第22章 二次函数 中档题拓展训练★★【9个考点50题专练】-【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 中档题拓展训练★★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．二次函数的图象 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．待定系数法求二次函数解析式 七．抛物线与x轴的交点 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 考点精讲精练 一．二次函数的图象 · 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 二．二次函数的性质 · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 2．（2024•费县二模）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论的个数为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2024•湖南模拟）下列函数中、的值随值的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•梧州二模）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2024•红旗区校级二模）二次函数的图象与轴正半轴交于点．与轴交于点，设二次函数图象上点，之间的部分（含点，为曲线．将曲线向上平移个单位长度，若曲线与直线有两个交点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 6．（2024•青秀区校级模拟）二次函数的对称轴是直线　　． 7．（2024春•临淄区校级月考）已知二次函数，当时，函数的最大值为 　　． 8．（2024•濮阳二模）请写出一个开口向上，且过点的抛物线的表达式　 　． 9．（2024•镇平县模拟）如图是二次函数的图象，那么直线不经过第 　　象限． 10．（2024•兴城市模拟）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 　　； ②函数的“最优纵横值”为 　　； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7求的值． 11．（2024•西城区二模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是直线． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 三．二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12．（2024•碑林区校级模拟）抛物线与轴的一个交点为，，，下列说法正确的是　　 A．对称轴为直线 B．当时，随的增大而增大 C． D．方程一定有两个不相等的实数根 13．（2024•滨州一模）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的方程无实数根，则．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024•齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2024•孝感模拟）已知抛物线，，是常数，经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则．其中，正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024•湖北模拟）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤为任意实数）．正确结论的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024•娄星区一模）已知二次函数，，为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②；③；④．正确的是：　　 A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 18．（2024春•冷水滩区校级月考）抛物线的顶点坐标，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④．其中正确的是　　 A．① B．①② C．①③ D．①②③④ 19．（2024春•越秀区校级月考）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 20．（2024•雁塔区校级模拟）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是　　 A． B． C．当时， D．若，，在该函数图象上，则 21．（2024•荔城区校级一模）已知，，，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是 　　． 22．（2024•武昌区模拟）二次函数的图象与轴有两个不同的交点，与轴相交于负半轴，对称轴为直线，有下列结论：①；②若为任意实数），则有；③若点，在抛物线上，当时，；④若，是方程的两根，则方程的两根，满足．其中正确的是 　　（填写序号）． 23．（2024•鼓楼区校级模拟）二次函数图象上一点，当时，存在，则的取值范围为 　　． 24．（2024•冷水滩区校级模拟）如图，二次函数的图象与轴交于点，、，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 　　（将所有正确结论的序号都填上）． 25．（2024•江岸区校级二模）抛物线，，，为常数）交轴于点，且．下列4个结论：①；②抛物线过点；③；④抛物线上有点，，，，当时，．其中结论正确的是 　　（填写序号）． 26．（2024•润州区二模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移4个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点，． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 四．二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 27．（2024•广东）若点，，都在二次函数的图象上，则　　 A． B． C． D． 28．（2024•蜀山区一模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点． （1）若对于，，有，则　　； （2）若对于，，都有，则的取值范围是 　　． 五．二次函数图象与几何变换 · 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 29．（2024•浉河区二模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 30．（2024•中江县三模）如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图象，当直线与图象恰有两个公共点时，的取值范围是 　　 六．待定系数法求二次函数解析式 · 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 31．（2024•西湖区校级二模）已知二次函数，是实数，． （1）若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围． 七．抛物线与x轴的交点 · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 32．（2024春•仁寿县校级期中）二次函数的图象如图所示，对称轴直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是　　 A． B．图象的顶点坐标为 C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大 33．（2024•南关区校级模拟）若抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 　　． 34．（2024•思明区校级二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 　　． 35．（2024•朝阳区校级二模）若抛物线为常数）与轴有且只有一个交点，则的值为 　　． 36．（2024•黑龙江）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，请直接写出点坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 37．（2024•西湖区校级二模）在二次函数中， （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 38．（2024•钟楼区校级二模）已知二次函数． （1）若该二次函数的最大值为，求的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与轴有2个交点，求的取值范围． 39．（2024•高邮市三模）在平面直角坐标系中，设函数，是常数，． （1）若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是 　　； （2）若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点、在的左边），，则　　； （3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 40．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： 0 2 3 5 0 0 （1）求二次函数解析式及顶点坐标． （2）点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 八．二次函数的应用 · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 41．（2024•西城区校级模拟）如图，某小区有一块菱形绿地，其中，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点，，，分别在边，，，上．记 ， ，图中阴影部分的面积为 ，当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 42．（2024•长沙县校级模拟）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　． A．13 B．14 C．15 D．16 43．如图，一男生推铅球，铅球行进高度（单位：米）是水平距离（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当时，与之间的函数关系式为：； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 44．（2024•深圳模拟）掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米与飞行的水平距离（米之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为 　　． 45．（2024春•惠州校级月考）小郭在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元． （1）直接写出与的函数关系式． （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的最大利润． 46．（2024•新城区校级三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高为2.44米，足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以为原点建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？ 47．（2024•罗湖区校级模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以、两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 48．（2024•宁波一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中，． 素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元． 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值． 九．二次函数综合题 · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 49．（2024•清镇市一模）已知二次函数与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）当点的坐标为时，求该二次函数的表达式； （3）当时，求的取值范围． 50．（2024•河北一模）在直角坐标系中，抛物线，是常数，与轴相交于点． （1）若抛物线经过点，，求，的值； （2）已知，若，有最大值9，求的值； （3）①求点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 第22章 二次函数 中档题拓展训练★★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．二次函数的图象 1．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 二．二次函数的性质 2．（2024•费县二模）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于的方程有两个实数根，，且满足，则，．其中正确结论的个数为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断①；根据函数图象与轴的交点个数，可判断②；可求得图象与轴的另一个交点坐标为，由当时，，可判断③；由当时，，可判断④；把看为与的图象的交点问题，可判断⑤；从而解决问题． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线交轴的正半轴， ， ，故①正确； 该函数图象与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故②不正确； 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为， 当时，，故③不正确； 抛物线经过点， ， ， ，即，故④正确； 函数图象与轴的交点坐标分别为和， 令，则， 直线与抛物线的交点的横坐标分别为、， 由图象可知：，，故⑤正确； 故正确的有3个， 故选：． 【点评】本题考查了抛物线和轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会利用函数图象信息解决问题是关键． 3．（2024•湖南模拟）下列函数中、的值随值的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，对于、是二次函数，由二次函数的性质即可判断得解；对于、是一次函数，由一次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，对于选项，为开口向上，对称轴是轴的抛物线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故错误，不合题意． 对于选项，为开口向下，对称轴是轴的抛物线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故错误，不合题意． 对于选项，为一次函数， 又， 随的增大而增大，故正确． 对于选项，为一次函数， 又， 随的增大而减小，故错误，不合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•梧州二模）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意得，抛物线的对称轴是直线，又，从而抛物线开口向上，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合，可得，即，又，分别位于抛物线对称轴的两侧，进而或，可得，又，则，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线． 又， 抛物线开口向上． 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，即． ，分别位于抛物线对称轴的两侧， 或． ． 又， ． ． 综上，． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•红旗区校级二模）二次函数的图象与轴正半轴交于点．与轴交于点，设二次函数图象上点，之间的部分（含点，为曲线．将曲线向上平移个单位长度，若曲线与直线有两个交点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，令，从而或，可得，再令，则，可得，再结合函数的图象即可判断得解． 【解答】解：由题意，令， 或． ． 又令，则， ． 图象如下． 抛物线为， 抛物线的顶点为． 由图象可得，当曲线向上平移1个单位与直线相切，继续再平移1个单位刚好与直线有两个交点，继续平移没有了． 当时，曲线与有两个交点． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024•青秀区校级模拟）二次函数的对称轴是直线　3　． 【答案】3． 【分析】将二次函数配方成顶点式后，即可确定其对称轴． 【解答】解： 对称轴为：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的将二次函数配方成顶点式． 7．（2024春•临淄区校级月考）已知二次函数，当时，函数的最大值为 　7　． 【答案】7． 【分析】根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【解答】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， 在中，函数的最大值为7， 故答案为：7． 【点评】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键． 8．（2024•濮阳二模）请写出一个开口向上，且过点的抛物线的表达式　等．答案不唯一　． 【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点，说明常数项． 【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为 等，答案不唯一． 故本题答案为：等．答案不唯一． 【点评】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同． 9．（2024•镇平县模拟）如图是二次函数的图象，那么直线不经过第 　二　象限． 【答案】二． 【分析】根据抛物线的对称轴可确定．根据抛物线与轴的交点在负半轴可得：．所以直线不经过第二象限． 【解答】解：抛物线的对称轴为：， ， 抛物线与轴的交点在负半轴， ， 直线不经过第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键． 10．（2024•兴城市模拟）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 　8　； ②函数的“最优纵横值”为 　　； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7求的值． 【答案】（1）①8；②； （2）； （3）的值为或6． 【分析】（1）①根据可得“纵横值”； ②计算，得，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得，则，所以，由最优纵横值为5，即可得出，解得； （3）由题意可知，则，，由当时，二次函数的最优纵横值为7，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）①点的“纵横值”为， 故答案为：8； ②， ， ， 时，的最大值是， 函数的“最优纵横值”为； 故答案为：； （2）二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， 最优纵横值为5， ， ； （3）二次函数的顶点在直线上， ， ， ， 当时，二次函数的最优纵横值为7， 当，即时，则时，有最大值为7， ， 解得或（舍去）， 当，即时，则时，有最大值为7， ， 解得或（舍去）． 故的值为或6． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． 11．（2024•西城区二模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是直线． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据、两点关于对称轴对称，进而得出答案； （2）分情况讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）． （2）由题意可知，抛物线与轴的交点为， ①当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，没有最大值， 与原结论矛盾， 不成立． ②当时，抛物线开口向下，且经过，， 若抛物线经过店， 则， 若抛物线经过店， 则， （Ⅰ）当时，或， 对于，都有， 不合题意； （Ⅱ）时，， 对于，都有， 对于，都有， 成立； （Ⅲ）当时，或， 当时，都有， 不合题意； 综上所述：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 三．二次函数图象与系数的关系 12．（2024•碑林区校级模拟）抛物线与轴的一个交点为，，，下列说法正确的是　　 A．对称轴为直线 B．当时，随的增大而增大 C． D．方程一定有两个不相等的实数根 【答案】 【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 故选项错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 故选项错误，不符合题意； 抛物线与轴的一个交点为，，， 当时，， 即， ， 故选项错误，不符合题意； 抛物线开口向下，与轴有两个交点， 抛物线与直线有两个交点， 即方程一定有两个不相等的实数根， 故选项正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键． 13．（2024•滨州一模）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的方程无实数根，则．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断②；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为，，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断③；根据根的判别式即可判断④． 【解答】解：抛物线的顶点的坐标为，， ． ，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ， 当时，， ，故①正确． 直线是抛物线的对称轴， ． ． ， 由图象可得：当时，， ，故②错误． 直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为，， ，． ， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ，故③错误． 关于的一元二次方程无实数根， △， ， ． ． 又， ， ，故④正确． 故正确的有①④，共2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．（2024•齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函数的图象与轴交于即可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④；由得到关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围即可判断⑤． 【解答】解：由图象可知，， ，故结论①错误； 二次函数的图象与轴交于， ，即，故结论②正确； 二次函数的图象与轴交于，，，其中， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小，故结论③正确； 二次函数的图象与轴交于，，， ，是方程的两个根， ， ， 关于的一元二次方程的另一个根是，故结论④正确； ， ， ， ， ， 解得，故结论⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，根与系数的关系，掌握二次函数的性质以及函数与方程的关系是解题的关键． 15．（2024•孝感模拟）已知抛物线，，是常数，经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则．其中，正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线，，是常数，经过点，，可得，，故，又当时，与其对应的函数值，即，从而求出，则，故可判断①③；又，，可得，即，从而△，由，进而△，故关于的方程有两个不等的实数根，故可判断②；若方程的两根为，，可得，又，则，从而，可得，最后即可判断④． 【解答】解：由题意，抛物线，，是常数，经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值． ， ，解得：， ， ，故①③正确． ，， ，即， △． ， △． 关于的方程有两个不等的实数根，故②正确． 若方程的两根为，， ． ， ． ． ． ，故④正确． 综上，正确的有：①②③④共4个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 16．（2024•湖北模拟）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，若，则下列结论：①，②，③，④，⑤为任意实数）．正确结论的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况及点横坐标的取值范围即可解决问题． 【解答】解：由抛物线的对称轴是直线得，， ， ， 故①正确； ，两点关于直线对称，又，且，， ． 故②正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ， 故③正确； 由函数图象可知，，，， 又，且， ，即， ， ． 故④正确． 当时，函数取得最小值， 当时，总有， ， 故⑤错误． 所以正确的结论有4个． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，单项式乘多项式，平方差公式及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 17．（2024•娄星区一模）已知二次函数，，为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②；③；④．正确的是：　　 A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，则，故可判断①；又对称轴是直线，故可判断②；又对称轴是直线，且当时，，则当时，，故可判断③；又抛物线对称轴是直线，且抛物线与轴的一交点为，从而另一交点为，可得△，故可判断④． 【解答】解：由题意，抛物线开口向下， ，故①正确． 又对称轴是直线， ，故②正确． 对称轴是直线， 又当时，， 当时，，故③正确． 又抛物线对称轴是直线，且抛物线与轴的一交点为， 另一交点为． △，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 18．（2024春•冷水滩区校级月考）抛物线的顶点坐标，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④．其中正确的是　　 A．① B．①② C．①③ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性以及由时可判断②，由抛物线对称性和增减性，即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到，即可判断④． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， ，所以①正确； 与轴的一个交点在和之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， 时，即， 所以②错误； 由抛物线的对称性知与关于对称轴对称， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， ， 所以③不正确； 抛物线的顶点坐标为， ， ， ， ， ， 所以④不正确； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上得到坐标特征、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数性质是关键． 19．（2024春•越秀区校级月考）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】 【分析】根据图象经过，，且抛物线与轴的一个交点一定在上或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，得出，求出，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出△，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出的取值范围，即可判断④正确． 【解答】解：①图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的两个交点都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在上或的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入得， 即， ，， ， ，故①错误； ②，，， ， 方程的两个根的积大于0，即， ， ， ， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在点的右侧， ， ， ， 即，故②正确； ③， 当时，， 抛物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ，故③正确； ④方程可变为， 方程有两个相等的实数解， △， 把代入得，即， ， 即， ， ， 即， ，在抛物线上， ，为方程的两个根， ， ， ， ， ，故④正确； 综上分析可知，正确的是②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数关系，根的判别式，二次函数图象上的点的坐标特征，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下． 20．（2024•雁塔区校级模拟）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是　　 A． B． C．当时， D．若，，在该函数图象上，则 【答案】 【分析】依据题意，根据图象开口向下，对称轴是直线，从而，又抛物线与轴交于正半轴，从而可判断；由图象知，当时，，以及可以判断；根据抛物线与轴的交点和对称轴可以得出抛物线与轴的交点在之间，从而可以判断；根据函数的对称性可以判断． 【解答】解：由题意，根据图象开口向下， ， 又对称轴是直线， ， 又抛物线与轴交于正半轴， ， ，故错误； 由图象知，当时，， 即， ， ， 故正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的交点在之间， 抛物线与轴的另一交点在之间， 故错误； ，，， ， 故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 21．（2024•荔城区校级一模）已知，，，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是 　　． 【分析】用待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质得出时，，且，进一步利用△求解即可． 【解答】解：设直线的解析式为， 则， ， 的解析式为， ，，，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有， ， 抛物线与线段有两个不相同的交点， 时，，且抛物线与直线有交点， ， 令，整理得：， △， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质． 22．（2024•武昌区模拟）二次函数的图象与轴有两个不同的交点，与轴相交于负半轴，对称轴为直线，有下列结论：①；②若为任意实数），则有；③若点，在抛物线上，当时，；④若，是方程的两根，则方程的两根，满足．其中正确的是 　①④　（填写序号）． 【答案】①④． 【分析】由图象与轴相交于负半轴，对称轴为直线，即可判断①；由可知有最小值，进而建立不等式，即可判断②；将，分别代入解析式，用分别表示，，解不等式即可判断③；根据图象即可判断④． 【解答】解：①图象与轴相交于负半轴， ， 对称轴为直线， ， ①正确． ②抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线经过， 时，随增大而增大，， 时，． ②错误． ③将，分别代入解析式，得，，要使，只需， ， ， ， ， ， ， ③不正确． ④由图象可知． ④正确． 故答案为：①④． 【点评】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性和增减性，综合了方程、不等式，利用了数形结合的思想，是一道很好的综合题． 23．（2024•鼓楼区校级模拟）二次函数图象上一点，当时，存在，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【分析】将，代入函数解析式，由存在可列不等式组求解． 【解答】解：令，则， 解得或， 将代入得， 将代入得， ， 抛物线开口向上， 当时，， 解得，不符合题意． 当时，， 解得， ， 当时，， 不等式无解， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数与不等式组的关系． 24．（2024•冷水滩区校级模拟）如图，二次函数的图象与轴交于点，、，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 　①②④　（将所有正确结论的序号都填上）． 【答案】①②④． 【分析】根据二次函数的图象可以判断①；由函数图象可知，当时，，可以判断②；根据抛物对称轴的取值范围为，可以在和2之间为负值，2和之间为正值，可以判断③；由，可以判断④． 【解答】解：①抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，故①正确； ②由函数图象可知，当时，， 即，故②正确； ③当时，的值为， 给乘以4，即可化为， 抛物线的对称轴的取值范围为， 关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知，在和2之间为负值，2和之间为正值， 与0的关系不能确定，故③错误； 抛物线的对称轴为直线， ， 即，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 25．（2024•江岸区校级二模）抛物线，，，为常数）交轴于点，且．下列4个结论：①；②抛物线过点；③；④抛物线上有点，，，，当时，．其中结论正确的是 　①②③④　（填写序号）． 【答案】①②③④． 【分析】利用得到，用已知条件即可判断的符号；利用已知条件求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性即可得出②的结论正确；利用待定系数法求得，化简即可得出，则③的结论不正确；利用数形结合法可知当时，，于是得到，则，得出点，在轴的下方，即可判断④的结论正确． 【解答】解：①， ， ， ． ①的结论正确； ②， ， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线关于直线对称， 抛物线，，，为常数）交轴于点，与关于对称， 抛物线过点． ②的结论正确； ③抛物线，，，为常数）交轴于点，且， ， ， ， ， ． ③的结论正确； ④抛物线，，，为常数）交轴于点，， 当时，， 抛物线上有，，， ． ， 点，在点的右侧， 点，在轴的下方， ． ④的结论正确． 综上，结论正确的是：①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点，抛物线上点的准备的特征，待定系数法，数形结合法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．（2024•润州区二模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移4个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点，． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线对称轴； （2）①；②或． 【分析】（1）先求得点的坐标，再根据平移的性质得到点的坐标，根据、关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴； （2）①根据对称轴公式求得，则，代入即可求得的值； ②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于点， ， 点向右平移4个单位长度，得到点， 点； 与关于对称轴对称， 抛物线对称轴； （2）①对称轴， ， ， 函数图象恰好经过点， ， ； 将代入得， 将代入得， ②当时，抛物线开口向上， ， 解得， 故， 当时，抛物线开口向下， ， 解得， 故， 综上，若函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键． 四．二次函数图象上点的坐标特征 27．（2024•广东）若点，，都在二次函数的图象上，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：二次函数， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为轴． 当时，随的增大而增大， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性． 28．（2024•蜀山区一模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点． （1）若对于，，有，则　3　； （2）若对于，，都有，则的取值范围是 　　． 【答案】（1）3； （2）． 【分析】（1）由对于，，有，得，，，关于对称轴对称即可得答案； （2）由已知得，到对称轴的距离比，到对称轴的距离近，故，与，的中点在对称轴的右侧， 即可得，故． 【解答】解：（1）若对于，，有， 得，，，关于对称轴对称， 则； 故答案为：3； （2）由抛物线开口向下， 对于，，即都有， 得，到对称轴的距离比，到对称轴的距离近， 故，与，的中点在对称轴的右侧， 故， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性． 五．二次函数图象与几何变换 29．（2024•浉河区二模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即． 故选：． 【点评】本题考查了二函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 30．（2024•中江县三模）如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图象，当直线与图象恰有两个公共点时，的取值范围是 　 或　 【答案】或． 【分析】解方程得，，当直线过点时得，当直线过点时得，当直线与翻折后的抛物线有一个交点得，然后利用函数图象可得到当或，时，直线与图形恰有两个公共点． 【解答】解：当时，， 解得，， ，， 当直线过点时，直线与图形有三个公共点， ， 解得， 当直线过点时，直线与图形恰有1个公共点， ， 解得， 将抛物线在轴下方部分沿轴翻折得到，即， 令，整理得， 若直线与抛物线有一个交点，则△， ，解得， 当直线与图形恰有两个公共点时，的取值范围为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 六．待定系数法求二次函数解析式 31．（2024•西湖区校级二模）已知二次函数，是实数，． （1）若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点坐标为；（2）当，时，；（3）． 【分析】（1）将点，代入二次函数上，即可得出、 的值，再化成顶点式即可得出答案； （2）由对称轴为直线，可得，进而可得出，由已知条件可得，进而可以得出答案； （3）由题意得，，再由过点可得，解得的范围，再结合求解即可． 【解答】解：（1）点，在二次函数上， ， 解得：， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为， 综上所述：二次函数的表达式为，顶点坐标为． （2）对称轴为直线， ， ， ， 当时，即， ， ， ，， 当，时，． （3）由题意， 二次函数满足当时，总有随的增大而减小， ，， ， 二次函数过点， ，， ， 又， ． ． ， ， 又， ， ． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 七．抛物线与x轴的交点 32．（2024春•仁寿县校级期中）二次函数的图象如图所示，对称轴直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是　　 A． B．图象的顶点坐标为 C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线过，抛物线的对称轴为直线，写出的坐标，再由交点式写出解析式即可逐个判断得解． 【解答】解：，抛物线的对称轴为直线， ． 抛物线的表达式为：． ，故正确，不符合题意． ， 顶点的坐标为，故正确，不符合题意． 令，则， 或． 又结合图象， 当或时，函数值，故正确，不合题意． 抛物线对称轴为直线，开口向上 当时，随的增大而增大， 而当时，随的增大而先减小后增大，故错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的对称性以及交点式是解决此题的关键． 33．（2024•南关区校级模拟）若抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据判别式的值为0，构建方程式求出的值． 【解答】解：抛物线为常数）与轴有且只有一个公共点， △， ． 故答案为：． 【点评】本题考查利用公式求的值． 34．（2024•思明区校级二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据四边形为正方形，列出关于的方程，解方程求出的值． 【解答】解：抛物线的顶点为点， ， 又抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧）， ，抛物线开口向上． 当时，， 整理得：， 解得， 点在点左侧， ，，，， ，且、关于对称轴对称． 抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为， ，、关于轴对称． ． 四边形为正方形， 又根据对称性，与互相平分， ． ， ． 经检验，是方程的解，也符合题意． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 35．（2024•朝阳区校级二模）若抛物线为常数）与轴有且只有一个交点，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】依据题意，由抛物线与轴有且只有一个交点，从而可得△，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，物线与轴有且只有一个交点， △． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 36．（2024•黑龙江）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，请直接写出点坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为，，此时的面积最大值为． 【分析】（1）将，代入抛物线中，即可得出答案； （2）过点作轴于点，设，且在第二象限内，根据可得二次函数关系式，再根据二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）将，代入抛物线中， ， 解得：， 抛物线． （2）令，则， 解得：，， ， ， ， ， 过点作轴于点， 设，且在第二象限内， ，， ， 有最大值， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为，． 【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求解析式等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 37．（2024•西湖区校级二模）在二次函数中， （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标． （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线为，顶点坐标． （2）见解答； （3）． 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标． （2）依据题意，由△，又对于任意的都有，从而可以判断△的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合，可得，再分类讨论即可得解． 【解答】（1）解：二次函数的图象经过， ， ， 抛物线为， ， 对称轴直线，顶点坐标． （2）证明：△， 二次函数图象与轴总有两个公共点． （3）解：，在二次函数图象上， 对称轴直线， ． ， ， 抛物线过， ，即， ， ，解得，即， 抛物线开口向上， 当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ， ， 当，解得，不合题意舍去， 当，即，解得， 故的取值范围是． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 38．（2024•钟楼区校级二模）已知二次函数． （1）若该二次函数的最大值为，求的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与轴有2个交点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图象的性质可得平移后的抛物线顶点一定在轴上方，则． 【解答】解（1）二次函数解析式为， 当时，二次函数有最大值， 该二次函数的最大值为， ， ； （2）把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， 平移后的抛物线解析式与轴有2个交点，且抛物线开口向下， 平移后的抛物线顶点一定在轴上方， ． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质．二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 39．（2024•高邮市三模）在平面直角坐标系中，设函数，是常数，． （1）若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是 　　； （2）若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点、在的左边），，则　　； （3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 【答案】（1）； （2） 或； （3）见解答． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当点在轴左侧时，设点，则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解； （3），，则，，则，，而，即可求解． 【解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则顶点坐标为：， 故答案为：； （2）解：将代入抛物线表达式得：， 则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线， 当点在轴左侧时， 设点，则点， 则抛物线的表达式为：， 则且， 解得：， 当点在轴右侧时， 设点，则点， 则抛物线的表达式为：， 则且， 解得：， 故答案为： 或； （3）证明：时，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 40．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： 0 2 3 5 0 0 （1）求二次函数解析式及顶点坐标． （2）点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为，顶点坐标为：； （2）点的坐标为，或，． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）利用三角形面积公式求得点的纵坐标为6，把代入函数解析式求得横坐标即可． 【解答】解：（1）由图表可知抛物线过点，， ， 把点代入得，， ， 二次函数的解析式为，即， ， 顶点坐标为：； （2）抛物线与轴交于、两点， ，， ， 点为抛物线上一点，， ， ， 抛物线开口向上，顶点为， 不合题意， 把代入得，， 解得， 点的坐标为，或，． 【点评】此题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，利用待定系数法求得函数的解析式是解题关键． 八．二次函数的应用 41．（2024•西城区校级模拟）如图，某小区有一块菱形绿地，其中，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点，，，分别在边，，，上．记 ， ，图中阴影部分的面积为 ，当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】 【分析】设，根据菱形和矩形的性质，求出与、与的函数解析式，从而得出结论． 【解答】解：连接对角线，，交于点，如图： 根据菱形和矩形都是中心对称图形可知，，， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 42．（2024•长沙县校级模拟）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】 【分析】依据题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可判断得解． 【解答】解：由题意得，， ， 当时，最大． 当时，汽车停下来，滑行了． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能将二次函数解析式化为顶点式是关键． 43．如图，一男生推铅球，铅球行进高度（单位：米）是水平距离（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当时，与之间的函数关系式为：； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为，进而建立方程组求出，，即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米，故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米，故可判断①． 【解答】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米，故①正确． 综上，正确的有①②共2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 44．（2024•深圳模拟）掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米与飞行的水平距离（米之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为 　　． 【答案】． 【分析】求小明这次实心球训练的成绩，即求时的值． 【解答】解：令，即， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确计算． 45．（2024春•惠州校级月考）小郭在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元． （1）直接写出与的函数关系式． （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？ （3）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的最大利润． 【答案】（1）； （2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元； （3）当为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 【分析】（1）根据“销售单价每提高1元日销量将会减少10件”可写出函数表达式，化简即可； （3）利润（单价定价）日销售量，通过这个公式可得出日销售利润的函数表达式，将代入表达式，即可求出销售单价的值； （3）根据第二问即可写出日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，根据二次函数的性质，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得，， 故与的函数关系式为； （2）根据题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元； （3）根据题意得， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，所获利润最大，为960元， 答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 46．（2024•新城区校级三模）一次足球训练中，小天在球门正前方的处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在离地面4米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为6米．已知球门高为2.44米，足球离地面3米时，其与球门的水平距离为10米．现以为原点建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为2.31米，求辉辉需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？ 【答案】（1）；此次射门在不受干扰的情况下能进球，理由见解析；（2）辉辉需要站在离球门以内的地方才可能防住这次射门． 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，故可设抛物线的解析式为，又过，可得，求出可得解析式；又令，则，可得进而可以判断得解； （2）依据题意，令，则，可得或，由防守队员辉辉正在抛物线对称轴的左侧加强防守，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点， 设抛物线的解析式为， 又过， ． ． 抛物线的解析式为． 令，则． ， 此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）由题意，令，则， 或． 防守队员辉辉正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ． 答：辉辉需要站在离球门以内的地方才可能防住这次射门． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 47．（2024•罗湖区校级模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以、两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒产品的成本为30元； （2）当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． 48．（2024•宁波一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中，． 素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元米（接口忽略不计），现有改造经费32000元． 问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】（1）； （2）能完成改造； （3）的值最大，为1.6米． 【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式； （2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （3）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【解答】解：（1）如图建立如图所示的坐标系， ，， ， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，将代入解析式得，， ， （2）如图，建立与（1）相同的坐标系， ， 为， 改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为 将代入解析式得， ， 为，为， ， 共需改造经费， 能完成改造． （3）如图，设改造后抛物线解析式为， 则为，为， ， ， 解得， ， 时，的值最大，为1.6米． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 九．二次函数综合题 49．（2024•清镇市一模）已知二次函数与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）当点的坐标为时，求该二次函数的表达式； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的顶点坐标为； （2）该二次函数的表达式为； （3）当时，的取值范围为或． 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可； （2）求出抛物线对称轴，由点坐标求出点坐标； （3）分和两种情况，由时求出，坐标，从而求出的值，再根据得出的取值范围． 【解答】解：（1）， 该二次函数的顶点坐标为； （2）抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称，点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 该二次函数的表达式为； （3）情况①：当时，如图①， 点与点关于直线对称，点在轴上， 点在直线上， 设直线与轴交于点，则， 是直角三角形， 当时，， 点坐标为， 点的坐标为， ．则， 当时，， 时，； 情况②：当时，如图②， 点与点关于直线对称，点在轴上， 点在直线上， 设直线与轴交于点，则， 是直角三角形， 当时，， 点坐标为， 点的坐标为， ．则， 当时，， 时，， 当时，的取值范围为或． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 50．（2024•河北一模）在直角坐标系中，抛物线，是常数，与轴相交于点． （1）若抛物线经过点，，求，的值； （2）已知，若，有最大值9，求的值； （3）①求点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】（1），的值分别为2，3； （2）或； （3）①； ②． 【分析】（1）抛物线经过点，，则，求出、即可； （2）因为，则，则抛物线为，根据，求出抛物线顶点坐标为，分当时，当时，讨论的取值即可； （3）①当时，，点坐标为； ②因为，均在抛物线上，则抛物线 的对称轴为直线，又因为抛物线经过，，则，，，所以，则，又因为，则，则，即． 【解答】解：（1）抛物线经过点，， ， 解得， ，的值分别为2，3； （2）， ， 则抛物线为， ， 抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， 当 时，为最大值， 即， 解得； ②当时，抛物线开口向下， 当时， 为最大值， 即，解得， 综上所述，或； （3）①抛物线， 当时，，所以点坐标为； ②，均在抛物线上， 抛物线 的对称轴为直线， 抛物线经过，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象和性质，不等式的性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$