2024年重庆市中考模拟测试数学试卷（三）

2024年重庆市中考模拟测试数学试卷（三） (全卷三个大题，满分：150分　考试时间：120分钟) 姓名________　　班级________　　分数________ 一、选择题(本大题10个小题，每小题4分，共40分) 1．2 024的倒数是( ) A．2 024 B．－2 024 C．－ D. 2．已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为( ) A．3 B．5 C．15 D．45 3．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2，则k的值是( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 4．观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法中正确的是( ) A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形 5．如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB的度数为( ) A．70° B．65° C．60° D．50° 6．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点……按此规律排列下去，第⑩个图形中实心圆点的个数为( ) 　　… A．27 B．32 C．39 D．42 7．估计的值应在( ) A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间 8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若OE＝2，则⊙O的半径为( ) A. B. C. D. 9．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β的值为( ) A．45°＋α B．45°＋α C．90°－α D．90°－α 10．有自左向右依次排列的三个整式：a，a－3，－3，将任意相邻的两个整式相加，所得之和在两个整式中间，可以产生一个整式串：a，2a－3，a－3，a－6，－3，这称为第1次“加法操作”；将第1次“加法操作”后的整式串按上述方法再做一次“加法操作”，可以得到第2次“加法操作”后的整式串……以此类推．有下列说法： ①当3＜a＜6时，第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的积为负数； ②第n次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为a－3－3n； ③第4次“加法操作”后，整式串中所有整式之和为121a－363. 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题(本大题8个小题，每小题4分，共32分) 11．计算：|－3|＋2－1－cos 60°＝ . 12．如图，正五边形ABCDE的对角线BD，CE相交于点F，则∠CFD的度数为 . 13．现有4张背面完全相同的卡片，正面分别印有“碳”“硫”“钾”“钙”，将四张卡片洗匀后背面朝上放置，随机从中抽取两张，则抽到的两张卡片正面分别是“碳”和“钾”的概率为 . 14．如图，某小区计划在一块长为40 m，宽为26 m的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)，其余部分种花草．若要使种花草的面积达到800 m2，则甬路宽为多少米？设甬路宽为x m，则根据题意，可列方程为 . 15．如图，已知B(2，0)，C(0，1)，AC⊥BC，且AC＝BC，则点A的坐标是 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝ cm，AD＝2 cm，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 cm2. 17．若整数m既能使关于x的不等式组 有解，也能使关于y的分式方程＋＝2有整数解，则整数m的值为 . 18．一个四位正整数N，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数N叫“间倍数”，例如4 621满足4÷2＝2，6÷1＝6，则4 621是“间倍数”．最小的“间倍数”是 ；已知“间倍数”N＝(na)(nb)ab(1≤n，a，b≤9，且n，a，b均为整数)，若无论两位数ab是什么数，“间倍数”N都能被3整除，当|a－b|＝1时，符合题意的最大“间倍数”N为 . 三、解答题(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分) 19．计算： (1)(m＋2n)(m－2n)－m(m－3n); 　　. (2)÷ 20．如图，已知正方形ABCD，E为AD边上一点，连接BE. (1)用尺规完成以下基本作图：(要求：不写作法，保留作图痕迹) ①在AB边上截取线段BF，使BF＝AE，连接CF，与BE交于点G； ②过点A作BE的垂线，垂足为H； (2)在(1)所作图形中，求证：BF∶FA＝BG∶GH，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°. 由(1)知BF＝AE， ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴ . ∵∠1＋∠2＝∠CBF＝90°， ∴∠BCF＋∠2＝90°. ∵∠FGB是△BGC的一个外角， ∴ . 由(1)知AH⊥BE， ∴∠AHB＝∠FGB＝90°， ∴ ， ∴BF∶FA＝BG∶GH. 21．为了激励新时代青年奋发有为、激扬青春，学校团委举行了以“奋进新时代，开启新征程”为主题的征文比赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩(百分制)进行分析(单位：分，成绩得分用x表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀)，将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100.下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的比赛成绩分别是96，84，90，83，87，85，90，96，100，99，98，99，92，93，94，92，89，96，91，86； 八年级被抽取的20名学生的比赛成绩在C等级中的数据分别是90，91，92，92，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 92 a 35% 八年级 92 b 98 c% 根据以上信息，解答下列问题： (1)请填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　； (2)根据以上数据，这次征文比赛中该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由(一条即可)； (3)若该校七年级有1 000人、八年级有1 200人参加了这次征文比赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共有多少人． 22．A，B两地之间国道的长度为180 km. (1)甲、乙两人均要从A地前往B地．乙乘公交车先走了20 km，甲才开车从A地出发，甲出发40 min后刚好追上乙．已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的1.5倍，求乙所乘公交车的速度； (2)高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了40 km，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了35 km/h，从A地到B地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度． 23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，动点M，N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x s，点M，N的距离为y. (1)请直接写出y关于x的函数解析式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点M，N相距超过3个单位长度时x的取值范围． 24．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形ABCD，经测量，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西60°，点A在点B的正西方向，点D在点A的北偏东45°，AB＝700 m，CD＝200 m. (1)求点D到BC的距离； (2)点C处有直饮水，小红从点A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点C，也可以经过点D到达点C，请计算说明她走哪一条路较近．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 25．如图①，抛物线y＝ax2＋3x＋c交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)P为抛物线第一象限上的一动点，连接BC，过点P作PH⊥BC于点H，求PH的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线y＝ax2＋3x＋c沿射线CB方向平移个单位长度，得到新的抛物线y1，如图②，点N为新抛物线y1对称轴上一点，M是原抛物线上一点，是否存在△PMN是以PM为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 26．在△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，BD平分∠ABC，将线段DC绕点D逆时针旋转得线段DE. (1)如图①，点E在线段BC上时，若∠BAC＝90°，AD＝2，DE＝3，求AB的长： (2)如图②，若点E与点B重合，点G，F分别为线段AB，BC上的点，点M，H分别为GD，BC的中点，点N在DF的延长线上，且DN＝BG，∠BDN＝3∠ABD，求证：BN＝2MH； (3)如图③，若射线DE过BC中点H，BC＝6，tan∠ACB＝，∠ABC＜2∠ACB，将△BHD沿DE翻折到同一平面内得到△B′HD，过B′作B′K垂直于直线AC，交直线AC于点K，当DC与B′K的乘积最大时，请直接写出BE2的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$答案： 1．(D) 2．(D) 3．(A) 4．(C) 5．(A) 6．(B) 7．(A) 8．(A) 9．(D) 10．(B) 11．＝3. 12．108°. 13．. 14．(40－2x)(26－x)＝800. 15．(－1，－1)． 16．cm2. 17．－1. 18．2 613；9 612. 19． (1)　.解：原式＝m2－4n2－m2＋3mn ＝－4n2＋3mn. (2)解：原式＝· ＝· ＝. 20． 证明：∵ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°. 由(1)知BF＝AE， ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴∠1＝∠BCF. ∵∠1＋∠2＝∠CBF＝90°， ∴∠BCF＋∠2＝90°. ∵∠FGB是△BGC的一个外角， ∴∠FGB＝∠2＋∠BCF＝90°. 由(1)知AH⊥BE， ∴∠AHB＝∠FGB＝90°， ∴FG∥AH， ∴BF∶FA＝BG∶GH. 解：(1)如图所示． 21． 解：(1)96，92.5，40. (2)八年级学生的成绩更好，理由：因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数、众数和优秀率均高于七年级，所以八年级学生的成绩更好． (3)1 000×35%＋1 200×40%＝830(名)． 答：估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的大约共有830人． 22． 解：(1)设乙所乘公交车的速度为x km/h，则甲开车的速度为1.5x km/h，根据题意得1.5x×＝20＋x，解得x＝60， 答：乙所乘公交车的速度为60 km/h. (2)设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为y km/h，则该长途汽车在高速公路上行驶的速度为(x＋35)km/h，根据题意得 ＝×，解得x＝63， 经检验，x＝63是原方程的解，且符合题意， 答：该长途汽车在原来国道上行驶的速度为63 km/h. 23． 解：(1)∵菱形ABCD，AB＝4，∠A＝60°， ∴AD＋DC＝AB＋BC＝8，∠A＝∠C＝60°， ∴总的运动时间为8÷1＝8 s， 当点M在AD，点N在AB上运动，即0＜x≤4时，连接MN，如答图①. 由题意得AM＝AN，∠A＝60°， ∴△AMN是等边三角形，∴y＝x. 当点M在CD，点N在CB上运动，即4＜x≤8时，如答图②，△CMN是等边三角形，∴CM＝8－x，∴y＝8－x； 综上所述，y＝ (2)对于y＝x，当x＝4时，y＝4， 对于y＝8－x，当x＝8时，y＝0， 函数图象如图． 性质：当0＜x≤4时，y随x的增大而增大．(答案不唯一) (3)当0＜x≤4时，y＝3即x＝3； 当4＜x≤8时，y＝3即8－x＝3，解得x＝5， ∴由图象得：点M，N相距超过3个单位长度时，3＜x＜5. 24． 解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， 在Rt△DEC中，∠DCE＝60°， ∴DE＝CD·sin 60°＝200×＝300 (m)， ∴点D到BC的距离为300 m. (2)小红从点A出发沿人行步道去取水，经过点D到达点C这条路较近，理由：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得 DE＝BF＝300 m，DF＝BE， ∵AB＝700 m，∴AF＝AB－BF＝400 m， 在Rt△ADF中，DF＝AF·tan 45°＝400 m， AD＝＝400m，∴BE＝DF＝400 m， 在Rt△CDE中，CE＝CD·cos 60°＝100 m， ∴BC＝BE－CE＝(400－100)m， ∴AB＋BC＝1 100－100≈926.8(m)， AD＋DC＝400＋200≈912(m)， ∵926.8 m＞912 m， ∴小红从点A出发沿人行步道去取水，经过点D到达点C这条路较近． 25． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－4)(x＋1)＝a(x2－3x－4)， 则－3a＝3，∴a＝－1，故抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. (2)过点P作PT∥y轴交BC于点T， 由点B，C的坐标知，∠OCB＝45°＝∠HTP，则PH＝PT， 由点B，C的坐标得，直线BC的解析式为y＝－x＋4， 则PT＝－x2＋3x＋4＋x－4＝－x2＋4x， ∵－1＜0，故PT有最大值为4，即PH有最大值2，此时点P(2，6)． (3)将抛物线y＝ax2＋3x＋c沿射线CB方向平移个单位长度，得到新的抛物线y1，则抛物线向右向下均平移了个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y1＝－＋3＋4－＝－(x－6)2＋， 设点N(6，n)，点P(2，6)，当∠MPN为直角时，则PM＝PN，如图②， 过点P作GH∥y轴交“过点N、和x轴平行的线”于点G，交“过点M、和x轴平行的线”于点H，连接PM. ∵∠HPM＋∠GPN＝90°，∠HPM＋∠PMH＝90°， ∴∠GPN＝∠PMH， ∵∠PHM＝∠NGP＝90°，PM＝PN， ∴△PHM≌△NGP(AAS)， ∴GN＝PH＝6－2＝4，HM＝GP＝n－6，则点M的坐标为(n－4，2)， 将点M的坐标代入y＝－x2＋3x＋4，得2＝－(n－4)2＋3(n－4)＋4， 解得n＝，或n＝(舍去)， 即点N的坐标为； 当∠PMN为直角时，设点M(x，y)，y＝－x2＋3x＋4， 同理可得HM＝PG，HN＝GM， 即6－x＝6－y且n－y＝x－2，而y＝－x2＋3x＋4，解得x＝y＝1＋， 则n＝2，即点N的坐标为(6，2)， 综上所述，点N的坐标为(6，2)或. 26． (1)解：过D作DD′⊥BC于D′，如图①. ∵BD平分∠ABC，DD′⊥BC，∠BAC＝90°， ∴DD′＝AD＝2， ∵将线段DC绕点D逆时针旋转得线段DE， ∴CD＝DE＝3， 在Rt△CDD′中，CD′＝＝， ∵∠BAC＝90°＝∠DD′C，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△D′DC，∴＝，即＝，∴AB＝2. (2)证明：取BD的中点O，连接OM，OH，如图②. ∵点M，H分别为GD，BC的中点， ∴OM，OH分别是△BGD，△BCD的中位线， ∴OM＝BG，OM∥BG，OH＝CD，OH∥CD， ∵BG＝DN，CD＝DE＝DB， ∴OM＝DN，OH＝DB， ∴＝＝， ∵OM∥BG，OH∥CD， ∴∠MOD＝∠ABD，∠OHB＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠C＝∠OHB， ∴∠MOH＝∠MOD＋∠DOH＝∠ABD＋(∠DBC＋∠OHB) ＝3∠ABD， ∵∠BDN＝3∠ABD，∴∠BDN＝∠MOH，∴△MOH∽△NDB， ∴＝＝，∴BN＝2MH. (3)解：连接BB′，设DE交BB′于Q，连接B′C，过D作DD′⊥BC于D′，如图③. ∵将△BHD沿DE翻折到同一平面内得到△B′HD， ∴∠BQD＝∠B′QD＝90°，B′H＝BH＝CH， ∴∠HBB′＝∠HB′B，∠HB′C＝∠HCB′， ∵∠HBB′＋∠HB′B＋∠HB′C＋∠HCB′＝180°， ∴2∠HB′B＋2∠HB′C＝180°， ∴∠HB′B＋∠HB′C＝90°，即∠BB′C＝90°， ∴DQ∥B′C，∴S△B′DC＝S△B′HC， 而S△B′HC＝CH·B′H·sin∠B′HC ＝×××sin∠B′HC＝sin∠B′HC， ∴S△B′DC＝sin∠B′HC，∴DC·B′K＝sin∠B′HC， 当DC与B′K的乘积最大时，∠B′HC＝90°，即B′H⊥CH， 此时∠HB′C＝∠HCB′＝45°，∴∠BHQ＝45°＝∠DHD′， ∴△CHB′，△BHQ，△DD′H是等腰直角三角形， 设DD′＝x，则HD′＝x， ∵tan∠ACB＝，∴CD′＝2x， ∴CH＝CD′＋HD′＝3x＝B′H＝BH， ∵BC＝6，∴3x＝3，解得x＝1， ∴DD′＝HD′＝1，CD′＝2， ∴CD＝＝＝DE，DH＝DD′＝， ∴HE＝DE－DH＝－， 又BQ＝HQ＝BH＝， ∴QE＝HQ－HE＝－， ∴BE2＝BQ2＋QE2＝22－5. 学科网（北京）股份有限公司 $$