2.8对数函数专项训练-2025届高三数学一轮复习

第2章 函数的概念与性质 第八节 对数函数 1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( ) A.log2x B. C.lox D.2x-2 2.函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是( ) A. B. C. D. 3.已知函数f(x)=|lg x|,若a=f,b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>a>b 4.函数f(x)=log2 log4(4x2)的最小值为( ) A.- B.-2 C.- D.0 5.(多选)函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>1 B.0<c<1 C.0<a<1 D.c>1 6.(多选)已知函数f(x)=log2(1-|x|),则关于函数f(x)有下列说法,其中正确的为( ) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的最大值为0 D.f(x)在区间(-1,1)上单调递增 7.若函数y=4+loga(2x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标为 . 8.写出一个具有性质①②③的函数f(x)= . ①f(x)的定义域为(0,+∞);②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);③当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减. 9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=lg(3x+1)-1,则不等式f(x)>0的解集为 . 10.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)在区间[0,]上的最大值. 11.若函数f(x)=loga(x2+x)(a>0,且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.(,+∞) 12.(多选)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上的最大值为0 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 13.已知f(x)=的值域为R, 那么实数a的取值范围是 . 14.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (2)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围. 15.已知函数f(x)=log2(+a). (1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值; (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围. 参考答案与解析 1.D 存在量词命题的否定是全称量词命题,原命题的否定形式为“∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”.故选D. 2.B 对于A,∀x∈R,x2+2x+1=(x+1)2≥0,故A错误;对于B,含有全称量词“任意”,是全称量词命题且是真命题,故B正确;对于C,当x=-1时,2x=-2,为偶数,但x∉N,故C错误;对于D, 是无理数不是全称量词命题,故D错误.故选B. 3.A 若m=-3,则a=(9,-9)=9b,所以a∥b;若a∥b,则m2 (-1)-(-9) 1=0,解得m= 3,得不出m=-3.所以“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A. 4.B 方程x2-4x+4a=0有实根,故 =16-16a≥0,∴a∈(-∞,1],函数f(x)=(2-a)x为增函数,故2-a>1,∴a∈(-∞,1).∵(-∞,1)⫋(-∞,1],∴p是q的必要不充分条件,故选B. 5.C 法一 因为xy≠0,且+=-2 x2+y2=-2xy x2+y2+2xy=0 (x+y)2=0 x+y=0.所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 法二 充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以+=+=-1-1=-2. 必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0.所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 6.AB 由≥1得0<x≤2,依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集,故选A、B. 7.AD A、B选项,p的否定是“∀x∈R,x2-2x+a+6≠0”,q的否定是“∃x∈R,x2+mx+1≤0”,所以A正确,B不正确;C选项,若p为假命题,则p的否定“∀x∈R,x2-2x+a+6≠0”是真命题,即方程x2-2x+a+6=0在实数范围内无解, =4-4(a+6)<0,得a>-5,C不正确;D选项,q为真命题,则 =m2-4<0,解得-2<m<2,D正确.故选A、D. 8.假 解析:若直线l与平面 内的所有直线都不平行,则直线l与平面 相交,所以直线l与平面 不平行,所以命题p为真命题,所以 p为假命题. 9.-1(答案不唯一) 解析:由于当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-1时等号成立,所以x取负数,即可满足题意.例如x=-1时,x+=-2. 10.(-∞,-2] 解析:由命题p为真,得a≤0;由命题q为真,得 =4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1,所以a≤-2. 11.D ∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,都有n>x2”. 12.C 选项A:“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件;选项B:“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;选项C:“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;选项D:“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 13.ABD 对于A选项,若xc2>yc2 ,则c2≠0,则x>y,反之x>y,当c=0时得不出xc2>yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A正确;对于B选项,由<<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出<<0(因为x,y的正负不确定),所以“<<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B正确;对于C选项,由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C错误;对于D选项,若ln x>ln y,则x>y,反之x>y得不出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件,故D正确. 14. (,+∞) 解析:若A是B的充要条件,则A=B,即x=2是方程bx=1的解,故b=;若A是B的充分不必要条件,则A⫋B,易知b>0,则B={x|x>},故<2,即b>,故b的取值范围是(,+∞). 15.(-∞,0) 解析:由题意知,当x∈[1,4]时,f(x)min=f(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m, 则f(x)min>g(x)max,即2>2+m,解得m<0,故实数m的取值范围是(-∞,0). 1.A 由题意得,f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f(2)=1,所以loga2=1.所以a=2,所以f(x)=log2x. 2.C 函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域满足即. 3.C ∵a==|-lg 4|=lg 4,b==|-lg 2|=lg 2,c=|lg 3|=lg 3,且f(x)=lg x在(0,+∞)上是增函数,∴lg 4>lg 3>lg 2,即a>c>b.故选C. 4.A 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),所以f(x)=(-2+log2x)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=-≥-.当x=时,函数取得最小值.故选A. 5.BC 由图象可知0<a<1,令y=0得loga(x+c)=0,x+c=1,x=1-c,由图象知0<1-c<1,∴0<c<1. 6.BC 函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,由f(-x)=log2(1-|-x|)=log2(1-|x|)=f(x),得f(x)=log2(1-|x|)为偶函数,所以A错误,B正确;根据f(x)的图象(图略)可知D错误;因为1-|x|≤1,所以f(x)≤log21=0,故C正确. 7.(1,4) 解析:令2x-1=1,可得x=1,当x=1时,y=4,所以函数图象恒过点(1,4). 8.lox(答案不唯一) 解析:由①②知,对数函数形式的函数满足要求,又由③知,f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,故f(x)可以为lox. 9.(-∞,-3)∪(3,+∞) 解析:当x≥0时,由f(x)=lg(3x+1)-1>0,得x>3. 又因为函数f(x)为偶函数,所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪(3,+∞). 10.解:(1)∵f(1)=2,∴loga4=2.又a>0,且a≠1,∴a=2. 由得-1<x<3, ∴函数f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x) (3-x)]=log2[-(x-1)2+4], ∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增; 当x∈(1,]时,f(x)单调递减,故函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=log24=2. 11.A 令M=x2+x,当x∈(,+∞)时,M∈(1,+∞),恒有f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数,又M=(x+)2-,所以M的单调递增区间为(-,+∞).又x2+x>0,所以x>0或x<-,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 12.BC f(x)=ln x+ln(2-x),定义域为(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x),令t=-x2+2x,y=ln t,∵t=-x2+2x,x∈(0,2)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故A不正确;f(x)max=f(1)=0,故B正确;∵f(1+x)=ln(1+x)+ln(1-x),f(1-x)=ln(1-x)+ln(1+x),∴f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,D不正确. 13.[-,) 解析:要使函数f(x)的值域为R,则必须满足即所以-≤a<. 14.解:(1)f(x)是奇函数,证明如下: 因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x), 所以 解得-1<x<1,f(x)的定义域为(-1,1). f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(1+x)-loga(-x+1)]=-f(x), 故f(x)是奇函数. (2)因为当a>1时,y=loga(x+1)是增函数, y=loga(1-x)是减函数, 所以当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数, f(x)>0即loga(x+1)-loga(1-x)>0, loga>0,>1,>0, 2x(1-x)>0,解得0<x<1, 故使f(x)>0的x的取值范围为(0,1). 15.解:(1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0, ∴log2(1+a)=0,∴a=0. 当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数. ∴a=0. (2)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a), 最小值是f(1)=log2(+a). 由题设得log2(1+a)-log2(+a)≥2, 则log2(1+a)≥log2(4a+2). ∴解得-<a≤-. 故实数a的取值范围是(-,-]. 学科网(北京)股份有限公司 $$