1.1等腰三角形（3）课件2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形(3) 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2.我们是如何证明上述定理的？ 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 想一想 ①等腰三角形的两个底角相等。 ②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线重合。（三线合一） 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 通过证明三角形全等而得。 ①等腰三角形的两个底角相等。 ②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条线重合。（三线合一） 题设：等腰三角形 结论： ①两个底角相等。 ②顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高线三条线重合。 通过证明三角形全等而得到。 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 C B A 1.等腰三角形的定义? 2.等腰三角形的性质有哪些? 有两条边相等的三角形，叫等腰三角形. 既是性质 又是判定 ①等腰三角形是轴对称图形. ②等腰三角形的两个底角相等 （即“等边对等角”）. ③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合. （即“三线合一”） 等腰三角形的判定： Q1：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？ Q2：前面我们已经证明了，等腰三角形的两底角相等，反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 题设：一个三角形是等腰三角形结论：相等的两边所对应的角相等 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 题设：一个三角形是等腰三角形结论：相等的两边所对应的角相等 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 已知：在△ABC中，∠B=∠C， 求证：AB=AC． C B A 猜想证明 ：有两个角相等的三角形是等腰三角形 D 1 2 证明：若∠BAC的平分线AD， ∴∠1=∠2在🔺ABC和🔺CAD中， ∠1=∠2(已知）， ∠B=∠C(已知）， AD=AD(公共边） ∴🔺BAD≌🔺CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等） 有两个角相等的三角形 是等腰三角形 （即“等角对等边”） 应用格式：在🔺ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边） 分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形． 等腰三角形的判定方法： ①有两条边相等的三角形，叫等腰三角形。【定义法】 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。【等角对等边】 C B A C B A 辨 见下图，下列推理正确吗? 错×，因为都不是在一个三角形当中。 ①有两条边相等的三角形，叫等腰三角形。【定义法】 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。【等角对等边】 等角对等边是适用于在一个三角形当中的，而不是两个三角形。即使是将一个三角形分成的两个三角形。 练 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， AD∥BC且∠1=∠2． 求证：AB=AC． 证明： ∵AD//BC(已知) ∴∠1=∠B，∠2=∠C(平行线的性质) 又∵∠1=∠2(已知) ∴∠B=∠C(等式性质) ∴AB=AC(等角对等边) 练 想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等 C B A 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C，但已知条件是“∠B≠∠C”与“∠B=∠C”相矛盾。 因此AB≠AC。 反证法 在证明时,先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或以证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 用反证法证题的一般步骤： ①假设：先假设命题的结论不成立； ②归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法得出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果； ③结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 上面的证法有什么共同的特点呢? 在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法． 用反证法证明，在△ABC中不可能有两个直角 练 证明： 假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°， 可得∠A+∠B=180°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 但由三角形内角和定理知∠A+∠B+∠C=180° 而“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾， 因此△ABC中不可能有两个直角． 证明： 假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°， 可得∠A+∠B=180°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 但由三角形内角和定理知∠A+∠B+∠C=180° 而“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾， 因此△ABC中不可能有两个直角． 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，（1）图中一共有几个等腰三角形？ （2）∠1= ，∠2= （3）若AD=4cm,则BC= cm。 练 A B C D 2 1 72° 36° 3 4 1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长. 练 N M C B A D ∵BD平分∠CBA(已知) ∴∠MBD=∠CBD ∵MN∥BC(已知) ∴∠BDM=∠CBD， ∴∠MBD=∠BDM， ∴MD=MB 同理可证，ND=NC, ∴AM+MN+AN =AM+MD+ND+AN =AM+MB+NC+AN =AB+AC =30 解： 分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口． 畅谈本节收获： 等腰三角形的判定 等角对等边 反证法 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 先假设结论不成立，而后推导与已知定理相矛盾的结果，进而证明原命题成立。 有两条边相等的三角形，叫等腰三角形. Bye Bye~ $$