第21章 一元二次方程 中档题拓展训练★★【8个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 中档题拓展训练★★【8个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程−公式法 三．解一元二次方程−因式分解法 四．根的判别式 五．根与系数的关系 六．由实际问题抽象出一元二次方程 七．一元二次方程的应用 八．配方法的应用 考点精讲精练 一．一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 1．（2024春•海曙区期末）若关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 二．解一元二次方程−公式法 · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 2．（2024春•连江县期末）（1）计算：； （2）解方程：． 3．（2024春•宿迁期末）解下列方程： （1）； （2）． 4．（2024春•榕江县月考）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 三．解一元二次方程−因式分解法 · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 5．（2024•龙江县模拟）解方程：． 6．（2024春•泗阳县期末）解下列方程： （1）； （2）． 7．（2024春•苏州期末）解方程： （1）； （2）． 8．解方程： （1）； （2）． 9．（2024•龙沙区校级三模）解方程：． 四．根的判别式 · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 10．（2024•宛城区校级三模）一元二次方程根的情况是　　 A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 11．（2024•柘城县校级模拟）若关于的方程没有实数根，则的值可以是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 12．（2024•瓯海区校级三模）若一元二次方程的根判别式的值为5，则的值为　　 A．1 B． C．3 D． 13．（2024•六安模拟）若实数，满足，则关于的方程根的情况是　　 A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 14．（2024•孝义市模拟）下列一元二次方程中，无实数根的是　　 A． B． C． D． 15．（2024•静安区三模）关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．取一切实数 D． 16．（2024•番禺区二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 17．已知一元二次方程，有两个实数根，则的取值范围是 　　． 18．（2024•新泰市三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 19．（2024•庄浪县二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 　　（写出一个满足条件的值） 五．根与系数的关系 · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 20．（2024•天长市模拟）若关于的方程（其中的解是，，且满足，则的值是　　 A．2或 B．3或 C．2 D． 21．（2024•海门区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2024•犍为县模拟）已知一元二次方程的两个实数根为、，若，则实数的值为　　 A． B．7 C． D．1 23．（2024•东莞市校级三模）已知方程的两根是，，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2024•香洲区二模）关于的方程有两个实数根为和，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 25．（2024春•泰州期末）方程的两根分别为、，且，则　　． 26．（2024•中山市三模）若，是一元二次方程的两个根，则　　． 27．（2024•漳州三模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 　　． 28．（2024•南山区校级三模）对于字母、，定义新运算☆，若方程的解为、，则☆的值为 　　． 29．（2024•项城市三模）若，为方程的两个实数根，则的值为 　　． 30．（2024•连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 31．（2024•达州模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　　． 32．（2024春•市中区期末）一元二次方程的一根是3，则另外一根是 　　． 33．（2024•盐都区校级一模）若关于的一元二次方程的两根分别为，，则值是 　　． 34．（2024•扬州三模）已知关于的方程的根是和3，则　　． 35．（2024•成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 六．由实际问题抽象出一元二次方程 · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 36．（2024•冷水滩区校级模拟）某食品厂生产的驴打滚由于质量过硬，市场反馈良好，1月份销售额为5万元，销售量逐月增加，一季度共销售20万元，已知2、3两个月份销售额的月增长率相同．设2月份销售额的月增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 37．在“双减”政策推动下，某校八年级学生每天书面作业时长明显减少，七年级下学期平均每天书面作业时长达150分钟，在八年级上学期和下学期两次调整后，平均每天书面作业时长为100分钟，设该校八年级两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为，可列方程为　　 A． B． C． D． 38．（2024•南岗区校级三模）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为　　 A． B． C． D． 39．（2024春•江北区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长为5的长方形，最后得到面积为64的正方形．则能列出关于的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 40．（2024•青山区校级三模）某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为，由题意列方程应为　　 A． B． C． D． 七．一元二次方程的应用 · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 41．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是　　 A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 42．（2024•东城区校级三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 43．（2024•河口区校级模拟）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）能围成面积为200平方米的鸡场吗？ 44．（2024•河口区校级模拟）如图，利用一面墙（墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为 ．（1）若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； （2）两个鸡场面积和可以等于吗？如果可以，求出此时的值． 45．（2024春•莱山区校级月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 八．配方法的应用 · 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 46．（2024春•广陵区期中）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 47．（2024春•江津区期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2； ②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 48．（2024春•泗阳县期中）阅读下列材料： “ “这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如： ， 的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知 则　　； （2）已知，，是等腰 的三边长，且，满足，求的周长； （3）若 、为实数），求的最小值． 49．（2024春•江都区期末）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： 代数式的最小值为． 代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 　　； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； （3）已知，代数式的最小值为 　　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 50．知识阅读：要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与0的大小来解决： ①如果，则；②如果，则；③如果，则． 基本应用：（1）比较大小： 　　（用“”、“ ”或” ”填空）； 理解应用：（2）比较与与的大小关系； （3）已知，，为直角三角形的三边，为斜边，比较和的大小关系． 第21章 一元二次方程 中档题拓展训练★★【8个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的解 1．（2024春•海曙区期末）若关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【答案】 【分析】将代入原方程即可解决问题． 【解答】解：将代入原方程得， ， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 二．解一元二次方程−公式法 2．（2024春•连江县期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先求出的值，再代入公式求出方程的解即可． 【解答】解：（1） ； （2）， 这类，，， ， ， 即，． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和解一元二次方程等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解（1）的关键，能选择适当的方法解方程是解（2）的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 3．（2024春•宿迁期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解； （2） ，，， △， ， ，． 【点评】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 4．（2024春•榕江县月考）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【解答】解：（1）， 这里，，， ， ， 解得，． （2）， 移项，得． 配方，得， 即， 解得， 即，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 三．解一元二次方程−因式分解法 5．（2024•龙江县模拟）解方程：． 【答案】，． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：， 或， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 6．（2024春•泗阳县期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）去分母转化为整式方程求解． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， ， ， 经检验是分式方程的解． 【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法，解分式方程等知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程，掌握分式方程的解法． 7．（2024春•苏州期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）， ， 或， 解得，； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【点评】此题考查了解一元二次方程及解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8．解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）去分母转化为整式方程求解； （2）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）， ， ， 经检验，是分式方程的解； （2）， ， ， ， 或， ，． 【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法，解分式方程等知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程，掌握分式方程的解法． 9．（2024•龙沙区校级三模）解方程：． 【分析】移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：移项得：， ， ，， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 四．根的判别式 10．（2024•宛城区校级三模）一元二次方程根的情况是　　 A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 【解答】解：， △， 故方程没有实数根， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 11．（2024•柘城县校级模拟）若关于的方程没有实数根，则的值可以是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】利用根的判别式求出的取值范围，可得结论． 【解答】解：由题意，知△，解得． 的值可以是5， 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 12．（2024•瓯海区校级三模）若一元二次方程的根判别式的值为5，则的值为　　 A．1 B． C．3 D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为一元二次方程的根判别式的值为5， 所以△， 解得． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13．（2024•六安模拟）若实数，满足，则关于的方程根的情况是　　 A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】 【分析】根据条件得到，根据判别式求根的情况即可判断． 【解答】解：实数，满足， ， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根是解题的关键． 14．（2024•孝义市模拟）下列一元二次方程中，无实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况． 【解答】解：选项中，△，有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； 选项中，△，没有实数根，故选项符合题意； 选项中，△，有两个相等的实数根，故选项不符合题意； 选项中，△，有两个不相等的实数根，故选项不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式△判断方程的根的情况． 15．（2024•静安区三模）关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．取一切实数 D． 【答案】 【分析】分为两种情况：①当，②，根据已知得出△，求出即可． 【解答】解：分为两种情况：①当时，， 解得：； ②当时，关于的方程有实数根， △， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式的应用，能得出关于的不等式是解此题的关键， 16．（2024•番禺区二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据判别式的意义得到△，解得即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 17．已知一元二次方程，有两个实数根，则的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】由关于的一元二次方程有两个实数根，即可得判别式△且，继而可求得的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根， △， 解得：， 的取值范围是且． 故答案为：且． 【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△．同时考查了一元二次方程的定义． 18．（2024•新泰市三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义，判别式的值大于0，根据不等式组求解． 【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会根据不等式组解决问题． 19．（2024•庄浪县二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 　0（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值） 【答案】0（答案不唯一）． 【分析】先根据方程有实数根列出关于的不等式，求出的取值即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 即， 解得． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程中，当△时，方程有两个实数根是解答此题的关键． 五．根与系数的关系 20．（2024•天长市模拟）若关于的方程（其中的解是，，且满足，则的值是　　 A．2或 B．3或 C．2 D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义，求出的值即可． 【解答】解：由题意或， 解得， ． 故选：． 【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义． 21．（2024•海门区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④共3个． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 22．（2024•犍为县模拟）已知一元二次方程的两个实数根为、，若，则实数的值为　　 A． B．7 C． D．1 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，得到，，整体代入等式中，求出实数的值即可． 【解答】解：一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 23．（2024•东莞市校级三模）已知方程的两根是，，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用根与系数关系求解． 【解答】解：的两根是，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 24．（2024•香洲区二模）关于的方程有两个实数根为和，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将所给方程根的问题转化为所对应函数图象的交点问题，再利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 关于的方程的实数根可看成函数的图象与直线的交点横坐标， 如图所示， 由函数图象可知， ． 故选：． 【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 25．（2024春•泰州期末）方程的两根分别为、，且，则　　． 【答案】． 【分析】利用两根之和等于，求出，再求出两根之积； 【解答】解：方程的两根分别为、，且， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，． 26．（2024•中山市三模）若，是一元二次方程的两个根，则　4　． 【答案】4． 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“，”是解题的关键． 27．（2024•漳州三模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 　3　． 【答案】3． 【分析】设另一个根为，则根据根与系数的关系得，求出即可． 【解答】解：设另一个根为，则， 解得：， 所以，另一个根为3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，分别为，，则有，． 28．（2024•南山区校级三模）对于字母、，定义新运算☆，若方程的解为、，则☆的值为 　6．　． 【答案】6． 【分析】判断出，，再根据新定义计算即可． 【解答】解：方程的解为、， ，， ☆． 故答案为：6． 【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29．（2024•项城市三模）若，为方程的两个实数根，则的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】由题意，为方程的两个实数根，可知，，利用整体代入的思想求解． 【解答】解：，为方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 30．（2024•连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，即：， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 31．（2024•达州模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出，，代入求值即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，， 则， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 32．（2024春•市中区期末）一元二次方程的一根是3，则另外一根是 　　． 【答案】． 【分析】设另一个根为，根据根与系数的关系列方程即可求解． 【解答】解：设另一个根为， 一元二次方程的一个根是3， ， 解得：， 另一个根为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 33．（2024•盐都区校级一模）若关于的一元二次方程的两根分别为，，则值是 　　． 【答案】． 【分析】根据根与系数关系求解． 【解答】解：方程的两根分别为，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 34．（2024•扬州三模）已知关于的方程的根是和3，则　　． 【答案】． 【分析】先利用根与系数的关系得，，则可分别求出、的值，然后计算它们的和即可． 【解答】解：根据根与系数的关系得，， 解得，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 35．（2024•成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　7　． 【答案】7． 【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，即可得到，，则可化为，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 六．由实际问题抽象出一元二次方程 36．（2024•冷水滩区校级模拟）某食品厂生产的驴打滚由于质量过硬，市场反馈良好，1月份销售额为5万元，销售量逐月增加，一季度共销售20万元，已知2、3两个月份销售额的月增长率相同．设2月份销售额的月增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据1月份销售额月增长率为，表示出2、3月份的销售额，再根据一季度共销售20万元得出方程． 【解答】解：设2、3月份销售额月增长率为，则2月份的销售额为，3月份的销售额为， 由题意得：， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 37．在“双减”政策推动下，某校八年级学生每天书面作业时长明显减少，七年级下学期平均每天书面作业时长达150分钟，在八年级上学期和下学期两次调整后，平均每天书面作业时长为100分钟，设该校八年级两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为，可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用学期平均每天书面作业时长学期平均每天书面作业时长该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 38．（2024•南岗区校级三模）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【解答】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 39．（2024春•江北区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长为5的长方形，最后得到面积为64的正方形．则能列出关于的一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可． 【解答】解：四边形是面积为64的正方形， ， 整理得：， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键． 40．（2024•青山区校级三模）某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为，由题意列方程应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可． 【解答】解：该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为， 该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又第一季度的总营业额共1000万元， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 七．一元二次方程的应用 41．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是　　 A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【答案】 【分析】由题意即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，数学思想方法是数形结合思想， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的几何解法是解题的关键． 42．（2024•东城区校级三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】4米． 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 43．（2024•河口区校级模拟）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）能围成面积为200平方米的鸡场吗？ 【分析】（1）先设养鸡场的宽为米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）设养鸡场的宽为米，根据题意得：，整理得：，根据方程的判别式的符号判断方程解的情况，即可作答． 【解答】解：（1）设养鸡场的宽为米，根据题意得： ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 当时，， 则养鸡场的宽是10米，长为15米． （2）设养鸡场的宽为米，根据题意得： ， 整理得：， 即△， 因为方程没有实数根， 所以围成养鸡场的面积不能达到． 答：围成养鸡场的面积不能达到． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． 44．（2024•河口区校级模拟）如图，利用一面墙（墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为 ．（1）若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； （2）两个鸡场面积和可以等于吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】（1）； （2）不能． 【分析】（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）依题意， 即 △， 原方程无实数解， 两个鸡场面积和不能等于 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 45．（2024春•莱山区校级月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】 【分析】设道路的宽为 ，根据图可知草坪的长为，宽为，从而由矩形的面积公式可列出关于的一元二次方程，解出并舍去不合题意的解，即得出答案． 【解答】解：设道路的宽为 ， 由题意得：， 整理得：， ，（舍， 道路的宽为． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用．看懂图形，列出方程是解题关键． 八．配方法的应用 46．（2024春•广陵区期中）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】依据题意，作差，再令，求出，进而考察函数，依据二次函数的性质，可得当或时，；当时，；当时，，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，作差： ． 令， ． ． 考察函数， ， 当或时，； 当时，； 当时，． 当或时，； 当时，； 当时，． 故选：． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用作差法比较大小是关键． 47．（2024春•江津区期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2； ②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据题中的新方法变式求解． 【解答】解：①， ， 的最小值为2；故①是正确的； ②， ， 的最小值为5；故②是正确的； ③设与墙相邻的一边长为米，另一边为米， 则：， ， 故③是错误的； 故选：． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解新方法是解题的关键． 48．（2024春•泗阳县期中）阅读下列材料： “ “这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如： ， 的最小值为1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知 则　　； （2）已知，，是等腰 的三边长，且，满足，求的周长； （3）若 、为实数），求的最小值． 【答案】（1）；（2）17；（3）6． 【分析】（1）依据题意，将变形为，进而可以判断得解； （2）依据题意，将变形为，进而可以求出，，然后进行分类讨论即可得解； （3）依据题意，将 变形为，再结合，，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，， ，即． ，． ，． ． 故答案为：． （2）由题意，， ． ． ，． ①当，时，，不合题意； ②当，时，符合题意，周长为：． 的周长为17． （3）由题意， ． 又对于任意实数，有，， 当，时，即，时，有最小值，最小值为6． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 49．（2024春•江都区期末）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： 代数式的最小值为． 代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 　　； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； （3）已知，代数式的最小值为 　　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【答案】解：（1）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （2），理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． （3）由题意，， ． ． 对于任意的都有，， ，． 代数式的最小值为0． （4）由题意，设 ，长方形的面积为， ． 当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为． 答：长方形生物园的最大面积为． 【分析】（1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，从而．，故，再结合对于任意的都有，，进而可以判断得解； （4）依据题意，设 ，长方形的面积为，从而，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （2），理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． （3）由题意，， ． ． 对于任意的都有，， ，． 代数式的最小值为0． 故答案为：0． （4）由题意，设 ，长方形的面积为， ． 当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为． 答：长方形生物园的最大面积为． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方、完全平方公式的几何背景等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 50．知识阅读：要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与0的大小来解决： ①如果，则；②如果，则；③如果，则． 基本应用：（1）比较大小： 　　（用“”、“ ”或” ”填空）； 理解应用：（2）比较与与的大小关系； （3）已知，，为直角三角形的三边，为斜边，比较和的大小关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据作差法比较大小； （2）先作差，再根据非负数的性质比较大小； （3）根据三角形的三边关系及作差法比较大小． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ； （3），，为直角三角形的三边，为斜边， ，， ， ． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解新方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$