1.2直角三角形（1）课件2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第一章:三角形的证明 1.2直角三角形(1) 学习目标 1.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力。 2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法。 3.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立(知晓并非所有的定理都有逆命题. )。 如果三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。(即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。) 勾股定理在西方文献中又被称为毕达哥拉斯定理(Pythagoras theorem)。 勾股定理 a b c 勾 股 弦 中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小的为勾,另一个为股,斜边为弦,所以称之为勾股定理,也有叫做商高定理的。 复习导入 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法? 1.性质 ①在直角三角形中,两锐角互余。 ②勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ③在直角三角形中,如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ①有一个角等于90度的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。 ③如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 2.判定 勾股定理的证明方法有很多,例如,拼图计算、割补法、赵爽玄图、总统证法、折纸法、拼图计算……。 下面我们来详细了解一下其中的“总统证法” 之前学过数方格、割补图形等方法,得到了勾股定理,那么你会证明吗?? 复习导入 新课讲解——总统证法 此方法出自于美国第20任总统——伽菲尔德(J.A Garfield),他在1876年利用梯形面积公式。 总统证法 图中三个三角形面积的和为 梯形面积为 (相等)可得: 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,之后,人们为纪念他对勾股定理直观、简洁、通俗、明了的证明,便把这一方法称为“总统证法”。 a2+b2=c2 在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们:“你们在干什么?”只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不假思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。 已知:如图,在 ABC中,∠C=90 ,BC=a,AC=b,AB=c. 求证:a2+b2=c2 新课讲解——总统证法 证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=AB, 连接ED、AE(如图), 已知:如图,在 ABC中,∠C=90 ,BC=a,AC=b,AB=c. 求证:a2+b2=c2 新课讲解——总统证法 证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=AB, 连接ED、AE(如图),则 ABC≌ BED. ∴∠BDE=90 ,ED=a. ∴四边形ACDE是直角梯形. ∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)2. ∴∠ABE=180 一∠ABC一∠EBD=180 —90 =90 , 又∵ AB=BE. ∴S ABE=c2 又∵S梯形ACDE=S ABE+S ABC+S BED ∴ (a+b)2 = ab 2 + c2 整理:a2+b2=c2 ABC≌ BED(ASA) 新课讲解——勾股定理逆定理的证明 反之,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形吗?如果是,你能证明吗? 已知:如图,在三角形ABC中,AB2+AC2=BC2. 求证: ABC是直角三角形. 证明:作Rt DEF,使∠D=90 ,DE=AB,DF=AC(如图), 则DE2+DF2=EF2(勾股定理). ∵AB2+AC2=BC2,DE=AB,DF=AC ∴BC2= EF2,BC=EF(等式性质) ∴ ABC≌ DEF(SSS) ∴∠A=∠D=90 (全等三角形的对应角相等). 因此, ABC是直角三角形. 这个时候逐步涉及到了原命题和逆命题,要理清楚两者之间的关系。 有点像主语和宾语换了位置,但是谓语没有变动。 我爸打我≠我打我爸。 新课讲解——几何的三种语言 1.勾股定理的逆定理——文字语言 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. a b c A C B 在 ABC中, ∵BC2+AC2=AB2 ∴ ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形) 判定直角三角形依据之一 2.勾股定理的逆定理——符号语言 3.勾股定理的逆定理——图形语言 几何的基本语言形式有三;一是图形语言,二是文字语言,三是符号语言,这三种语言在几何中通常是并存的,有时又是相互渗透和转化。因此,掌握好这三种语言是学好平面几何的基础。 新课讲解——原、逆命题 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 观察上面俩命题,他们的条件与结论有怎样的关系?交流一下。 此外,在前面的学习中,还有过类似的命题吗? 反 勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件. 新课讲解——原、逆命题 如果小李得了肺炎,那么他一定会咳嗽; 如果小李咳嗽了,那么他一定得了肺炎。 如果两个角是对顶角,那么它们相等; 如果两个角相等,那么它们是对顶角。 两直线平行,内错角相等; 内错角相等,两直线平行。 请再察下列的命题 前述关系在这里成立吗? 新课讲解——原、逆命题 命题及其逆命题 在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题. Q:尝试写出命题“在三角形ABC中,若角C是直角,则a2+b2=c2。”的逆命题并分别判断其真假性。 原命题:真 逆命题:(在三角形ABC中,若a2+b2=c2,则角C是直角。) 真 想一想: 如果一个命题是真命题,它的逆命题是真还是假呢? 不一定 新课讲解——原、逆命题 命题及其逆命题 在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题. Q:尝试写出命题“在三角形ABC中,若角C是直角,则a2+b2=c2。”的逆命题并分别判断其真假性。 原命题:真 逆命题:(在三角形ABC中,若a2+b2=c2,则角C是直角。) 真 如果一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。 新课讲解——原、逆命题 新课讲解——原、逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理。(其中一个定理称为另一个定理的逆定理) 互逆命题的概念大于互逆定理。互逆定理是互逆命题,但互逆命题未必是互逆定理。 互逆定理 1、勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。 其逆定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。最长边所对的角为直角。 2、平行四边形的对角线互相平分。 其逆定理:如果一个四边形对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形。 3、角平分线上的点到角的两边的距离相等。 其逆定理:如果某一点到角的两边距离相等,那么这个点在角平分线上。 练 说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形; (2)两直线平行,同旁内角互补; (3)如果ab=0,那么a=0 b=0 如果a=0,b=0,那么ab=0. 原:真命题;逆:假命题。 多边形是四边形. 原:真命题;逆:假命题。 同旁内角互补,两直线平行. 原:真命题;逆:真命题。 一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC, ∠BAC=30 ,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC1,垂 足分别是B1、C1,那么BC的长是多少? B1C1呢? 解:在Rt ABC中,∠CAB=30 ,AB=10 cm, ∴BC=0.5AB=5 cm. ∵CBl⊥AB,∴∠B+∠BCBl=90 又∵∠A+∠B=90 ∴∠BCBl=∠A=30 在Rt ACBl中,BBl=0.5BC=2.5 cm. ∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm. ∴在Rt ABlC中,∠A=30 ∴B1C1=0.5ABl=3.75cm. 练——P18 小结 1.总统证法 2.勾股定理的逆定理——文字语言(w\t\f) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 3.互逆命题(原命题、逆命题 真假性判断) 4.互逆定理 作业 谢谢 在知识海洋遨游完的“我们”! $$