第22章 二次函数 基础题过关检测★【9个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 基础题过关检测★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．二次函数的图象 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．二次函数的最值 七．抛物线与x轴的交点 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 考点精讲精练 一．二次函数的图象 · 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 1．（2024•深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•崇川区校级月考）已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 二．二次函数的性质 · 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 3．（2024•历下区校级模拟）对于代数式、，定义一种新运算：． ①若，则或； ②若、是一元二次方程的两个根，则； ③若二次函数在内有最小值，则； ④若的函数图象与直线有两个交点，则； 以上结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有　　 A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 5．（2024春•江宁区校级月考）已知二次函数为常数），则下列结论正确的有 　　． ①抛物线开口向下； ②抛物线与轴交点坐标为； ③当时，随增大而增大； ④抛物线的顶点坐标为． 6．（2024春•拱墅区期末）在二次函数中，当时，则的取值范围是 　　． 7．（2024•大庆二模）如图，二次函数为常数）的图象的对称轴为直线．则的值为 　　． 8．（2024•沭阳县校级二模）定义：，，为二次函数的特征数，下面给出特征数为，，的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而增大，其中所有正确结论的序号是 　　． 9．（2024•南阳二模）已知、是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 　　． 10．（2024•兴城市模拟）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 　　； ②函数的“最优纵横值”为 　　； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7求的值． 11．如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）当点与抛物线的顶点重合，求点的坐标． （2）当与轴平行时，求点与点的纵坐标的和． （3）设此抛物线在点与点之间部分（包括点，的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 三．二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12．（2024•邯郸一模）对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是　　 A． B．0 C． D．2 13．（2024•绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②为任意实数）； ③； ④若，、，是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024春•鼓楼区校级期末）已知抛物线上的三点，，，，，，若总有成立，则，，的值分别可以是　　 A．1，2，3 B．，0，2024 C．，， D．，， 15．（2024春•乐陵市校级月考）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024•城厢区校级一模）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 17．（2024•湖北）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是　　 A． B． C． D． 18．（2024•余姚市校级四模）关于二次函数（其中有以下论述，正确的是　　 ①当时，对称轴为直线． ②函数图象与轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 19．（2024•茅箭区校级二模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 20．（2024•武汉模拟）抛物线，，是常数）与轴的正半轴相交，其顶点坐标为，．下列四个结论：①；②；③；④点，在抛物线上，则．其中正确结论是 　　（填写序号）． 21．（2024•邯郸二模）在平面直角坐标系中，有直线，为常数）和抛物线，为常数） （1）直线经过的定点坐标为 　　； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 　　． 22．（2024•文山州一模）已知二次函数的图象经过、两点． （1）求证：； （2）若为整数，为正整数，当时，对应函数值有且只有9个整数，求、的值． 四．二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 23．（2024•赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 24．（2024•临淄区二模）如图，分别过点，，2，，作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为　　 A． B． C． D． 五．二次函数图象与几何变换 · 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 25．（2024•柳北区校级四模）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线　　 A． B． C． D． 26．（2024•沭阳县一模）将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 27．（2024•沁县三模）将抛物线平移，使顶点移动到点的位置，则平移后抛物线的表达式为 　　（写成顶点式即可）． 28．（2024•阿城区三模）将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 　　， 六．二次函数的最值 · 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 29．（2024春•鄞州区校级期末）若当时，二次函数的最小值为0，则　　 A． B． C． D．或 30．（2024•瑞安市二模）已知，，当时，则的最大值为 　　． 31．（2024•中江县一模）函数的最小值是　　． 32．（2024•宿城区二模）若实数，满足关系式，且，则的取值范围为 　　． 七．抛物线与x轴的交点 · 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 33．（2024春•永修县期中）关于二次函数现给出以下结论： ①函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为； ②当时，函数图象的顶点坐标是； ③当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； ④当，时，随的增大而减小． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的部分对应值如下表所示： 3 4 0 则当时，的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 35．（2024•绿园区校级三模）若抛物线为常数）与轴有两个公共点，则的取值范围为 　　． 36．（2024•商水县三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）已知是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），连接，，，在点运动的过程中：①求的取值范围；②若，请直接写出的值． 37．（2024•梁园区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若此抛物线点右侧的部分（不含点上恰好有三个点到轴的距离均为2，请直接写出的取值范围． 八．二次函数的应用 · 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 38．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 39．（2024•喀什地区二模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度为 　　． 40．（2024•垦利区模拟）如图1是莲花由景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 　　． 41．（2024•河东区二模）某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价（元件）与年销售量（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为万元．（毛利润销售额生产费用） （1）求出与以及与之间的函数关系式； （2）求与之间的函数关系式； （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 42．（2024•朝阳区校级二模）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量（千克）与销售单价（元之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 43．（2024•罗湖区校级模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以、两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 44．（2024•新疆）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：；成本（万元）与销售量（吨的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （注：利润销售额成本） 45．（2024春•仁寿县校级期中）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高1元，其销售量就减少20件，问： （1）应将商品涨价多少元，才能使每天的利润为640元？ （2）店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出最大利润为多少元？ 46．（2024•抚州一模）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． （1）求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？ 47．（2024•砀山县二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．（1）求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； （2）当时，求该龙舟划行的总路程； （3）冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 48．（2024•永城市校级二模）小江自制了一把水枪（图，他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． （1）求该抛物线的表达式． （2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ （3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，的值总大于2，请直接写出的取值范围． 九．二次函数综合题 · 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 49．（2024•西华县三模）如图，抛物线与坐标轴交于点，两点，直线与抛物线交于点，两点，已知点的坐标为． （1）求和的值； （2）求出点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向上平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 50．（2024•深圳模拟）【项目式学习】 项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰 项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前2000年美索不达米亚地区的砖拱，公园前200年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近28米、高40米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱． 项目素材： 素材1：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面40米）的抛物线拱（图（a）为其中一处抛物线拱截面）．在图（a）的抛物线拱截面距离地面20米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁． 素材2：图（b）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形装饰品，要求，两点在抛物线上在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直． 素材3：如图（c），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为8米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点． 项目任务： 任务1：素材1中横梁的长度是多少米？（结果若有根号则保留根号） 任务2；素材2中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 　　米． 任务3：在素材3中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离． 第22章 二次函数 基础题过关检测★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．二次函数的图象 1．（2024•深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【解答】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 2．（2024春•崇川区校级月考）已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的开口方向即可求解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线的开口向上， 当，随的增大而减小， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 二．二次函数的性质 3．（2024•历下区校级模拟）对于代数式、，定义一种新运算：． ①若，则或； ②若、是一元二次方程的两个根，则； ③若二次函数在内有最小值，则； ④若的函数图象与直线有两个交点，则； 以上结论正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】将定义的新运算转化成一元二次方程 ①利用因式分解法解方程； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入变形后的代数式即可； ③由定义的新运算可得二次函数，然后根据二次函数的性质和二次函数的最值即可求解的值； ④数形结合即可求得的取值范围． 【解答】解：①， ， 即， ， 解得：，， 故是正确的； ②由定义的新运算可得： ， 即， 、是一元二次方程的两个根， ，， ； 故是正确的； ③由定义的新运算可得： 二次函数， ， 函数的顶点为，， 二次函数在内有最小值， ； 故错误； ④由定义的新运算可得：函数， 令，则，解得， 函数的图象与轴的交点为，，，， 把，代入，解得， 把，代入，解得， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 令，整理得， 若△时，的函数图象与直线有三个交点， 即，解得， 当时，的函数图象与直线有两个交点， 故若的函数图象与直线有两个交点，则或； 故错误； 故选：． 【点评】本题考查定义的新运算，二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 4．（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有　　 A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 【答案】 【分析】根据二次函数为常数）的图象经过点，可以得到的值，然后根据对称轴在轴的右侧，可以得到的值，从而可以得到二次函数的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最值． 【解答】解：二次函数为常数）的图象经过点， ， 解得或， 对称轴在轴的左侧，， ， ， 二次函数， 该函数的最大值为7， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质求最值． 5．（2024春•江宁区校级月考）已知二次函数为常数），则下列结论正确的有 　①②④　． ①抛物线开口向下； ②抛物线与轴交点坐标为； ③当时，随增大而增大； ④抛物线的顶点坐标为． 【答案】①②④． 【分析】利用二次项系数判断开口方向；代求出与轴交点坐标；计算出对称轴判断增减性；利用对称轴算出顶点坐标即可． 【解答】解：二次函数为常数）， 该抛物线开口向下，故①正确； 抛物线与轴交点坐标为，故②正确； 该抛物线的对称轴是直线，故无法判断时，随增大如何变化，故③错误； 抛物线的顶点坐标为，故④正确； 故选：①②④． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题关键． 6．（2024春•拱墅区期末）在二次函数中，当时，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时的取值范围． 【解答】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．（2024•大庆二模）如图，二次函数为常数）的图象的对称轴为直线．则的值为 　3　． 【答案】3． 【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得的值即可． 【解答】解：由二次函数为常数）知，该抛物线与轴的交点坐标是和． 对称轴为直线， ． 解得， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象和性质，抛物线与轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键． 8．（2024•沭阳县校级二模）定义：，，为二次函数的特征数，下面给出特征数为，，的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而增大，其中所有正确结论的序号是 　①②③④　． 【答案】①②③④． 【分析】根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为．①写出对称轴方程后把代入即可判断；②把代入即可判断；③根据开口方向即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断． 【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为，，的二次函数的表达式为． 此抛物线的对称轴为直线， 当时，对称轴为直线，即轴．故①正确； 当时，此二次函数表达式为，令，则， 函数图象过原点，故②正确； 当时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确； ， 对称轴，抛物线开口向下， 在对称轴的左侧，随的增大而增大． 即时，随的增大而增大． 而， 当时，随的增大而增大，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础． 9．（2024•南阳二模）已知、是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 　　． 【分析】已知、是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 【解答】解：，是抛物线上两点， ，， 解得：，， 即抛物线的解析式为：， 故抛物线的顶点坐标是：， 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 10．（2024•兴城市模拟）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 　8　； ②函数的“最优纵横值”为 　　； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7求的值． 【答案】（1）①8；②； （2）； （3）的值为或6． 【分析】（1）①根据可得“纵横值”； ②计算，得，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得，则，所以，由最优纵横值为5，即可得出，解得； （3）由题意可知，则，，由当时，二次函数的最优纵横值为7，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）①点的“纵横值”为， 故答案为：8； ②， ， ， 时，的最大值是， 函数的“最优纵横值”为； 故答案为：； （2）二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， 最优纵横值为5， ， ； （3）二次函数的顶点在直线上， ， ， ， 当时，二次函数的最优纵横值为7， 当，即时，则时，有最大值为7， ， 解得或（舍去）， 当，即时，则时，有最大值为7， ， 解得或（舍去）． 故的值为或6． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． 11．如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）当点与抛物线的顶点重合，求点的坐标． （2）当与轴平行时，求点与点的纵坐标的和． （3）设此抛物线在点与点之间部分（包括点，的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 【答案】（1）点的坐标为； （2）点与点的纵坐标的和为； （3）的值为． 【分析】（1）化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得，则的横坐标为，把代入解析式即可求得的纵坐标； （2）利用抛物线的对称性求得，代入解析式求得的纵坐标，进而即可求得点与点的纵坐标的和为：； （3）分三种情况：，则，不合题意；当时，当时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）， 顶点为， 点与抛物线的顶点重合， ， ， 把代入得，， 点的坐标为； （2）当与轴平行时，则点，的纵坐标相同，两点关于对称轴直线对称， ， ， 点的纵坐标为， 点与点的纵坐标的和为：； （3）若，则，与矛盾，不合题意； 最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为， 最高点与最低点的纵坐标之差为， ， 解得， ，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为 则， 解得：或（舍去）． 综上所述，的值为． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等，熟练运用二次函数的图象和性质是解题关键． 三．二次函数图象与系数的关系 12．（2024•邯郸一模）对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是　　 A． B．0 C． D．2 【答案】 【分析】画出一次函数与二次函数的相关函数的图象，利用数形结合的思想解答即可． 【解答】解：直线与轴的交点为， 二次函数的相关函数为， 一次函数与函数恰有两个交点，如图所示： 由图象知，当时，与恰有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 即， △， ， 的取值范围为， 可能的值为2， 当时，如图： 当时，一次函数与函数恰有两个交点， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答． 13．（2024•绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②为任意实数）； ③； ④若，、，是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①错误． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有②③共2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 14．（2024春•鼓楼区校级期末）已知抛物线上的三点，，，，，，若总有成立，则，，的值分别可以是　　 A．1，2，3 B．，0，2024 C．，， D．，， 【答案】 【分析】依据题意，由可得抛物线的对称轴是直线，又，从而可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合对于三点，，，，，，若总有，故，进而将、、、四个选项代入判断可以得解． 【解答】解：由题意，， 抛物线的对称轴是直线． ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又对于三点，，，，，，若总有， ． 再分别将选项，，，代入上面不等式， 代入后，，要根据的范围才能保证不等式成立，故不正确； 代入后，，要看的范围才能保证不等式成立，故不正确； 代入之后，，与矛盾，故不正确； 代入之后，，不等式成立，符合题意，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．（2024春•乐陵市校级月考）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断； ②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断； ③利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为，，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断； ④根据根的判别式即可判断． 【解答】解：①抛物线的顶点的坐标为， ， ，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ， 当时，， ， 故①正确，符合题意； ②直线是抛物线的对称轴， ， ， ， 由图象可得：当时，， ， 故②错误，不符合题意； ③直线是抛物线的对称轴， 设，两点横坐标与对称轴的距离为，， 则，， ， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ， 故③正确，符合题意； ④关于的一元二次方程无实数根， △， ， ， ， 故④正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质 16．（2024•城厢区校级一模）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，根据且时，都有，可以得到，然后利用分类讨论的方法，即可得到的取值范围． 【解答】解：由可得， ， 整理，得：， 且， 当时，则， 即， 解得， ． 当时，则，此时无解； 由上可得，， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．（2024•湖北）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，由抛物线与轴的交点位于轴上方，可令，，故可判断；又抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，即，故，，结合， 故可判断、；由顶点为，从而当时，，故可判断． 【解答】解：由题意，抛物线与轴的交点位于轴上方， 令，，故错误． 又抛物线的顶点为， 可设抛物线为． ． ，． ， ，即，故错误． 顶点为， 当时，，故正确． ，， ，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 18．（2024•余姚市校级四模）关于二次函数（其中有以下论述，正确的是　　 ①当时，对称轴为直线． ②函数图象与轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴公式，可求出当时抛物线的对称轴；利用根的判别式即可得出函数图象与轴的交点情况；根据函数图象过定点时与及的取值无关即可解决问题． 【解答】解：因为， 所以抛物线的对称轴为直线． 故①正确． 令得， ， 则△， 因为， 所以△， 则函数图象与轴必有两个不同的交点． 故②正确． 因为， 由得， ，． 由得， ， 所以当时，， 即函数图象过定点． 故③正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 19．（2024•茅箭区校级二模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】 【分析】由抛物线开口和抛物线与轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点可判断②，由抛物线对称轴为直线可得，由可得，从而判断③， 点对称点横坐标为可判断④． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①正确． 抛物线顶点为， 抛物线对称轴为直线， 抛物线过点， 由对称性可得抛物线经过点， ，②错误， ， ， ， 为抛物线顶点， ， ，即，③正确， 点在抛物线上， 点关于对称轴对称点在抛物线上， 为的一个根，④错误． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 20．（2024•武汉模拟）抛物线，，是常数）与轴的正半轴相交，其顶点坐标为，．下列四个结论：①；②；③；④点，在抛物线上，则．其中正确结论是 　①③④　（填写序号）． 【答案】①③④． 【分析】根据题意可知：，，令代入得：，从而可知，再由抛物线的图象性质可知抛物线与轴的其中一个交点位于与之间，从而可知时，对应的函数值不能判断与0的大小关系．将点，代入抛物线可得，化简后判断与0的大小关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：，， ， 令代入得：， ， ， ①由于，， ，故①符合题意． ②由题意可知：抛物线与轴的其中一个交点位于与之间， ，与0的大小关系不确定， 与0的大小关系不能确定，故②不符合题意． ③令代入得：， ， ，故③符合题意． ④由题意可知：， ， ， ， ，即，故④符合题意． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是正确根据题意得出该二次函数的图象信息，然后根据图象的相关信息去判断结论是否符合题意，本题属于中等题型． 21．（2024•邯郸二模）在平面直角坐标系中，有直线，为常数）和抛物线，为常数） （1）直线经过的定点坐标为 　　； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 　　． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得的取值． 【解答】解：（1）直线，当时，， 直线经过的定点坐标为； 故答案为：； （2）抛物线与轴的交点为，， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， 满足题意； 当时， 无论为何值，直线和抛物线总有公共点， 时，，即， 解得， 满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． 22．（2024•文山州一模）已知二次函数的图象经过、两点． （1）求证：； （2）若为整数，为正整数，当时，对应函数值有且只有9个整数，求、的值． 【答案】（1）见解答； （2）时；时，． 【分析】（1）将点和点代入解析式，化简得证结论； （2）将和分别代入解析式，然后将函数值作差列出方程，结合为整数和为正整数求和的值． 【解答】（1）证明：二次函数的图象经过、两点， ， 化简得； （2）解：，，为正整数， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，对应函数值有且只有9个整数， ， 化简得：， 为整数，为正整数， 时；时，． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是将的值代入解析式，然后利用消元的方法化简求解． 四．二次函数图象上点的坐标特征 23．（2024•赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2024•临淄区二模）如图，分别过点，，2，，作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 五．二次函数图象与几何变换 25．（2024•柳北区校级四模）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 26．（2024•沭阳县一模）将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式． 【解答】解：抛物线向左平移5个单位长度得到，再向上平移6个单位得到． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键． 27．（2024•沁县三模）将抛物线平移，使顶点移动到点的位置，则平移后抛物线的表达式为 　　（写成顶点式即可）． 【答案】． 【分析】根据二次函数平移的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线平移，使顶点移动到点的位置， 抛物线向左平移3个单位，向上平移1个单位即可， 平移后抛物线的表达式为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的顶点式，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 28．（2024•阿城区三模）将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 　　， 【答案】 【分析】根据顶点式确定抛物线的顶点坐标为，再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为，于是得到移后抛物线解析式为，然后求平移后的抛物线与轴的交点坐标． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 把点向右平移2个单位得到点的坐标为， 所以平移后抛物线解析式为， 所以得到的抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式是解题的关键． 六．二次函数的最值 29．（2024春•鄞州区校级期末）若当时，二次函数的最小值为0，则　　 A． B． C． D．或 【答案】 【分析】分两组情况讨论，当时，则当时，有最小值求得；当时，则时，有最小解得，即可求得． 【解答】解：， 图象的对称轴为， 当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，， 解得， 当时，抛物线开口向上，在时，随的增大而减小， 时，有最小值，， 解得（不合题意，舍去）， 综上，． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 30．（2024•瑞安市二模）已知，，当时，则的最大值为 　10　． 【分析】首先求出的函数解析式，然后由进一步得出的取值范围即可． 【解答】解：， ， ， 当时，函数有最小值，等于，当时，由最大值； 故答案为：10． 【点评】此题考查二次函数的最值，利用配方法求得二次函数最值是常用的基本方法． 31．（2024•中江县一模）函数的最小值是　　． 【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解． 【解答】解：， ，由知，当时，函数取得最小值， 故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的最值，求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 32．（2024•宿城区二模）若实数，满足关系式，且，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【分析】由实数，满足关系式，且，得出，由，求得，利用二次函数的性质即可得出． 【解答】解：实数，满足关系式，且， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键． 七．抛物线与x轴的交点 33．（2024春•永修县期中）关于二次函数现给出以下结论： ①函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为； ②当时，函数图象的顶点坐标是； ③当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； ④当，时，随的增大而减小． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】依据题意，当时，，从而函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为，故可判断①；当时，，从而此时该函数图象的顶点坐标是，，故可判断②；由， 进而令，则，可得或，从而函数图象截轴所得的线段长度为：，再结合，进而可以判断③；依据题意，由抛物线与轴交点为，，，结合对称轴是直线，又， 故，抛物线开口向下，进而可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以判断④． 【解答】解：由题意，当时，， 函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为，故①正确． 当时，， 此时该函数图象的顶点坐标是，，故②正确． ， 令，则． 或． 函数图象截轴所得的线段长度为：． ， ． 当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，故③正确． 由题意，抛物线与轴交点为，，， 对称轴是直线． ， ，抛物线开口向下． 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当，时，随的增大而减小，这个说法不正确，故④错误． 综上正确的有：①②③共3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 34．（2024•瓯海区校级三模）二次函数的部分对应值如下表所示： 3 4 0 则当时，的取值范围为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴，开口方向以及与轴的交点坐标；当时，函数图象在轴下方，据此求出的取值范围． 【解答】解：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线， ，在此二次函数的图象上， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与轴的交点为，， 当时，的取值范围为或． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的对称性质和增减性． 35．（2024•绿园区校级三模）若抛物线为常数）与轴有两个公共点，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【分析】依据题意，由抛物线与轴有两个公共点，可得△，计算即可得解． 【解答】解：由题意，抛物线与轴有两个公共点， △． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式进行解答是关键． 36．（2024•商水县三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）已知是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），连接，，，在点运动的过程中：①求的取值范围；②若，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②或． 【分析】（1）依据题意，由抛物线过，，从而可得，求出，可得抛物线的解析式； （2）①依据题意，根据（1）抛物线的解析式为，再令，则或，可得，又是直线下方抛物线上的一个动点，故，再结合抛物线为，可得当时，取最小值为，最后结合图象可得，即可判断得解； ②依据题意，由，，，从而，，又．结合，可得，再作轴于点，又，即，故，解方程即可得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线过，， ． ． 抛物线的解析式为． （2）①由题意，根据（1）抛物线的解析式为， 令，则或． ． 又是直线下方抛物线上的一个动点， ． 又抛物线为， 当时，取最小值为． 结合图象可得，当时， ． ②由题意，，，， ，． ． 又， ． 如图，作轴于点， 又，即 ． 或． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 37．（2024•梁园区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）若此抛物线点右侧的部分（不含点上恰好有三个点到轴的距离均为2，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线为，顶点坐标为；（2）． 【分析】（1）依据题意，由抛物线交轴于，两点，可得方程组，计算后可得函数解析式，再化成顶点式可得顶点坐标，进而得解； （2）依据题意，在中，令得，解得或，可得，，，，又在中，令得，解得或，可得，，，，再结合抛物线在点右侧的部分（不含点上，恰好有三个点到轴的距离为2，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线交轴于，两点， ． ． 抛物线为． 抛物线的顶点坐标为． （2）由题意，如图： 在中，令得，解得或， ，，， 在中，令得，解得或， ，，，， 抛物线在点右侧的部分（不含点上，恰好有三个点到轴的距离为2， 在点和之间的抛物线上（包含，不包含， ． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法，解题的关键是掌握二次函数的相关性质并能灵活应用． 八．二次函数的应用 38．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】令，解方程求出的值，即可判断①；求出的最大值，即可判断②；分别求出和时的值是，即可判断③． 【解答】解：①令，则， 解得，， 小球从抛出到落地需要， 故①正确； ②， ， 当时，有最大值，最大值为45， 小球运动中的高度可以是， 故②正确； ③时，， 时，， 小球运动时的高度大于运动时的高度， 故③错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果． 39．（2024•喀什地区二模）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度为 　2　． 【答案】2． 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由已知可得，点在此抛物线上， 则， 解得， ， 当时，， 解得， 此时水面的宽度为， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系． 40．（2024•垦利区模拟）如图1是莲花由景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 　　． 【分析】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可． 【解答】解：米， 当时，， 当水位上升5米时，， 把代入抛物线表达式得：， 解得， 此时水面宽， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 41．（2024•河东区二模）某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价（元件）与年销售量（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为万元．（毛利润销售额生产费用） （1）求出与以及与之间的函数关系式； （2）求与之间的函数关系式； （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 【答案】（1）与之间的关系式为，与之间的关系式为； （2）与之间的函数关系式为； （3）今年最多可获得毛利润1105万元． 【分析】（1）利用待定系数法可求出与以及与之间的函数关系式； （2）根据（1）的表达式及毛利润销售额生产费用，可得出与之间的函数关系式； （3）首先求出的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可． 【解答】解：（1）图①可得函数经过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 故与之间的关系式为， 图②可得：函数经过点、， 设，则， 解得：， 故与之间的关系式为； （2） ， 与之间的函数关系式为； （3）令，得， 解得：（负值舍去）， 由图象可知，当时，， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：今年最多可获得毛利润1105万元． 【点评】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般． 42．（2024•朝阳区校级二模）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量（千克）与销售单价（元之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与的函数关系式为； （2）当销售单价定为60元时，日销售利润最大，最大利润是400元． 【分析】（1）根据函数图象，用待定系数法求出函数解析式，并结合实际情况求出自变量的取值范围； （2）设日销售利润为元，根据日销售利润每千克的利润销售量列出函数解析式． 【解答】解：（1）设与的函数关系式为：， 把，代入得：， 解得， ， 令，则， 解得， 成本价为每千克40元， 自变量的取值范围为， 与的函数关系式为； （2）设日销售利润为元， 则， ， 当时，有最大值，最大值为400， 当销售单价定为60元时，日销售利润最大，最大利润是400元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，求出函数解析式是阶梯关键． 43．（2024•罗湖区校级模拟）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以、两种农作物为原料开发了一种有机产品．原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒产品的成本为30元； （2）当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． 44．（2024•新疆）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：；成本（万元）与销售量（吨的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （注：利润销售额成本） 【答案】（1）；（2）当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元；（3）当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 【分析】（1）依据题意，由顶点为，，可设抛物线为，又抛物线过，从而可得，进而得解； （2）依据题意，当销售量时，成本最低为，又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：，进而代入计算可以判断得解； （3）依据题意，利润，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，顶点为，， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． ． （2）由题意，当销售量时，成本最低为， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：， 当时，销售额为． 此时利润为（万元）． 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元． （3）由题意，利润 ． ， 当时，利润取最大值，最大值为7． 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 45．（2024春•仁寿县校级期中）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高1元，其销售量就减少20件，问： （1）应将商品涨价多少元，才能使每天的利润为640元？ （2）店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出最大利润为多少元？ 【答案】（1）应将商品应涨价6元或2元时，能使每天利润为640元； （2）商品应涨价4元，获得最大利润，最大利润为720元． 【分析】（1）设应将商品应涨价元时，才能使每天利润为640元，根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出方程，解方程即可； （2）根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出函数关系式，由函数性质求得利润最大值． 【解答】解：（1）设应将商品应涨价元时，才能使每天利润为640元， ， 解得：，． 答：应将商品应涨价6元或2元时，能使每天利润为640元； （2）根据题意得： ， 商品应涨价4元，获得最大利润，最大利润为720元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握． 46．（2024•抚州一模）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． （1）求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？ 【答案】（1）水管的长度为； （2）景观射灯与之间的水平距离为； （3）水管要升高． 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为．用顶点式设出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得二次项的系数，即可得到抛物线的解析式，取，求得的值即为水管的长度； （2）取，代入（1）得到的抛物线解析式，求得合适的值，即可求得景观射灯与之间的水平距离； （3）根据喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，可得新的抛物线的解析式的二次项系数，对称轴与（1）中的解析式中的二次项系数和对称轴完全相同，进而把代入可得顶点的纵坐标．取，求得水管顶端与轴的交点，减去3.2即为水管要升高的长度． 【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为． 设抛物线的解析式为：． 把点的坐标代入得：． 解得：． ． 当时，． 水管的长度为； （2）当时，． ． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 景观射灯与之间的水平距离为7 ． 答：景观射灯与之间的水平距离为． （3）设升高水管后，水柱所在的抛物线的解析式为． 经过点， ． 解得：． ． 当时，． ． 答：水管要升高． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：若所求的二次函数中有最高点（最低点），一般设函数解析式为顶点式，求解析式计算比较简便． 47．（2024•砀山县二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．（1）求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； （2）当时，求该龙舟划行的总路程； （3）冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【分析】（1）依据题意，把代入得出的值，再由图象可得启航阶段自变量的取值范围； （2）依据题意，设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； （3）依据题意，由（1）可知，把代入，求得．求出，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，把代入得， ． 又由函数图象可得，． （2）由题意，设，把代入，得， ． ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， ． 函数表达式为． 把代入， ． ． ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，解题时要能根据条件准确得到表达式是关键． 48．（2024•永城市校级二模）小江自制了一把水枪（图，他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． （1）求该抛物线的表达式． （2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ （3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，的值总大于2，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）水流能越过该障碍物；（3）． 【分析】（1）依据题意，抛物线顶点为，从而可设该抛物线的表达式为，再将点代入，得，可得，进而可以得解； （2）依据题意，当时，，又，故可以得解； （3）依据题意，由，可得抛物线的对称轴为直线，再结合二次函数的性质进行分和两种情形讨论计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线顶点为， 可设该抛物线的表达式为． 将点代入，得， ， 该抛物线的表达式为． （2）由题意，当时，． ， 水流能越过该障碍物． （3）由题意，， 抛物线的对称轴为直线． ①当，即时， 将代入，得， ． ． ②当，即时， 将代入，得， ． ． 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 九．二次函数综合题 49．（2024•西华县三模）如图，抛物线与坐标轴交于点，两点，直线与抛物线交于点，两点，已知点的坐标为． （1）求和的值； （2）求出点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向上平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）求出时的值，再观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）将点的坐标分别代入两个函数表达式得： ， 解得：， 故，； （2）联立一次函数和二次函数表达式得：， 解得：或， 即点， 观察函数图象知，不等式的解集为：； （3）如图，设点在抛物线上，则，即， 解得：或1， 当点在点的两侧时，若线段与抛物线有公共点， 则； 当点在点左侧时，若线段与抛物线有公共点， 则； 综上，线段与抛物线有公共点，点的横坐标为：或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 50．（2024•深圳模拟）【项目式学习】 项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰 项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前2000年美索不达米亚地区的砖拱，公园前200年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近28米、高40米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱． 项目素材： 素材1：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面40米）的抛物线拱（图（a）为其中一处抛物线拱截面）．在图（a）的抛物线拱截面距离地面20米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁． 素材2：图（b）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形装饰品，要求，两点在抛物线上在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直． 素材3：如图（c），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为8米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点． 项目任务： 任务1：素材1中横梁的长度是多少米？（结果若有根号则保留根号） 任务2；素材2中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 　35.1　米． 任务3：在素材3中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离． 【答案】任务； 任务； 任务． 【分析】（1）建立直角坐标系，，，，求出函数解析式，从而得出，坐标，得出长度； （2）将点坐标代入函数解析式中，求出结果，即可得到点距离地面的高度； （3）利用勾股定理进行求解． 【解答】解：任务1：如图（a）建立直角坐标系：则，，， 设抛物线的解析式为：， ， 解得：， ， 令，则有， 解得：， ，， （米； 任务2：如图连接交轴于， 由题意可得：， 设，则，， 抛物线解析式为， ，解得：或0（舍弃）， ， 点距离地面的高度是35.1米， 故答案为35.1； 任务3：如图：设圆的圆心为，连接，，，作于， ，， ， 半径为8米的圆形灯光饰品， 为圆的直径， ， ，所对的圆周角相等，即等于， ， ， ， ， ，， ， ， （米． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的实际应用，圆的有关概念和性质，有关圆的计算等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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