1.1 等腰三角形（4） 课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形(4) 想一想 (1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形? 有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：①这个角是底角；②这个角是顶角． (2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流． 等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 求证：三个角都相等的三角形是等边三角形． 练 已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． C B A 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC(等角对等边)． 又∵∠A=∠C， ∴BC=AB(等角对等边)． ∴AB=BC=CA， 即△ABC是等边三角形． 定理 性质 判定的条件 等腰三角形 (含等边三角形) 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质和判定： D ( 1 ) C B A ( 2 ) B C A D 用含30°角的两个直角三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗? 做一做 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． C B A D 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC= AB． 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD． ∵∠ACB=90°∴∠ACD=90° ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC= BD= AB． 练 等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高； 求：CD的长. C B A D 练 等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高； 求：CD的长. C B A D 解：∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°(三角形外角） ∴CD=AC=×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)． 一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗? 例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”． 但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立． 想一想 不一定≠一定不 命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它． 不一定≠一定不 概率：一定不（0）&不一定（0~1之间） 练 D C B A 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB． 求证：∠BAC=30° 练 D C B A 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB． 求证：∠BAC=30° 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC． ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC， ∴BC=BD． 又∵BC=AB， ∴AB=BD．∴AB=AD=BD， 即△ABD是等边三角形． ∴∠A=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°． A B C D E 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm， ∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ 练 解： ∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°， ∴　BC =AB，DE =AD．　 ∴　BC =3.7（m）．　 又　AD =AB， ∴　DE =AD =1.85（m） ． 　　答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．　　 中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。 有啥用？ 你猜中位线和它的平行线边在数量和位置上分别有啥关系？ 数量关系：a=几倍b 位置关系：平行，垂直…… 数量关系、位置关系知道了，那怎么证明呢？ 你看，D\E都是中点，关于中点能想到啥辅助线？→“倍长”。把DE延长至F点，使得DE=EF，再链接CF. 又因为E为AC中点 所以AE=EC。 所以▲ADE与▲CFE构成了个“八字形”全等，即▲ADE≌▲CFE（SAS） 有了全等，那那对应边相等AD=CF，对应角相等∠ADE=∠EFC 所以AD平行且等于CF(内错角相等，两直线平行) 【对边平行且相等 所以ADCF构成一个平行四边形（对角线相平分）】 从而也有DC∥FC，DBCF亦构成一个平行四边形 所以DF平行且等于BC，即2DE平行且等于BC。 补 三角形中位线 三角形中位线： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。 13 等边三角形性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 课时小结 课时小结 1、等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法． +底和腰相等 +有一个角是60° 等腰三角形 等边三角形 三个角相等 三角形 等边三角形 2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系. $$