mo c等于角c on。 原理： 练 如图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。 O B A C D 分析：使PC=PD，即作CD的中垂线，并且P到∠AOB两边的距离相等，即作角平分线，两线的交点就是点P的位置． 考点：本题主要考查了尺规作图的一般作法 点评：解答本题的关键是熟练掌握到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 小结 线 距离相等 角平分线上的点到这个角两边的距离相等． 性质定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 判定定理 (一)角平分线的性质&判定定理 (二)尺规作图——角平分线 作业 学到就是到， 继续“奥利给”。 See you $$