6.9　第1课时　对顶角课件2023-2024学年浙教版数学七年级上册

第6章　6.9　直线的相交 第1课时　对顶角 学习目标　1.了解相交线和对顶角的概念.2.理解对顶角相等.3.会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算. 掌握重点　对顶角的性质. 突破难点　利用有关余角、补角和对顶角的性质进行有关计算. 内容索引 新知学习 典例精析 课时作业 3 新知学习 4 如果两条直线只有 个公共点，就说这两条直线 .该公共点叫做这两条直线的 . 对顶角的顶点 ，角的两边互为 . 一 相交 知识点1　相交线和对顶角的概念 答案 交点 相同 反向延长线 5 自我检测 1.下列说法正确的是(　　) (1)两条直线相交只有一个交点；(2)两条直线不一定有公共点；(3)直线AB与直线BA是两条不同的直线. A.(1)(2) B.(1)(3) C.(1)(2)(3) D.(2)(3) A 答案 解析 解析　(1)两条直线相交，如果有2个或2个以上交点，则两直线重合，即为一条直线，故两条直线相交只有一个交点，正确； (2)当两直线平行时，没有公共点，故两条直线不一定有公共点，正确； (3)直线AB与直线BA是同一条直线，故此结论错误. 2.(2018·义乌)图中的∠1，∠2可以是对顶角的是(　　) C 解析　A.∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角， B.∠1与∠2只有一边互为反向延长线，不是对顶角， C.∠1与∠2是对顶角， D.∠1与∠2两边都不互为反向延长线，不是对顶角， 故选C. 答案 解析 对顶角的性质：对顶角 . 相等 知识点2　对顶角的性质 答案 9 自我检测 3.(2018·杭州)如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是(　　) A.120° B.90° C.60° D.30° A 答案 返回 解析　∵∠1＝120°， ∴∠2的度数是120°. 故选A. 解析 典例精析 11 例1　(教材补充例题) 像这样，20条直线相交，最多交点的个数有(　　) A.185 B.190 C.200 D.210 B 类型1　 直线条数与交点个数 答案 解析 解析　设直线有n条，交点有m个，有以下规律 直线n条　交点m个 2　　 　　 1 3 1＋2 4 1＋2＋3 … 故选B. 归纳总结　根据直线的条数与交点的个数写出关系式，是解题的关键，然后把20代入关系式进行计算即可得解. 例2　(教材例2变式训练)如图：已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°， (1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数. 解　∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE ＝180°－36°－90°＝54°. 类型2　 有关对顶角的计算 解 (2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数. 解　∵∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°， 解 ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠AOC＝30°， ∴∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°. 归纳总结　在相交直线中，利用对顶角进行角的转换是常用的方法，这体现了转化的数学思想. 小结与反思 小结 下列四个说法： ①如果两个角是对顶角，则这两个角相等. ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角. ③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等. ④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角. 其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 反思 解析 答案 B 解析　①符合对顶角的性质，故正确； ②在不同的图形中可能存在相等的角，但不是对顶角，故不正确； ③如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，故不正确； ④因为对顶角相等，故不相等的两个角一定不是对顶角，故正确. 故选B. 返回 课时作业 21 1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是(　　) B 基础达标 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2.如果点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，且直线a，b，c两两相交符合以上条件的图形是(　　) D 答案 解析 解析　A.不符合直线a，b，c两两相交； B.不符合点P在直线a上； C.不符合点P不在直线c上； D.符合条件. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝120°，则∠AOD等于(　　) A.120° B.130° C.140° D.150° A 解析　∵∠1＋∠2＝120°，且∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝60°， ∴∠AOD＝180°－∠1＝120°. 故选A. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.如图，直线AB，CD相交于O，∠COE是直角，∠1＝57°，则∠2等于(　　) A.57° B.60° C.30° D.33° D 解析　由题意得∠2＝180°－∠COE－∠1＝180°－90°－57°＝33°. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 答案 18 19 20 21 5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝80°，则∠AOE的度数是(　　) A.40° B.50° C.80° D.100° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 19 20 21 解析　∵∠BOC和∠AOD是对顶角， ∴∠AOD＝∠BOC＝80°， 又∵OE平分∠AOD， 6.如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2.若∠AOE＝140°，则∠AOC 的度数为(　　) A.40° B.60° C.80° D.100° C 解析　∵∠AOE＋∠BOE＝180°，∠AOE＝140°， ∴∠2＝40°， ∵∠1＝∠2， ∴∠BOD＝2∠2＝80°， ∴∠AOC＝∠BOD＝80°. 故选C. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.(2018·孝感)如图所示，直线AB，CD，EF相交于O，则∠1＋∠2＋∠3等于(　　) A.90° B.120° C.180° D.140° C 解析　如图，∠4＝∠3， ∵∠2＋∠1＋∠4＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°. 故选C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.如图所示，AB，CD交于点O，∠BOE＝90°，则∠1与∠2一定满足的关系是(　　) A.对顶角 B.相等 C.互补 D.互余 D 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.(2018·北京)妫川宝塔位于延庆区夏都东湖公园，红墙碧瓦，飞檐翘拱，雕梁画栋，显现了我国古代建筑风格超凡脱俗的光彩，异常雄奇壮观而绚丽华贵.塔内每一层都有壁画，这些壁画具体生动地描绘了妫川大地从古至今动人的历史故事和神话传说，展示了妫川儿女的勤劳与智慧.为了测量塔外墙底部的底角∠AOB的度数，小明同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数.这个测量方案的依据是____________. 对顶角相等 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10.如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大______度. 15 解析　因为∠AOB与∠COD是对顶角，∠AOB与∠COD始终相等，所以随∠AOB变化，∠COD也发生同样变化. 故当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD也增大15°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11.如图，直线a，b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝________°. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 75 解析　∵∠2＝135°－60°＝75°. ∴∠1＝∠2＝75°. 解析 12.如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝95°，∠2＝53°，则∠BOE的度数为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 32° 解析　∵∠BOE与∠AOF是对顶角， ∴∠BOE＝∠AOF， ∵∠1＝95°，∠2＝53°，∠COD是平角， ∴∠AOF＝180°－∠1－∠2 ＝180°－95°－53°＝32°， 即∠BOE＝32°. 解析 13.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射.在图中，AB与直线CD相交于水平面于水平点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水内.如果∠1＝42°，∠2＝29°，那么光的传播方向改变了________度. 13 解析　∵∠1＝42°， ∴∠DFB＝∠1＝42°， ∵∠2＝29°， ∴∠DFE＝42°－29°＝13°. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.如图，AB，CD，EF相交于O. (1)写出∠DOF，∠DOA的对顶角. 解　∠DOF的对顶角是∠COE， ∠DOA的对顶角是∠BOC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 (2)若∠BOD＝60°，求∠AOC，∠AOD的度数. 解　∵∠AOC和∠BOD互为对顶角， ∴∠AOC＝∠BOD＝60°， 又∵∠AOD与∠BOD互补， ∴∠AOD＝180°－60°＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 15.如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝25°，求∠BOE的度数. 解　∵∠AOC＝25°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－25°＝155°， ∵OE是∠AOD的平分线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 ∵AB，CD相交于点O， ∴∠DOB＝∠AOC＝25°， ∴∠BOE＝∠DOB＋∠DOE＝77.5°＋25°＝102.5°. 16.a，b，c是平面上任意三条直线，交点可以有(　　) A.1个或2个或3个 B.0个或1个或2个或3个 C.1个或2个 D.都不对 B 解析　三条直线两两平行，没有交点； 三条直线交于一点，有一个交点； 两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； 三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 答案 解析 18 19 20 21 能力提升 17.如图，直线AB，CD，EG相交于点O，OE⊥OF，OD平分∠AOE，下列结论： ①∠BOE的余角是∠AOE，补角是∠BOF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 ③∠BOE＝2∠COF； ④∠BOG＝2∠AOD. 其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 解析　∵直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF， ∴∠BOE的补角是∠AOE，余角是∠BOF，故①错误； ∵OD平分∠AOE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ∵∠EOD＝∠AOD＝90°－∠COF， ∴∠BOE＝180°－2(90°－∠COF)＝2∠COF，故③正确； ∵∠AOE＝∠BOG，∠AOE＝2∠AOD， ∴∠BOG＝2∠AOD，故④正确. 故选C. 18.(2018·绍兴)如图，AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，下列结论： ①∠AOC与∠COE互为余角； ②∠BOD与∠COE互为余角； ③∠AOC＝∠BOD； ④∠COE与∠DOE互为补角； ⑤∠AOC与∠DOE互为补角； ⑥∠AOC＝∠COE. 其中错误的是________(填序号). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 解析 ⑤⑥ 解析　∵AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°， ∴①∠AOC与∠COE互为余角，正确； ②∠BOD与∠COE互为余角，正确； ③∵∠AOC与∠BOD是对顶角， ∠AOC＝∠BOD，正确； ④∠COE与∠DOE互为补角，正确； ⑤∠AOC与∠DOE不是互为补角，错误； ⑥∠AOC＝∠BOD≠∠COE，错误. 故答案为⑤⑥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC，并将边AC延长至点P，第二步将另一块三角板CDE的直角顶点与三角板ABC的直角顶点C重合，摆放成如图所示，延长DC至点F，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角. (1)若∠ACF＝30°，则∠PCD＝________，理由是 ________________. 解　30°　对顶角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 (2)若重叠所成的∠BCE＝n°(0<n<90)，试说明∠ACD的度数. 解　由角的和差， ∠ACD＋∠BCE＝∠ACB＋∠BCD＋∠BCE ＝∠ACB＋∠DCE＝180°， ∴∠ACD＝180°－∠BCE＝180°－n°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 20.如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠COE的补角. 解　∠COE的补角为∠COF和∠EOD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 (2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角. 解　∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF. (3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数. 解　∵∠BOF＝90°， ∴AB⊥EF， ∴∠AOF＝90°， 又∵∠AOC＝∠BOD＝60°， ∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝90°＋60°＝150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 18 19 20 21 21.观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角)： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 素养提升 解 (1)如图①，图中共有________对对顶角. (2)如图②，图中共有________对对顶角. 解　如图①，图中共有2对对顶角， 故答案为2. 故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解 (3)如图③，图中共有________对对顶角. 解　如图③，图中共有12对对顶角. 故答案为12. (4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？ (5)若有2 000条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？ 解 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解　2×(2－1)＝2,3×(3－1)＝6,4×(4－1)＝12， 所以若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶角. 解　2 000×(2 000－1)＝3 998 000， 若有2 000条直线相交于一点，则可形成3 998 000对对顶角. 本课结束 n m＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝， 20条直线相交有＝190个交点. ∴∠BOD＝×180°＝30°， ∴∠AOE＝∠AOD＝40°.故选A. ∴∠DOE＝∠AOD＝77.5°， ②∠AOD＝∠DOE＝∠AOE； ∴∠AOD＝∠DOE＝∠AOE，故②正确； $$