第22章 二次函数 培优题突破练习 讲义 -2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 培优题突破练习★★★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．二次函数的图象 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．二次函数的最值 七．抛物线与x轴的交点 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 考点精讲精练 一．二次函数的图象 · 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．函数与的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2024•遂平县一模）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 3．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 二．二次函数的性质 · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 4．（2024•安徽模拟）下列函数中，随的增大而减小的函数是　　 A． B． C． D． 5．（2024•红旗区校级二模）二次函数的图象与轴正半轴交于点．与轴交于点，设二次函数图象上点，之间的部分（含点，为曲线．将曲线向上平移个单位长度，若曲线与直线有两个交点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 6．（2024•从江县校级一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图象的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是　　 A．，且 B． C． D．或 7．（2022•集美区二模）抛物线与直线交于点，和点，直线与抛物线的对称轴交于点，则下列结论正确的有 　　．（写出所有正确结论的序号） ①点在对称轴的左侧； ②； ③点有可能在抛物线上； ④． 三．二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 8．（2024•东宝区校级模拟）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列五个结论： ①； ②若，则； ③若点，，，在抛物线上，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，若，在抛物线上，且，则． 其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2024•余姚市校级四模）关于二次函数（其中有以下论述，正确的是　　 ①当时，对称轴为直线． ②函数图象与轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 10．（2024•钦南区校级三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，以下结论中正确的是　　 A． B． C． D．若为任意实数，则 11．（2024•武威二模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024•湖北）已知抛物线，，为常数，的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 13．（2024•来凤县模拟）如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点，和，，若且，则，其中正确的结论共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024•惠山区校级一模）当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为 　　． 15．（2021春•天心区校级月考）已知二次函数，过，，．①若时，则；②若时，则；③若，，且，则；④若，，且，则抛物线的顶点一定在第三象限；上述四个判断正确的有 　　． 16．（2024•水磨沟区一模）如图，抛物线的顶点为，与轴交点，的横坐标分别为，3，与轴负半轴交于点．下面五个结论：①；②；③对任意实数，；④，，，是抛物线上两点，若，则；⑤使为等腰三角形的值可以有3个．其中正确的结论有 　　．（填序号） 17．（2021•福建模拟）二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是 　　． 四．二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 18．（2024•临淄区二模）如图，分别过点，，2，，作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为　　 A． B． C． D． 五．二次函数图象与几何变换 · 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 19．（2024•柳北区校级四模）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线　　 A． B． C． D． 20．（2024•沭阳县一模）将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 21．（2021•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 　　． 六．二次函数的最值 · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 22．（2023•海珠区一模）如图，点为等边三角形边上一动点，，连接，以为边作正方形，连接、，则当　　时，的面积最小值为 　　． 23．（2023•旌阳区二模）函数在有最大值6，则实数的值是 　　． 24．（2021春•无锡月考）如图，已知正方形的边长为8，动点，分别在边、上，，面积的最小值是 　　． 25．（2021秋•荆门期末）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值 　　． 七．抛物线与x轴的交点 · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 26．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的部分对应值如下表所示： 3 4 0 则当时，的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 27．（2024•宁波模拟）已知，若二次函数的图象与轴交于两个不同的点，，，，二次函数的图象与轴交于两个不同的点，，，，则　　 A． B． C． D． 28．（2024春•永修县期中）关于二次函数现给出以下结论： ①函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为； ②当时，函数图象的顶点坐标是； ③当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； ④当，时，随的增大而减小． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 29．（2021秋•思明区校级期中）已知抛物线，，是常数），．下列四个结论： ①抛物线与轴一定有公共点； ②若抛物线经过点，则； ③若，则方程一定有根； ④点，，，在抛物线上，若，则当时，． 其中正确的是 　　（填写序号）． 30．（2024•德阳模拟）现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是 　　． ①当时，函数图象的顶点坐标为，； ②当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点，、，，则当时，函数在时一定能使成立． 31．（2023秋•确山县期中）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 　　． 32．（2023•天山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为．在抛物线移动过程中，的最小值是 　　． 八．二次函数的应用 · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 33．（2024•长沙县校级模拟）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　． A．13 B．14 C．15 D．16 34．如图，一男生推铅球，铅球行进高度（单位：米）是水平距离（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当时，与之间的函数关系式为：； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 35．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为　　，液面到点所在水平地面的距离是 　　． 九．二次函数综合题 · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 36．（2024•宁阳县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx÷4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO＝90°的点E的坐标； （3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由． 37．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的图象与轴交于点，，，且． （1）当，且时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值； （2）若，求证：． 38．（2024•仓山区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点、、都在该抛物线上，且总有，求的取值范围． （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛线，新抛物线与轴的正半轴交于点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不在，则说明理由． 39．（2024•玉山县二模）已知抛物线的顶点为，直线与轴、轴分别交于点，． （1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值． （2）当时，设的面积为，求关于的函数关系式． （3）将抛物线绕点旋转得到抛物线，其顶点为点． ①若点恰好落在直线上，求与满足的关系式； ②当时，旋转前后的两个二次函数的值都会随的增大而减小，求的取值范围． 40．（2024•泰山区二模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接，，点为第三象限抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，，的面积记为，的面积记为，当时，求出直线的解析式； （3）如图2，抛物线的顶点为，连接，是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（2024•南沙区二模）已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标； （3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围． 42．（2024•前郭县校级模拟）如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 43．（2024•南关区三模）已知，在以点为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为，且经过点与轴分别交于、两点． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）如图1点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值； （3）如图2，过点的直线交轴于点，且轴．点是抛物线上、之间的一个动点，直线、分别与交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由． 44．（2024春•锦江区校级月考）已知二次函数的图象关于轴对称，且与轴交于点，． （1）求二次函数的解析式； （2）该二次函数图象与轴交于点，在轴上另有一个动点，连接，求的最小值，并写出此时点的坐标； （3）在轴上还有一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，若的纵坐标为，求点的横坐标． 45．（2024•姑苏区校级二模）如图，已知函数与轴交于点、，与轴交于点，连接、． （1）该抛物线的顶点坐标为 　　；（用的代数式表示）； （2）如果点关于直线的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时的值； （3）在（2）的条件下，在轴上有一动点，横坐标为，过点作轴的垂线，请问若在直线上有且只有一个点，使得，此时的值为多少． 46．（2024•开福区校级三模）已知将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点，研究发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．根据上述知识完成下列问题： （1）如图1，，，点绕顺时针旋转后，得到的点的坐标为 　　；（直接写出答案） （2）如图2，设，，点是反比例函数的图象上的动点，点绕顺时针旋转后得到的点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． （3）如图3，设，，点是二次函数图象上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 47．（2024•渠县校级三模）抛物线与轴交于点，，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为线段上方抛物线上的一动点（点不与点，重合），过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 48．（2024•东莞市校级三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求，两点间距离的最大值； （3）如图2，连接，在抛物线上存在点，使，请直接写出符合题意的点坐标． 49．（2024•大冶市模拟）如图，抛物线，过点，，与轴交于点，为轴上方抛物线上的动点，的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）如图（1）若直线把的面积分成的两部分，求的值． （3）如图（2）若直线与直线相交于点，且． ①试求关于的函数解析式． ②请根据的不同取值，探究点的个数． 50．（2024•齐齐哈尔）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点的抛物线与轴的另一个交点为点，点是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标； （3）当时，求点的坐标； （4）在（3）的条件下，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为 　　． 第22章 二次函数 培优题突破练习★★★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．二次函数的图象 1．函数与的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一次函数的性质判定、的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：函数与轴的交点坐标为和，，函数与轴的交点坐标为，， 抛物线和直线的有一个交点在轴上，故选项、、不合题意； 若函数经过一三四象限，，， 二次函数的图象开口向上， 对称轴， 在轴的右侧，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2024•遂平县一模）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【解答】解：一次函数的图象经过二、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向下，图象经过原点，对称轴在轴左侧， 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键． 3．（2024•谯城区二模）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 二．二次函数的性质 4．（2024•安徽模拟）下列函数中，随的增大而减小的函数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、是一次函数，，随的增大而减小，故该选项符合题意； 、是一次函数，，随的增大而增大，故该选项不符合题意； 、是二次函数，开口向上，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； 、是二次函数，开口向下，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解答此题的关键． 5．（2024•红旗区校级二模）二次函数的图象与轴正半轴交于点．与轴交于点，设二次函数图象上点，之间的部分（含点，为曲线．将曲线向上平移个单位长度，若曲线与直线有两个交点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，令，从而或，可得，再令，则，可得，再结合函数的图象即可判断得解． 【解答】解：由题意，令， 或． ． 又令，则， ． 图象如下． 抛物线为， 抛物线的顶点为． 由图象可得，当曲线向上平移1个单位与直线相切，继续再平移1个单位刚好与直线有两个交点，继续平移没有了． 当时，曲线与有两个交点． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024•从江县校级一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图象的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是　　 A．，且 B． C． D．或 【答案】 【分析】联立方程，当判别式时的值，结合图象即可求解． 【解答】解：一次函数的图象过定点， ， 把代入得： ， 整理得， △ 当△时，两函数图象有一个交点， 即， 解得． 一次函数与二次函数的图象有2个交点，的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是理解方程组的解与函数交点的关系． 7．（2022•集美区二模）抛物线与直线交于点，和点，直线与抛物线的对称轴交于点，则下列结论正确的有 　①④　．（写出所有正确结论的序号） ①点在对称轴的左侧； ②； ③点有可能在抛物线上； ④． 【答案】①④． 【分析】①由题可知抛物线对称轴为，再判断点横坐标与的大小关系即可； ②将、两点分别代入抛物线解析式中，得到，，根据的取值范围即可判断； ③假设该点在抛物线上，将代入抛物线解析式中得，再根据结论②下求得的、值算得的值，由两式子相等得到一个新式子，要使该点在抛物线上，则新式子的△； ④设直线解析式为，直线过、两点，由待定系数法求出直线解析式，将代入直线解析式中，得出，再比较和的大小即可． 【解答】解：①由题可知抛物线对称轴为， ， ， 点在对称轴的左侧，故结论①符合题意； ②抛物线过点、点， ， ， ， 当，的值随的增大而增大， 当时，， ，故结论②不符合题意； ③假设该点在抛物线上， 将点代入抛物线解析式中， 得， 由②可知，， 有， ， 整理得， △， 点没有在抛物线上，故结论③不符合题意； ④， 设直线解析式为， 直线过、两点， ， 解得：， 直线解析式为， 直线与抛物线的对称轴交于点， ， ， 当时，的值随的增大而减小， 当时，， 当时，， ，故结论④符合题意； 综上，结论①④符合题意， 故答案为：①④． 【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三．二次函数图象与系数的关系 8．（2024•东宝区校级模拟）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列五个结论： ①； ②若，则； ③若点，，，在抛物线上，且，则； ④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，若，在抛物线上，且，则． 其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得，由，进一步得到，即可判断②；由点，，，到对称轴的距离，即可判断③；证明判别式即可判断④；若，则抛物线对称轴为直线，然后分点在对称轴左侧和右侧两种情况讨论即可判断⑤． 【解答】解：对称轴， 对称轴在轴右侧， ， ， ， 故①正确； 当时，对称轴， ， 当时，， ， ，故②错误； 由题意，抛物线的对称轴直线，， 点，，，在抛物线上，，且， 点到对称轴的距离点到对称轴的距离， ，故③正确； 设抛物线的解析式为， 方程， 整理得，， △ ， ，， △， 关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 若，则抛物线对称轴为直线， 若，在抛物线上，且， 当点在对称轴左侧时，即时，可得，无解，不符合题意， 当点在对称轴右侧时，即时，可得，解得， 即，故⑤正确． 综上所述，以上五个结论中正确的有①③④⑤，共4个． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2024•余姚市校级四模）关于二次函数（其中有以下论述，正确的是　　 ①当时，对称轴为直线． ②函数图象与轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴公式，可求出当时抛物线的对称轴；利用根的判别式即可得出函数图象与轴的交点情况；根据函数图象过定点时与及的取值无关即可解决问题． 【解答】解：因为， 所以抛物线的对称轴为直线． 故①正确． 令得， ， 则△， 因为， 所以△， 则函数图象与轴必有两个不同的交点． 故②正确． 因为， 由得， ，． 由得， ， 所以当时，， 即函数图象过定点． 故③正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024•钦南区校级三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，以下结论中正确的是　　 A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】 【分析】根据二次函数的图象判断，，的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断，选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解． 【解答】解：由图象可得， ，，， 则，故选项错误，不符合题意； 对称轴为直线， ， 当时，， ， ，故正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，和时，， ，故错误，不符合题意； ，对称轴为直线， 若为任意实数，则， 即，故错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11．（2024•武威二模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线与轴的交点在的下方，即可判断③；由对称轴方程得到，由时，得到即，则，所以，则可判断③． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线交轴于负半轴， ， ， ， ，故①正确． 抛物线的对称轴是直线， ， ，故②正确． 抛物线与轴的交点在的下方， 抛物线与直线一定有两个交点， 关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ， ， 时，，即， ，即， 而， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，也考查了二次函数的性质． 12．（2024•湖北）已知抛物线，，为常数，的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线为，从而，则，，结合抛物线与轴的交点在轴上方，可得，则，故可判断、；又抛物线的顶点为，从而当时，，故可判断；又，，可得，故可判断． 【解答】解：由题意，抛物线顶点为， 可设抛物线为． ． 又抛物线为， ，． 抛物线与轴的交点在轴上方， ． ，故、均不正确． 又抛物线的顶点为， 当时，，故正确． 由，， ，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13．（2024•来凤县模拟）如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点，和，，若且，则，其中正确的结论共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线的对称性和对称轴判断②；根据对称轴和的符号即可判断③；根据顶点坐标即可判断出④；从而得解． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 顶点坐标， 对称轴为直线， ， ，， ，故①错误； 点关于直线的对称点为， ， ， ， ，故②正确， 顶点坐标 抛物线有唯一的解，当时，与抛物线有两个交点， 故③正确， ，且， 抛物线关于对称，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， ，故④正确， 综上所述，结论正确的是②③④共3个． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出、的关系． 14．（2024•惠山区校级一模）当时，关于的二次函数的图象在轴上方，则的取值范围为 　或　． 【答案】或． 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，再分和两种情况，分别求出的最小值，令最小值大于0即可求解． 【解答】解：二次函数的图象的对称轴为：． 当时，抛物线开口向下， ，， 时，取最小值，最小值为：， 图象在轴上方， ， 解得， ； 当时，抛物线开口向上， ，对称轴为， 时，取最小值，最小值为：， 图象在轴上方，， 解得， ； 综上可知：的取值范围为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是掌握分类讨论思想，能够求出时的最小值． 15．（2021春•天心区校级月考）已知二次函数，过，，．①若时，则；②若时，则；③若，，且，则；④若，，且，则抛物线的顶点一定在第三象限；上述四个判断正确的有 　①③④　． 【答案】①③④． 【分析】①若时，当时，，即，即可判断①正确； ②若时，即函数的对称轴是直线，分两种情况，或，分别讨论即可判断②错误； ③若，，即：，，而，可推出，即，即可判断③正确； ④若，，且，即：，把、的值代入上式得：，代入顶点坐标即可求解，即可判断④正确． 【解答】解：①把代入，得， ， ，故①正确； ②， 抛物线的对称轴为直线， 当时，若，则随增大而增大，； 若，则随增大而减小，；故②错误； ③，， ，， ， 又， ，即，故③正确； ④， ， ，， ， ， 抛物线的顶点横坐标为， 由可得， ，即抛物线的顶点横坐标为， 抛物线的顶点纵坐标为， 抛物线的顶点一定在第三象限，故④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大． 16．（2024•水磨沟区一模）如图，抛物线的顶点为，与轴交点，的横坐标分别为，3，与轴负半轴交于点．下面五个结论：①；②；③对任意实数，；④，，，是抛物线上两点，若，则；⑤使为等腰三角形的值可以有3个．其中正确的结论有 　①③④　．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】由抛物线与轴的交点坐标判断系数、、之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断． 【解答】解：①抛物线与轴交于、， ， ． 故①正确． ②：由①分析知：， ，， ， 若，即， ． 根据题目已有条件，无法推断出， ②无法定论． ③对于任意实数，成立， 即对于任意实数，成立． 令． ， ， 关于实数的二次函数图象开口向下． 若对于任意，，故需判断△与0的数量关系． ，， △， 对于任意实数，． 故③正确． ④， ． ， ． ，，， ，， ， ， ． 故④正确． ⑤：经分析，，． 若为等腰三角形，则或． ，，， ，． 当时，则， （不合题意，舍去）． 当时，则， （不合题意，舍去）． 综上所述：值有两个． 故⑤不正确． 故答案为①③④． 【点评】主要考查抛物线的顶点坐标、根与二次函数系数的关系、二次函数图象特点以及等腰三角形的定义． 17．（2021•福建模拟）二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】先求出函数的对称轴，再对称轴和的位置关系进行分类讨论即可． 【解答】解：根据二次函数可知函数开口向下， 且对称轴为， ①当时，即时， 当时，随着增大而减小， 则取得最小值， 即， 解得，不符合题意； ②当时， 当时恒成立； 当时，， 解得：， 此时在随的增大而增大， 则时，， ； ③当即， 当时，； 当，因为最小值是1， 故， 解得：； 此时； 综上所述：， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系以及二次函数的最值问题，关键是确定对称轴所在位置． 四．二次函数图象上点的坐标特征 18．（2024•临淄区二模）如图，分别过点，，2，，作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 五．二次函数图象与几何变换 19．（2024•柳北区校级四模）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 20．（2024•沭阳县一模）将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式． 【解答】解：抛物线向左平移5个单位长度得到，再向上平移6个单位得到． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键． 21．（2021•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是 　或　． 【答案】或． 【分析】根据题干定义可得函数最大值或函数最小值，由可得函数最大值为可得，进而可得函数最小值为直线与抛物线交点纵坐标，进而求解． 【解答】解：由题干可得函数在时，函数最大值或最小值为，， ，抛物线开口向下，顶点坐标为， 为函数最大值， 当时，， ， 当时，直线与直线与抛物线交点关于对称轴对称， 时，直线与抛物线交点为最低点， 把代入得， 当时，， ， 当时，， 当时，， 或满足题意． 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数新定义问题，解题关键是理解题意，掌握求二次函数最值的方法． 六．二次函数的最值 22．（2023•海珠区一模）如图，点为等边三角形边上一动点，，连接，以为边作正方形，连接、，则当　　时，的面积最小值为 　　． 【答案】，． 【分析】如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点．设．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点．设． 是等边三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 有最小值，当时，最小值为，此时． 故答案为：，． 【点评】本题考查二次函数的最值，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题． 23．（2023•旌阳区二模）函数在有最大值6，则实数的值是 　或　． 【答案】或． 【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况讨论，根据函数最大值时列方程求出的值． 【解答】解：二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： （1）当时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， ， 解得：，符合题设； （2）当时， 在内，当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 则当或时，取得最大值， 因此有或， 解得：或 （均不符题设，舍去）； （3）当时， 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键． 24．（2021春•无锡月考）如图，已知正方形的边长为8，动点，分别在边、上，，面积的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】设，，则，，根据正方形的性质以及三角形的面积公式，把求三角形面积最小，转化为求最大．在延长线上作，连接，构建，过点作于，根据同一三角形面积相等求出的最大值即可． 【解答】解：设，，则，， ， 要使三角形面积最小，则最大， 在延长线上作，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ，， 过点作于， ， ， ， 整理得：， ， ， 或， ，， ， ， 面积的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，二次函数求最值，三角形的面积等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 25．（2021秋•荆门期末）设为坐标原点，点、为抛物线上的两个动点，且．连接点、，过作于点，则点到轴距离的最大值 　2　． 【答案】2． 【分析】分别作、垂直于轴于点、，设，，由抛物线解析式可得，，作于，交轴于点，连接交轴于点，设点，易证，所以，即，可得．再证明，所以，即，可得．即得点为定点，坐标为，得．进而可推出点是在以为直径的圆上运动，则当点到轴距离为此圆的直径的一半，即时最大． 【解答】解：如图，分别作、垂直于轴于点、， 设，，由抛物线解析式为， 则，， 作于，交轴于点，连接交轴于点， 设点， ， ， ，即， 化简得：， ， ， 又， ， 又， ， ， 即， 化简得：． 则，说明直线过定点，点坐标为， ，， 点是在以为直径的圆上运动， 当点到轴距离为时，点到轴距离的最大，最大值为，即最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点为定点，确定出点的轨迹为一段优弧，再求最值． 七．抛物线与x轴的交点 26．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的部分对应值如下表所示： 3 4 0 则当时，的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与轴的交点坐标；当时，函数图象在轴下方，据此求出的取值范围． 【解答】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线， ，在此二次函数的图象上， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与轴的交点为，， 当时，的取值范围为或． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的对称性质和增减性． 27．（2024•宁波模拟）已知，若二次函数的图象与轴交于两个不同的点，，，，二次函数的图象与轴交于两个不同的点，，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到：，，，，然后代入求值即可． 【解答】解：，二次函数的图象与轴交于两个不同的点，，，，二次函数的图象与轴交于两个不同的点，，，， 关于的方程和的根分别是：、、、． ，，，． 则：、，所以等式不一定成立，不符合题意； 、，符合题意； 、，所以等式不一定成立，不符合题意； 、，所以等式不一定成立，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 28．（2024春•永修县期中）关于二次函数现给出以下结论： ①函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为； ②当时，函数图象的顶点坐标是； ③当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； ④当，时，随的增大而减小． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】依据题意，当时，，从而函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为，故可判断①；当时，，从而此时该函数图象的顶点坐标是，，故可判断②；由， 进而令，则，可得或，从而函数图象截轴所得的线段长度为：，再结合，进而可以判断③；依据题意，由抛物线与轴交点为，，，结合对称轴是直线，又， 故，抛物线开口向下，进而可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以判断④． 【解答】解：由题意，当时，， 函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为，故①正确． 当时，， 此时该函数图象的顶点坐标是，，故②正确． ， 令，则． 或． 函数图象截轴所得的线段长度为：． ， ． 当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，故③正确． 由题意，抛物线与轴交点为，，， 对称轴是直线． ， ，抛物线开口向下． 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当，时，随的增大而减小，这个说法不正确，故④错误． 综上正确的有：①②③共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 29．（2021秋•思明区校级期中）已知抛物线，，是常数），．下列四个结论： ①抛物线与轴一定有公共点； ②若抛物线经过点，则； ③若，则方程一定有根； ④点，，，在抛物线上，若，则当时，． 其中正确的是 　①②③　（填写序号）． 【答案】①②③． 【分析】①当时，； ②由可得； ③由，推的值即可； ④由，推出对称轴，进而可判断． 【解答】解：当时，， 在抛物线上， 故①正确， 当抛物线过时， ， ， 两式相减得，， ， 故②正确， 当时，由得， ， ， 当时，， 故③正确， ， ，， 若时， ，， ， 对称轴是直线，， 当时， ， 故答案是①②③． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的关键是代数式的变形． 30．（2024•德阳模拟）现有是关于的二次函数，则下列描述正确的是 　①②③　． ①当时，函数图象的顶点坐标为，； ②当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点，、，，则当时，函数在时一定能使成立． 【分析】①把代入，再化为顶点式即可； ②求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断； ③由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可； ④时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即可求解． 【解答】解：①当时，， 顶点坐标为，， 故①正确； ②当时，由得：△， ， ，， ， 函数图象截轴所得的线段长度大于， 故②正确； ③当时，， 当时，的值与无关， 此时，， 当，；当时，， 函数图象总经过两个定点，，， 故③正确； ④时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下， 故时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即成立， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 31．（2023秋•确山县期中）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为 　1或　． 【答案】1或． 【分析】先根据图①所对应的解析式求出点、的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求出曲线所对应的解析式，再根据直线与图象②恰有三个公共点，结合图象进行计算即可． 【解答】解：抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ，， 根据翻折变换，关于轴的对称点为， 曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象②恰有三个公共点时，如图所示： ①当直线过点时，， 解得：； ②当直线过与只有一个公共点时， 即， △， 则， 的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的图象以及二次函数的图象与几何变换，关键是利用数形结合的思想，对直线与图象②恰有三个公共点时进行求值． 32．（2023•天山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为．在抛物线移动过程中，的最小值是 　　． 【分析】时，，当顶点在点时，最小，此时点，即可求解． 【解答】解：点横坐标最小时，顶点在点， 则函数的表达式为：， 此时点， 将点的坐标代入上式并解得：， 当顶点在处时，值最小， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故答案为：． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，本题关键在于确定的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解． 八．二次函数的应用 33．（2024•长沙县校级模拟）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】 【分析】依据题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可判断得解． 【解答】解：由题意得，， ， 当时，最大． 当时，汽车停下来，滑行了． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能将二次函数解析式化为顶点式是关键． 34．如图，一男生推铅球，铅球行进高度（单位：米）是水平距离（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当时，与之间的函数关系式为：； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为，进而建立方程组求出，，即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米，故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米，故可判断①． 【解答】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米，故①正确． 综上，正确的有①②共2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 35．（2022•金东区三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为　　，液面到点所在水平地面的距离是 　　． 【答案】；． 【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出，，，的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，根据题意可得是等腰直角三角形，由此可得出点的坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离． 【解答】解：如图1，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入得：， 解得：， ； 根据题意可知，，设与轴的交点坐标， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为：， 令，解得（舍或， ． ，， 水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，如图1，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点， 是等腰直角三角形， ， ． ． 过点作于点， 是的中点，且， ， ． ． 故答案为：；． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 九．二次函数综合题 36．（2024•宁阳县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx÷4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO＝90°的点E的坐标； （3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点E的坐标为或； （3）存在，N点坐标为（）． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）分①点E在直线CD上方的抛物线上，②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可； （3）如图2，在第一象限内取点P，过点P作PN∥y轴，交BC于N，过点P作PM∥BC，交y轴于M，根据菱形的性质得到PM＝PN，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，得到∠OCB＝45°，求得∠PMC＝45°，设点，求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，得到N（m，﹣m+4），根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0）， ∴ 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图1， ①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥CD，垂足为F，设满足条件的点在抛物线上： 则， 根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD， 即， ∴， 解得t1＝0（舍去），t2＝3， ∴； ②当点E′位于直线CD上方时，过点E′作E′F′⊥直线CD，垂足为F′，设 则， 根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD， 即， ∴， 解得s1＝0（舍去），s2＝1， ∴， ∴点E的坐标为或； （3）存在， 如图2，在第一象限内取点P，过点P作PN∥y轴，交BC于N，过点P作PM∥BC，交y轴于M， ∴四边形CMPN是平行四边形， ∵四边形CMPN是菱形， ∴PM＝PN， 过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q， ∵OC＝OB，∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝45°， ∴∠PMC＝45°，设点， ∴PQ＝m，， 设直线BC 的解析式为y＝ax+c， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， ∵PN∥y轴， ∴N（m，﹣m+4）， ∴， ∴， 解得：m＝0（舍）或m＝4﹣2， ∴N点坐标为（）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解． 37．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的图象与轴交于点，，，且． （1）当，且时， ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①当、的值分别为2、；②； （2）证明见解答． 【分析】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当时，随的增大而减小，当时，，当时，，则，即可求解；当时，同理可解； （2）、是一元二次方程的两个根，，，则，即，即可求解． 【解答】（1）解：①当，则抛物线经过点，且， 则，解得： 即、的值分别为2、； ②， 当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， 则， 方程无解； 当时，的最小值为，最大值为， 则， 解得：（舍去）或1； （2）证明：，且， ， ， 、是一元二次方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 38．（2024•仓山区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点、、都在该抛物线上，且总有，求的取值范围． （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛线，新抛物线与轴的正半轴交于点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不在，则说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点，坐标为或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当点在对称轴上或右边时，即，即可求解；②当点在对称轴左边时，则，即可求解； （3）当点在轴下方时，延长交于点，过点作轴，垂足为，证明，，得到，即可求解；如图，当点在轴上方时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得： ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）抛物线 开口向上，且点、、都在该抛物线上，且总有， 点始终位于对称轴的左边，点始终位于对称轴的右侧． ①当点在对称轴上或右边时，， 解得：； ②当点在对称轴左边时，， ， 综上所述：； （3）存在点，使得，理由如下： 抛物线 沿射线方向平移 个单位长度，，， ，， ， 抛物线向左右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ， ， 如图，当点在轴下方时，延长交于点，过点作轴，垂足为， ，，， ，， 设，则， 则，，， ，， 则， 解得： 或（与点重合，舍去）， ； 如图，当点在轴上方时，过点作轴，垂足为， 同理得， ，， ，， 设，则，， ， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故； 综上，点的坐标为或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 39．（2024•玉山县二模）已知抛物线的顶点为，直线与轴、轴分别交于点，． （1）若抛物线与轴只有一个公共点，求的值． （2）当时，设的面积为，求关于的函数关系式． （3）将抛物线绕点旋转得到抛物线，其顶点为点． ①若点恰好落在直线上，求与满足的关系式； ②当时，旋转前后的两个二次函数的值都会随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①； ②． 【分析】（1）先得出抛物线的顶点为，根据抛物线与轴只有一个公共点，建立方程求解即可； （2）过点作轴，交于，交轴于，分两种情况：①如图1，当即时，点在直线的右方，②当即时，点在直线的左方，分别求得答案即可； （3）①点绕点旋转得到点，可得点为中点，设，则有，，即，，代入，即可求得答案； ②由题意得当抛物线开口向上时，在的范围内满足随增大而减小，旋转后抛物线开口向下，且顶点，利用二次函数的性质列出不等式即可求得答案． 【解答】解：（1）， 抛物线的顶点为， 抛物线与轴只有一个公共点， ， ； （2）过点作轴，交于，交轴于， 点在直线上， 且，即点一定在点上方， ， 直线与轴，轴分别交于点，， ，，， ①如图1，当即时，点在直线的右方， ， ②当即时，点在直线的左方， ， 综上所述，； （3）①点绕点旋转得到点， 点为中点， 设，则有，， 整理得：，， 点在直线上， ， 整理得：； ②旋转前抛物线对称轴为直线， 当抛物线开口向上时，在的范围内满足随增大而减小， 旋转后抛物线开口向下，且顶点， 要满足在的范围内随增大而减小，即抛物线下降， 对称轴直线需在左侧， ， 解得：． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数中的面积问题，中心对称，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 40．（2024•泰山区二模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接，，点为第三象限抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，，的面积记为，的面积记为，当时，求出直线的解析式； （3）如图2，抛物线的顶点为，连接，是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）直线的解析式为； （3）点的坐标为． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴的平行线分别交、于、，运用待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为，设，，则，，，，根据，建立方程求解可得，再运用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）过点作轴，过点作于，过点作于，可证得，可得，建立方程求解即可求得答案． 【解答】解：（1）抛物线交轴于、两点，交轴于点， 设，将代入得：， 解得：， ， 故抛物线的表达式为； （2）如图1，过点作轴的平行线分别交、于、， 设直线的解析式为，把、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为； （3）， 抛物线的顶点为， 如图2，过点作轴，过点作于，过点作于， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ，即， ， 设，，则，， ， 解得：，， ， ， 当时，， 点的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 41．（2024•南沙区二模）已知抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标； （3）若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）先求得，，的坐标，进而得出是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出是等腰直角三角形，即可求解； （3）根据在该抛物线上，则，由当时，总有，分点在，之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）把点，2吗代入抛物线，得： ， ； （2）， ， 当时，， 解得：或， ，在的左侧， ，， 令，则， ， 为等腰直角三角形， ， ，，，共圆， ， 也是等腰直角三角形， ， ； （3）抛物线的对称轴直线为：， ， 在抛物线对称轴的左侧， ，， 一定也在抛物线对称轴的左侧， 取和关于抛物线对称轴的对称点，， ，， 当在抛物线对称轴左侧时， ， ， ， ； 当在抛物线对称轴右侧时， ， ， ， 综上所述，或． 【点评】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质、二次函数的最值以及圆周角定理是本题解题的关键． 42．（2024•前郭县校级模拟）如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）①． ②的值为或． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）令，得，解方程即可求得答案； （3）①先证得，可得，即，化简即可； ②利用待定系数法可得直线的解析式为，则，进而得出：轴，，分两种情况：当为正方形的边时，当为正方形的对角线时，分别求出的值即可． 【解答】解：（1）将代入，得：， 解得：， 此抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得：或， 点的坐标为； （3）①轴，轴， ， ， ， ， 点为线段上方抛物线上的一个动点，点的横坐标为， 点的坐标为， 轴，点的坐标为， ， ， ． ②设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 则， 由①得， 设，， 、的纵坐标相同， 轴，， 当为正方形的边时， 则， 解得：； 当为正方形的对角线时， 则， 解得：； 综上所述，当以点、、、为顶点的四边形是正方形时，的值为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质等，第（3）②要注意分类讨论，防止漏解． 43．（2024•南关区三模）已知，在以点为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为，且经过点与轴分别交于、两点． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）如图1点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值； （3）如图2，过点的直线交轴于点，且轴．点是抛物线上、之间的一个动点，直线、分别与交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：；直线的解析式为； （2）有最大值，最大值为； （3）为定值8，理由见解答． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设，，则的横坐标为，纵坐标为，由轴，得：，则，即可求解； （3）证明，得到，同理可得：，即可求解． 【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为，设二次函数的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 则； 设直线的解析式为，过点，则， 解得：， 那么直线的解析式为； （2）设，， 则的横坐标为，纵坐标为， 由轴，得：， 则， 当时，有最大值，最大值为； （3）为定值．理由如下， 如图，过点作轴交轴于点， 在中，令解得或， 故，， 设，则，，， ， ， ， ， 同理，， ， ， ， 故是定值，且为8． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质． 44．（2024春•锦江区校级月考）已知二次函数的图象关于轴对称，且与轴交于点，． （1）求二次函数的解析式； （2）该二次函数图象与轴交于点，在轴上另有一个动点，连接，求的最小值，并写出此时点的坐标； （3）在轴上还有一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，若的纵坐标为，求点的横坐标． 【答案】（1）； （2）点； （3）12． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由为最小，即可求解； （3）证明，得到，即可求解． 【解答】解：（1）二次函数的图象关于轴对称，则， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则二次函数的表达式为：； （2）过点作于点，作轴于点， 由点、、，知，为等边三角形， 则， 则， 此时为最小， 则， 则点； （3）由点、的坐标得，，，， 如图，取点，使， ， 而， ， ， ， ， 则，而， 则， 则， 即点的横坐标为12． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、解直角三角形、最值问题，综合性强，难度适中． 45．（2024•姑苏区校级二模）如图，已知函数与轴交于点、，与轴交于点，连接、． （1）该抛物线的顶点坐标为 　　；（用的代数式表示）； （2）如果点关于直线的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时的值； （3）在（2）的条件下，在轴上有一动点，横坐标为，过点作轴的垂线，请问若在直线上有且只有一个点，使得，此时的值为多少． 【答案】（1）； （2）； （3）3或． 【分析】（1）利用配方法得到顶点坐标即可； （2）先求出、和的坐标，设对称轴与轴交于点，连接，然后根据轴对称得到的长，再根据△得到解题即可； （3）以为直径作圆，则满足的点在圆的切线上，然后根据切线的性质解题即可． 【解答】解：（1）， 抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； （2）如图，设对称轴与轴交于点，连接， 令，则或， 点、的坐标分别为：、， 当时，， 点的坐标为， 关于直线的对称点正好落在抛物线对称轴上， ，， ， ， ， 又， △， ，即， 解得； （3）当时，， 点的坐标为，， ， 以为直径作圆， 点的坐标为， 直线上有且只有一个点，使得， 直线与圆相切于点， 如图，当直线在点右侧时，连接， 则，， ； 同理当当直线在点左侧时，； 综上所述，满足题意的值为3或． 【点评】本题考查二次函数的综合题，掌握二次函数的图象和性质、三角形相似和判定、勾股定理是解题的关键． 46．（2024•开福区校级三模）已知将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点，研究发现，当上述点在某函数图象上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．根据上述知识完成下列问题： （1）如图1，，，点绕顺时针旋转后，得到的点的坐标为 　　；（直接写出答案） （2）如图2，设，，点是反比例函数的图象上的动点，点绕顺时针旋转后得到的点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积． （3）如图3，设，，点是二次函数图象上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的面积为． （3）的面积有最小值为． 【分析】（1）根据旋转的性质即可得出答案； （2）设双曲线与二、四象限平分线交于点，通过联立方程组求出点的坐标，再分两种情况：①当时，作轴于，证明△，再运用三角形面积公式即可求出答案；②当时，作轴于点，同理可得到答案； （3）连接，，将，绕点逆时针旋转得，，作轴于点，证明△，利用待定系数法求出的函数表达式为：，设过且与平行的直线解析式为，由于，当直线与抛物线相切时取最小值，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【解答】解：（1）如图1，，， 轴，， 由旋转可得：轴，， ； 故答案为：； （2）设双曲线与二、四象限角平分线交于点， 则，解得：， ． ①当时， 过点作轴于，连接，过点作于点，如图2， ， ， ， ， 在和△中， ， △， ， 即． ②当时， 过点作轴于点，过点作于点，如图3， ， ， ， ， ， 同理可得：△， ， 综上所述，的面积为． （3）的面积有最小值， 如图4，连接，，将，绕点逆时针旋转得，，作轴于点， ，，， ，， ， 为等边三角形，此时与重合，即， 连接， ， ， 在△和中， ， △， ，， 作轴于， 在△中，， ， ， ，，此时的函数表达式为：， 设过且与平行的直线解析式为， ， 当直线与抛物线相切时取最小值， 则， 即， ， 当△时，得， ， 设与轴交于点，连接， ， ． 【点评】本题考查了待定系数法，一次函数图象和性质，反比例函数图象，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，等边三角形性质等知识，是中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 47．（2024•渠县校级三模）抛物线与轴交于点，，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为线段上方抛物线上的一动点（点不与点，重合），过点作轴交直线于点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）； （2）存在点，使得，点的坐标为或； （3）的最大值，此时点的坐标为． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用正切函数定义可得，当点在轴上方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于，利用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组求解即可求得点的坐标；当点在轴下方时，在的负半轴上取点，连接交抛物线于，同理可求得点的坐标； （3）运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，再证得，由相似三角形性质可得，进而得出，再利用二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）， 当时，， ， ， ， ， 在中，， 当点在轴上方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于，如图1， 则， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； 当点在轴下方时，在的负半轴上取点，连接交抛物线于，如图2， 则， ， ， 同理可得：直线的解析式为， 联立方程组得， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或； （3）如图3，记周长为，周长为， ，， ，，， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 轴， ， 轴，即轴， ， ， ， ， 当时，的最大值，此时点的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 48．（2024•东莞市校级三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求，两点间距离的最大值； （3）如图2，连接，在抛物线上存在点，使，请直接写出符合题意的点坐标． 【答案】（1）； （2）的最大值为：； （3）点的坐标为，或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先证明是等腰直角三角形，可得，设点，则点，由，即可求解； （3）当点在下方时，证明，则，得到，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， 轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点、的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）当点在下方时，如图，设交轴于点， ，， ， ， ，即， ， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点，； 当点在上方时，如图，过点作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 则， ， ， ， ， ， ， ， ，， 直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点的坐标为，或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数综合运用，解直角三角形，最值的确定等，分类求解是解题的关键． 49．（2024•大冶市模拟）如图，抛物线，过点，，与轴交于点，为轴上方抛物线上的动点，的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）如图（1）若直线把的面积分成的两部分，求的值． （3）如图（2）若直线与直线相交于点，且． ①试求关于的函数解析式． ②请根据的不同取值，探究点的个数． 【答案】（1）． （2）点的横坐标的值为或． （3）①． ②当时，对的每个取值，点有3个；当时，符合条件的点有2个；当且时，对的每个取值，点有1个；当或时，不存在点． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）根据直线把的面积分成的两部分，可得或，由此可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，再联立解析式求出交点坐标即可； （3）①先运用待定系数法求出直线的解析式为，再分当点在第一象限，即时，当点在第二象限，即时，分别求出关于的函数解析式即可； ②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【解答】解：（1）抛物线，过点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）若直线把的面积分成的两部分， 当时，则， ， 过点作轴，交轴于点， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 联立抛物线和直线解析式得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的横坐标； 当时，则， ， 同理可得：，直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的横坐标； 综上，若直线把的面积分成的两部分，点的横坐标的值为或． （3）①过点作轴，交于点，过点作轴，交于点， 、， 直线的解析式为， 当时，，即， ， 当时，，， 轴，轴， ， ， ， 当点在第一象限时，即，， ； 当点在轴上时，，此时点、、均与点重合，， ； 当点在第二象限时，即，， ； 综上所述，关于的函数解析式为． ②与的图象如图所示，由图象可知：， 当时，， 当时，的最大值是， 由图象可知： 当时，对的每个取值，点有3个； 当时，符合条件的点有2个； 当且时，对的每个取值，点有1个； 当或时，不存在点． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，根据分段函数画出函数图象，结合图象得出点的个数是解题关键． 50．（2024•齐齐哈尔）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点的抛物线与轴的另一个交点为点，点是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点分别作轴和轴的平行线，分别交直线于点，点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标； （3）当时，求点的坐标； （4）在（3）的条件下，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】（1）； （2）点，或； （3）点； （4）． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2），，，则或，即或，即可求解； （3）、、、共线，，则，即可求解； （4）作点关于轴的对称点，将点向右平移的长度），得到点，，连接交抛物线对称轴于点，过点作轴于点，连接，则为最小，即可求解． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，则点、的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）设点， 由点、、的坐标得，，，， 则或， 即或， 解得：或4（舍去）或， 即点，或； （3）设点， 当，则，即点，， 、、、共线，， 则， 即， 解得：， 即点； （4）作点关于轴的对称点，将点向右平移的长度），得到点，， 连接交抛物线对称轴于点，过点作轴于点，连接， 且，则四边形为平行四边形，则， 则为最小，最小值为， 故答案为：． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$