第21章 一元二次方程 基础题过关检测 讲义 -2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 基础题过关检测★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程−配方法 四．解一元二次方程−公式法 五．解一元二次方程−因式分解法 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．由实际问题抽象出一元二次方程 九．一元二次方程的应用 考点精讲精练 一．一元二次方程的定义 · 一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 1．（2023秋•龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•上城区期末）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•姑苏区期末）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 二．一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 4．（2024•邵东市三模）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为　　 A． B．2023 C． D．2024 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　 A．2 B． C．2或 D． 6．（2024春•莱芜区校级月考）已知是方程的根，则式子的值为 　　． 7．（2024春•瑶海区期末）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 　　． 8．（2024•东营一模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 　　． 9．（2024•抚州一模）如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是 　　（只写一个）． 10．（2024春•浙江期中）若是关于的方程的解，则的值为 　　． 11．（2024•宝安区二模）若是一元二次方程的一个根，则的值是 　　． 三．解一元二次方程−配方法 · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．12．（2024•荔湾区校级三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•合川区期末）解方程： （1）； （2）． 14．（2024•盐城三模）解方程：． 四．解一元二次方程−公式法 · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 15．（2024•武都区校级二模）方程的一个根是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•华安县校级期末）解方程：． 17．（2023秋•白银区期末）解方程： （1） （2） 五．解一元二次方程−因式分解法 · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 18．（2024•巴林左旗校级一模）下列哪个数是方程的解　　 A． B． C．2 D．5 19．（2024•贵州）一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 20．（2024•齐齐哈尔）解方程：． 21．（2023秋•梁园区期末）解方程． （1）； （2）． 22．（2024春•拱墅区期末）解方程： （1）； （2）． 23．解方程： （1）； （2）（配方法或公式法）． 24．（2024•鼓楼区校级模拟）解方程：（两种方法）． 六．根的判别式 · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 25．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 26．（2024春•浦东新区月考）下列方程中，有实数根的是　　 A． B． C． D． 27．（2024•麦积区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 28．（2024•中卫模拟）关于的一元二次方程有实根，则取值范围是 　　． 29．（2024•市南区校级二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值等于 　　． 30．（2024春•大观区校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 31．（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 七．根与系数的关系 · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 32．（2024•滨海新区二模）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 33．（2024•定州市三模）若一元二次方程的两个根是，，则的值是　　 A．3 B． C． D．4 34．（2024•庐阳区校级一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 　　． 35．（2024•景德镇二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 　　． 36．已知是关于的一元二次方程的一个根． （1）求． （2）求此方程的另一个根． 37．（2023•赤坎区校级模拟）已知方程是关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 八．由实际问题抽象出一元二次方程 · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 38．（2024•阿城区三模）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是　　 A． B． C． D． 39．（2024•溆浦县校级一模）2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元，则　　 A． B． C． D． 40．（2024春•海门区期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染台其他电脑，由题意列方程应为　　 A． B． C． D． 41．（2024•大连模拟）有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 ，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 42．（2024•长兴县模拟）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是　　 A． B． C． D． 43．（2024•高平市三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒从200元降至15元．若该药品每轮降价率相同．设每轮降价率为，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 44．（2024春•海州区校级月考）某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了525个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 　　． 45．（2024•潍坊一模）某厂生产一种产品起初的成本为225元件，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，根据以上信息列关于的一元二次方程为 　　． 46．（2024春•重庆期中）某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为 　　． 47．（2024•瑞昌市模拟）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 　　． 九．一元二次方程的应用 · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 48．（2024春•无为市月考）劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投入，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率． 49．（2024•淮北三模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为200元件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为128元件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 50．（2024•德庆县一模）在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率． 第21章 一元二次方程 基础题过关检测★【9个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的定义 1．（2023秋•龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：．方程是二元一次方程，选项不符合题意； ．方程是分式方程，选项不符合题意； ．方程是二元二次方程，选项不符合题意； ．方程是一元二次方程，选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（2024春•上城区期末）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可． 【解答】解：、是二元二次方程，故此选项不符合题意．； 、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项符合题意； 、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3．（2024春•姑苏区期末）下列方程中是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 二．一元二次方程的解 4．（2024•邵东市三模）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为　　 A． B．2023 C． D．2024 【答案】 【分析】将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：将代入原方程得：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　 A．2 B． C．2或 D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得且，解得的值即可． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．（2024春•莱芜区校级月考）已知是方程的根，则式子的值为 　2024　． 【答案】2024． 【分析】由方程的根的定义得，代入求值，即可求解． 【解答】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：2024． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解解的定义，能用整体代换法是解题的关键． 7．（2024春•瑶海区期末）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案． 【解答】解：把代入方程，得到， 所以， 所以代数式； 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8．（2024•东营一模）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 　　． 【答案】． 【分析】把代入方程中，解关于的一元二次方程，注意的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解答】解：把代入方程中，得 ， 解得或5， 当时，原方程二次项系数，舍去， 故符合题意． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念． 9．（2024•抚州一模）如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是 　（答案不唯一）　（只写一个）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】写出一个解为3的一元二次方程即可． 【解答】解：一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 10．（2024春•浙江期中）若是关于的方程的解，则的值为 　2021　． 【答案】2021． 【分析】将代入方程之中得，再将整体代入之中即可得出答案． 【解答】解：是关于的方程的解， ， 即， ． 故答案为：2021． 【点评】此题主要考查了一元一次方程解的定义，求代数式的值，理解一元一次方程解的定义，熟练掌握求代数式值的方法是解决问题的关键． 11．（2024•宝安区二模）若是一元二次方程的一个根，则的值是 　0　． 【答案】0． 【分析】把代入一元二次方程得到关于的方程，然后据诶关于的方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得， 即的值为0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解一元二次方程−配方法 12．（2024•荔湾区校级三模）用配方法解方程时，配方后所得的方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 13．（2023秋•合川区期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2）． 【分析】（1）公式法求解可得； （2）整理成一般式后，因式分解法求解可得． 【解答】解：（1），，， △， ； ，． （2）整理得：， ， 则或， ． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 14．（2024•盐城三模）解方程：． 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【解答】解： ，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握配方法． 四．解一元二次方程−公式法 15．（2024•武都区校级二模）方程的一个根是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【解答】解：，，， △， 则， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 16．（2023秋•华安县校级期末）解方程：． 【分析】根据一元二次方程的定义找出各项系数，利用一元二次方程的求根公式解方程即可． 【解答】解：， ，，， ， ， ，． 【点评】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的求根公式是解题的关键． 17．（2023秋•白银区期末）解方程： （1） （2） 【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程； （2）先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）， △， 所以，； （2）， ， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了因式分解法解一元二次方程． 五．解一元二次方程−因式分解法 18．（2024•巴林左旗校级一模）下列哪个数是方程的解　　 A． B． C．2 D．5 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：方程分解因式得：， 或， 解得：或， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 19．（2024•贵州）一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】直接提取公因式，进而分解因式解方程即可． 【解答】解：， ， 则或， 解得：，． 故选：． 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 20．（2024•齐齐哈尔）解方程：． 【分析】利用因式分解法求解可得． 【解答】解：， ， 则或， 解得，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21．（2023秋•梁园区期末）解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）直接利用公式法解方程得出答案． 【解答】解：（1）， ， 则或， 解得：，； （2）， △， 则， 解得：，． 【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． 22．（2024春•拱墅区期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）， 移项得：， 分解因式得：， 解得：； （2）， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． 23．解方程： （1）； （2）（配方法或公式法）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：， 因式分解得：， 解得：，； （2）原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 24．（2024•鼓楼区校级模拟）解方程：（两种方法）． 【答案】，． 【分析】利用因式分解法和配方法解方程． 【解答】解：方法一：， 或， 所以，； 方法二：， ， ， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 六．根的判别式 25．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【答案】 【分析】由一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义得，△，且，即可求解． 【解答】解：由题意得，△，且， 解得，，且． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根． 26．（2024春•浦东新区月考）下列方程中，有实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可利用平方根、立方根解方程、分式方程及一元二次方程的解法可进行求解． 【解答】解：、由可知无解，故不符合题意； 、由去分母得，经检验当时，，所以原方程无解，故不符合题意； 、由可知：△，所以原方程无解，故不符合题意； 、由可知，解得，原方程有解，故符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查平方根、立方根、分式方程及一元二次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键． 27．（2024•麦积区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 【答案】 【分析】根据所给方程有两个实数根，可知根的判别式大于等于零，据此可解决问题． 【解答】解：因为关于的一元二次方程有两个实数根， 所以， 解得， 又因为， 所以的取值范围是：且． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 28．（2024•中卫模拟）关于的一元二次方程有实根，则取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和根的关系是解答本题的关键． 29．（2024•市南区校级二模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值等于 　3　． 【分析】先根据根的判别式得到且△，则，再把原式变形得到，利用整体思想得原式，然后通分后把代入计算即可． 【解答】解：根据题意得且△，即， 所以原式 ． 故答案为3． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 30．（2024春•大观区校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后解两个不等式得到它们的公共解即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得且． 即的取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 31．（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据一元一次方程的定义得到，再把方程整理为，计算判别式得到△，然后根据判别式的意义可判断关于的方程根的情况． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数解． 理由如下： 方程是关于的一元一次方程， ，即， 方程整理为， △， ， 关于的方程有两个不相等的实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 七．根与系数的关系 32．（2024•滨海新区二模）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用根与系数的关系进行判断． 【解答】解：根据根与系数的关系得，． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 33．（2024•定州市三模）若一元二次方程的两个根是，，则的值是　　 A．3 B． C． D．4 【答案】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：一元二次方程的两个根是，， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 34．（2024•庐阳区校级一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 　6　． 【答案】6． 【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 35．（2024•景德镇二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出． 【解答】解：关于的一元二次方程的两根分别是， 那么，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键． 36．已知是关于的一元二次方程的一个根． （1）求． （2）求此方程的另一个根． 【答案】（1）0或8； （2）． 【分析】（1）将代入解析式即可求出的值； （2）把的值代入方程，从而解出另一根． 【解答】解：（1）是关于的一元二次方程的一个根， ， ， 即， 解得，． 故的值是0或8； （2）当时， ，即， 解得，． 当时， ，即， 解得，． 故另一根为． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，要知道，一元二次方程的解使得方程左右两边相等． 37．（2023•赤坎区校级模拟）已知方程是关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】的值为0，方程的另一个根为2． 【分析】设方程另一个根是，由一元二次方程根与系数的关系可得，即可解得的值为0，方程的另一个根为2． 【解答】解：设方程另一个根是， ， 解得， 的值为0，方程的另一个根为2． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元列出方程根与系数的关系． 八．由实际问题抽象出一元二次方程 38．（2024•阿城区三模）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据第二季度共生产零件182万个可得出方程． 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为、， ． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 39．（2024•溆浦县校级一模）2023年国庆期间，某商场举行庆国庆促销活动，商场对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据某商场对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元列方程即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意是解题的关键． 40．（2024春•海门区期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染台其他电脑，由题意列方程应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则第一轮共感染台，第二轮共感染台，根据题意列方程即可． 【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意列方程得 ， 故选：． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 41．（2024•大连模拟）有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 ，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设剪去的小正方形边长是 ，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设剪去的小正方形边长是 ，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 42．（2024•长兴县模拟）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据2023年的销售量年的销售量从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率），结合2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 43．（2024•高平市三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒从200元降至15元．若该药品每轮降价率相同．设每轮降价率为，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用经过两次降价后的价格原价该药品每轮降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 44．（2024春•海州区校级月考）某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了525个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 　　． 【答案】． 【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 45．（2024•潍坊一模）某厂生产一种产品起初的成本为225元件，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了29元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，根据以上信息列关于的一元二次方程为 　　． 【答案】． 【分析】利用该种产品经过两次技术改进产品的成本该种产品起初的成本每次技术改进产品的成本下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 46．（2024春•重庆期中）某出版社为支持“乡村图书馆”建设，购买了两批次的书，每次降价且降价比例一样，每本书的售价由50元降为32元，设每次降价的百分率是，则根据题意，可列方程为 　　． 【答案】． 【分析】根据原价是50，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为，列出一元二次方程即可． 【解答】解：平均每次降价的百分率是，原价是50， 经过一次降价为，经过两次降价为， 经过两次降价为32， 故答案为：． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程——平均增长（降低）率问题，找出等量关系是解答本题的关键． 47．（2024•瑞昌市模拟）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 　　． 【答案】． 【分析】依照题意，画出图形，利用勾股定理，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 九．一元二次方程的应用 48．（2024春•无为市月考）劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投入，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率． 【答案】该作物平均每年的增产率为． 【分析】根据增长率的公式列出方程，再求出解即可． 【解答】解：设该作物平均每年的增产率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该作物平均每年的增产率为． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是关键． 49．（2024•淮北三模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在淘宝上对一款标价为200元件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为128元件，并且两次降价的百分率相同．求该商品每次降价的百分率． 【答案】． 【分析】设每次降价的百分率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为， 依题意得，， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．找到等量关系列出一元二次方程是解题的关键． 50．（2024•德庆县一模）在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率． 【答案】． 【分析】设养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为，利用2021年12月份的产蛋量年10月份的产蛋量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$