1.1等腰三角形（1）课件2023-2024学年北师大版八年级数学上册

第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形(1) 1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行; 2.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3.两点确定一条直线； 4. 两点之间线段最短； 5. 过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； 复习导入：一锤定音！ 8条基本事实: 同位角 6. ____________对应相等的两个三角形全等; （SAS） 7. ____________对应相等的两个三角形全等; （ASA） 8. _____对应相等的两个三角形全等; （SSS） 两边及其夹角 两角及其夹边 三边 记 基本事实属于我们数学的基本素养，影响我们的素养，即知道这些定理、事实，那么我们做题就会更快速；若不知道不意味着做不出题，可能是比较慢，知识点不紧凑。 Q：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理？ 盖房子 稳定性 中点 中位线 桥梁、房屋建筑等常有三角形的存在; 中位线，等腰三角形三线（顶角平分线；底边的高线、中位线）合一； 曾经探索过等腰三角形和直角三角形的一些性质，如等腰三角形“三线合一”的性质、勾股定理等。 所以 你们还记得获得这些结论的过程吗？ 能根据已有的几个事实和定理证明这些结论吗？ 本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，还将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。 反问一下自己，不太记得了的回去看看笔记。 定理：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等（AAS）。 ·全等三角形的判定和性质 Q：你能运用基本事实及已知定理证明上面的推论吗？ A角，S边 那么怎么去证明呢？ 用心想一想，马到功成 已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°） ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E) 又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知） ∴∠C=∠F（等量代换） 又∵BC=EF（已知） ∴△ABC≌△DEF（ASA） F E D C B A 养成习惯对应表明已知条件； 可直接用AAS来证明，这里是叫另一个角求出来。 定理：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等（AAS）。 根据全等三角形的定义，我们可得到: 全等三角形的对应边相等、对应角相等 Q：你还记得探索过的等腰三角形的性质吗？ 定理：等腰三角形的两个底角相等 （简述：等边对等角）。 你能来证明该定理吗？ 1.定义:两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成:等边对等角). 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简写成:三线合一). 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.； 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 折纸操作 D C B A D C B A D (C) B A 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足. 活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。 活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：取BC的中点D, 连接AD. 在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD（公共边） ∴ △ABD≌△ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） C B A D 一题多解 法①: 等腰三角形的性质 定理： 等腰三角形的两个底角相等（简述：等边对等角）。 等腰三角形的性质 证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD. 在△ABD和△ACD中 ∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） C B A D 一题多解 法②: 定理： 等腰三角形的两个底角相等（简述：等边对等角）。 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. 等腰三角形的性质 证明：在△ABC和△ACB中(将此三角形不一样表达) ∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB, ∴ △ABC≌△ACB (SAS) ∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 一题多解 点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。 法③: 定理： 等腰三角形的两个底角相等（简述：等边对等角）。 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. C B D A 想一想 C B A D 在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论? 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合. (三线合一) 推论可拆分为 以下三方面进行理解 1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边的中线，又是底边的高。 C B D 应用格式： ∵AB=AC ∠1=∠2（已知） ∴BD=CD AD⊥BC（等腰，三线合一） 1 2 2、等腰三角形的底边的中线，既是顶角的平分线，又是底边的高。 3、等腰三角形的底边的高，既是顶角的平分线，又是底边的中线。 应用格式： ∵AB=AC BD=CD（已知） ∴AD⊥BC ∠1=∠2（等腰，三线合一） 应用格式： ∵AB=AC AD⊥BC（已知） ∴BD=CD ∠1=∠2（等腰，三线合一） A 定理：等腰三角形的两个底角相等 （简述：等边对等角）。 C B D A 如图，在🔺ABC中 ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 推论：等腰三角形顶角的角平分线、底角上的中线与高线，三线互相融合（三线合一）。 得 练 1.等腰三角形的一个底角为75°，它的另外两个角为？ 2.等腰三角形的一个角为36°，它的另外两个角为？ 3.等腰三角形的一个角为120°，它的另外两个角为？ 75°，30° 36°为顶角：72°，72° 36°为底角：36°，108° 30°，30° 结论：在等腰三角形中，注意对角的分类讨论 ①顶角+2×底角=180° ②顶角=180°-2×底角 ③底角=（180-顶角）÷2 ④0°< 顶角 < 180° ⑤0°< 底角 < 90° 4. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD， （1）求证： △ABD是等腰三角形; （2）求∠BAD的度数. （1）证明： ∵AC⊥BD，AC=BC=CD ∴∠ACD=∠ABD=90° ∴🔺ACB≌▲ACD（SAS） ∴AB=AD ∴▲ABD是等腰三角形 （2）证明： ∵AC⊥BD，AC=BC=CD ∴🔺ACB和▲ACD都是等腰直角三角形 ∠B=∠D=45° ∴∠BAD=90° 例 直角三角形斜边中线定理：是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.定理：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等（AAS）。 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 3.定理：等腰三角形的两个底角相等 （简述：等边对等角）。 4.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合. (三线合一) 畅谈本节收获： Bye Bye~ $$