精品解析：湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学试题

2025届新高三联合教学质量检测 高三数学 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，求（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量满足且，则 B. 已知随机变量～，若，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 5. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为4 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，且，则______. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是______. 14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，，点满足，点在线段上移动（包含端点）． （1）若，求实数的值； （2）求的取值范围． 16. 在中，为角对应的边，为的面积.且. （1）求； （2）若，求内切圆半径的最大值. 17. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）曲线在处的切线方程为，证明：． 18. 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验． （1）若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届新高三联合教学质量检测 高三数学 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助充分条件与必要条件定义，分别假设成立或成立去推导另一个是否成立即可得. 【详解】当时，， 当时，即，即， 则有或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数导数，令即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：A 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量满足且，则 B. 已知随机变量～，若，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】对于A：因为且，所以，故A正确； 对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确； 对于C：若事件、相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、， 因为，所以组数据的相关性更强，故D错误. 故选：D 5. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称法求解. 【详解】解：因为，且，， 所以， 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果； 【详解】∵ ， ∴， ∴， 故选：A． 7. 将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求解. 【详解】令原函数为，即，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为， 令函数图象在处的切线倾斜角为，则， 曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同， 而曲线始终为函数图象，因此，而， 则， 所以的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的定义，并转化为原点处的切线的旋转问题. 8. 阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，， ，， 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，由周期得，进而代入验证即可求解AB，利用整体法即可求解CD. 【详解】，由于最小正周期为，故，故， 对于A, ,故的图像关于点对称，A错误， 对于B，，的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，当时，，故在上单调递增，C正确， 对于D，时，，故，故，D正确， 故选：BCD 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出判断A；利用数乘向量结果求出，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，，则，解得， 则，，假设存在实数使得，则，方程无解， 则不存在，使，即，不共线，A错误； 对于B，，则，解得，即，， ，则与同向的单位向量为，B正确； 对于C，当时，，又与的夹角为锐角， 则，解得，且，即，C正确； 对于D，由，得，即， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于，由的单调性即可求解值域；对于，计算，即可计算；对于，变形，由，的范围即可证. 【详解】的定义域为， 在定义域上恒成立， 所以的单调递增区间为，，故错误； 当趋近于0时，趋于， 当趋近于1，且在1的左侧时，趋于， 所以的值域为，故正确； ， 所以， 又， 所以，故错误； ， 因为，所以，又， 所以，即，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：函数的单调区间不能用并集符号，要用“和”或“，”连接. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，且，则______. 【答案】或3 【解析】 【分析】先求出，再利用复数模的公式列出a的方程，求解即得. 【详解】复数， 可得，则 整理得，，即 因为，所以且， 又因，故，解得，或. 故答案为：或3. 【点睛】思路点睛：在根据题意推得方程后，要根据条件,将看成整体，对右式进行相应分解，才能顺利求得值. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值. 【详解】如图： 过作于. 因为，所以. 设，则 设，则 若，则；若，则； 当时， （当且仅当即时取“”）. 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有： （1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值； （2）利用基本不等式，求最值； （3）利用三角函数的有界性求最值； （4）判断函数的单调性，求最值. 14. 已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】换元构造新函数，再利用导数求得函数单调性与最值，从而求得的最值. 【详解】令，则，所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得最小值， 故当，即时，函数的最小值恰好为0， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解参数范围问题.关键点是通过换元，将转化为，并利用导数研究的单调性与最值，得到，再利用导数求解的单调性，即可求得的最值. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，，，，点满足，点在线段上移动（包含端点）． （1）若，求实数的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量的线性运算与平面向量基本定理计算即可得； （2）设，结合向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 故，，则； 【小问2详解】 设，， 则， ， 故 ， 由，则. 16. 在中，为角对应的边，为的面积.且. （1）求； （2）若，求内切圆半径的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 设内切圆的半径为， 则， 所以， 又，所以， 则， 由，得， 当且仅当时取等号， 所以， 即内切圆半径的最大值为. 17. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）曲线在处的切线方程为，证明：． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先利用导数的几何意义求切线方程，再根据不等式构造函数，转化为求函数的最大值. 【小问1详解】 ， 令，得或， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为； 【小问2详解】 由（1）可知，，且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 要证明，即证明 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以，即， 所以，命题得证. 18. 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验． （1）若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：． 【答案】（1） 1 2 3 数学期望为； （2） 证明：因为， ，， 所以 ，， 经检验 也满足上式， 所以． 【解析】 【分析】（1）由的取值，计算相应的概率，得到分布列，由公式计算数学期望； （2）由概率计算得到表达式并化简，裂项相消求得证结论. 【小问1详解】 的可能值有， ；；． 所以随机变量的分布列为 1 2 3 ． 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明时，； （3）若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）证明：令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $