第21章 一元二次方程 培优题突破 讲义 -2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 培优题突破练习★★★【8个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 考点梳理 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程−配方法 三．解一元二次方程−因式分解法 四．根的判别式 五．根与系数的关系 六．由实际问题抽象出一元二次方程 七．一元二次方程的应用 八．配方法的应用 考点精讲精练 一．一元二次方程的解 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 1．（2024春•海曙区期末）若关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 2．（2024•浙江模拟）若是方程的一个根，则　　 A． B． C．2 D． 3．（2024春•上城区期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 　　． 4．（2024春•裕安区校级月考）若一元二次方程满足；则有一个根为 　　．若，则有一个根为 　　． 二．解一元二次方程−配方法 · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 5．（2024春•渝中区校级期中）用配方法解方程，配方结果正确的是　　 A． B． C． D． 三．解一元二次方程−因式分解法 · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 6．（2024•兴隆台区三模）方程的解是 　　． 四．根的判别式 · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 7．（2024•孝义市模拟）下列一元二次方程中，无实数根的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•信阳三模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 9．（2024•海州区一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．（2024•吉林二模）一元二次方程根的判别式的值是　　 A． B．3 C． D．5 11．（2024•瓦房店市模拟）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 12．（2024•瓯海区校级三模）若一元二次方程的根判别式的值为5，则的值为　　 A．1 B． C．3 D． 13．（2024•内乡县三模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 14．（2024•营口一模）如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数相等，则方程的根的情况是　　 A．无实根 B．有一个实根 C．有两个相等实根 D．有两个不相等实根 15．（2024•正定县校级模拟）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．无实数解 16．（2024春•武城县校级月考）关于的方程有实数根，则的取值范围是 　　． 17．（2024•新泰市三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 18．（2022秋•庄浪县期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 19．已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 五．根与系数的关系 · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 20．（2024春•九龙坡区校级期末）已知一元二次方程，下列说法中正确的序号有　　 ①若，那么一定有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若是一元二次方程的根，则． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 21．（2024•河东区二模）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 22．（2024•东昌府区校级模拟）关于的一元二次方程的两个根为，，且，则 的值为　　 A．1 B． C．3 D． 23．（2024春•海曙区期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B． C． D． 24．（2024春•滨江区校级期末）已知关于的一元二次方程与一元一次方程有一个公共解，若一元二次方程有两个相等的实根，则　　 A． B． C．2 D．1 25．（2024•市中区校级二模）已知实数，满足，，则　　． 26．（2024•渠县校级模拟）在中，，于点，，、的长是方程的两根，则　　． 27．若方程的两根为，，则的值为 　　． 28．（2024•项城市三模）若，为方程的两个实数根，则的值为 　　． 29．（2024•滨州三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 　　． 30．（2024•镇远县校级二模）一元二次方程的两个实数根是，，且，则　　． 31．（2024•菏泽三模）已知是方程的一个解，则另一个解为　　． 32．（2023春•慈溪市期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 33．（2023秋•越秀区校级期中）已知关于的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）如果是满足条件的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根． 34．（2024•仪陇县模拟）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 35．（2023秋•鼓楼区校级月考）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　　； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 六．由实际问题抽象出一元二次方程 · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 36．（2024春•温州期末）去年月，我国公共充电桩数量由252.5万台增长至272.6万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程　　 A． B． C． D． 37．（2024•中山市模拟）2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村”大赛总冠军．某县“村”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是　　 A． B． C． D． 38．（2024春•济南期末）某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，请列出方程 　　． 七．一元二次方程的应用 · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 39．（2024•迎泽区三模）如图，在中，，，，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为 ，则当的面积是的面积的一半时，的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 40．（2024春•宁津县校级月考）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为 　　． 41．（2023•阳谷县三模）如图，某小区规划在长36米，宽24米的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽？ 42．（2022秋•番禺区校级期末）两个连续奇数的积是143，求这两个连续奇数． 43．（2023春•莱芜区期中）如图，在矩形中，，、、、分别从、、、出发，沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若，则，，． （1）当为何值时，点、重合； （2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 44．（2023秋•中牟县校级月考）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 45．（2023•东莞市校级模拟）某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为640元？ 46．（2023秋•高港区期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 　　，月销售利润为 　　元； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 47．（2023秋•梁溪区校级期中）怡然美食店的、两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？ （2）该店为了增加利润，准备降低种菜品的售价，同时提高种菜品的售价，售卖时发现，种菜品售价每降0.5元可多卖1份；种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么当种菜品降价多少时，两种菜品的利润总和为300元？ 48．（2024•凉州区二模）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角形的面积． 八．配方法的应用 · 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 49．（2024春•张店区校级月考）已知，则的值为 　　． 50．（2024春•盐都区期中）【阅读材料】若，求、的值． 解：因为， 所以， 即， 因为和都是非负的， 所以且， 所以，． 【读后思考】若，则　　，　　； 【深入探索】若，求的值； 【知识迁移】若、都是正整数，且满足，求的值． 第21章 一元二次方程 培优题突破练习★★★【8个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学九年级上册 参考答案与试题解析 一．一元二次方程的解 1．（2024春•海曙区期末）若关于的一元二次方程有一个实数根为，则的值为　　 A．1 B．3 C． D． 【答案】 【分析】将代入原方程即可解决问题． 【解答】解：将代入原方程得， ， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 2．（2024•浙江模拟）若是方程的一个根，则　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【分析】把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【解答】解：把代入方程得， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2024春•上城区期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 　2　． 【答案】2． 【分析】根据一元二次方程的解即可求出的值． 【解答】解：因为是一元二次方程的一个解， 所以 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算． 4．（2024春•裕安区校级月考）若一元二次方程满足；则有一个根为 　1　．若，则有一个根为 　　． 【答案】1，． 【分析】根据可得，原方程可化为，利用因式分解法解方程即可得答案，同理可得时方程的一个根． 【解答】解：， ， 原方程可化为， ， ， ，， 满足时，有一个根为1． ， ， 原方程可化为， ， ， ，， 满足时，有一个根为． 故答案为：1，． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 二．解一元二次方程−配方法 5．（2024春•渝中区校级期中）用配方法解方程，配方结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 三．解一元二次方程−因式分解法 6．（2024•兴隆台区三模）方程的解是 　，　． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， ， 或， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 四．根的判别式 7．（2024•孝义市模拟）下列一元二次方程中，无实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况． 【解答】解：选项中，△，有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； 选项中，△，没有实数根，故选项符合题意； 选项中，△，有两个相等的实数根，故选项不符合题意； 选项中，△，有两个不相等的实数根，故选项不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式△判断方程的根的情况． 8．（2024•信阳三模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式△列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【解答】解：根据方程没有实数根，得到△， 解得：． 实数的取值范围是：． 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根． 9．（2024•海州区一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据判别式的值大于0，构建不等式求解． 【解答】解：由题意， 解得． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 10．（2024•吉林二模）一元二次方程根的判别式的值是　　 A． B．3 C． D．5 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式△即可求出值． 【解答】解：，，， △． 所以一元二次方程根的判别式的值是5． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 11．（2024•瓦房店市模拟）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【解答】解：方程没有实数根， △， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 12．（2024•瓯海区校级三模）若一元二次方程的根判别式的值为5，则的值为　　 A．1 B． C．3 D． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为一元二次方程的根判别式的值为5， 所以△， 解得． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13．（2024•内乡县三模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可． 【解答】解：△， 方程有两个不等实根． 故选：． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键． 14．（2024•营口一模）如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数相等，则方程的根的情况是　　 A．无实根 B．有一个实根 C．有两个相等实根 D．有两个不相等实根 【答案】 【分析】首先确定、、的值，然后根据一元二次方程的根的判别式进行求解，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，该正方体的展开图中相对面上的两个数相等， ，，， 该方程为， △， 该方程无实数根． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、正方体展开图等知识，确定、、的值是解题关键． 15．（2024•正定县校级模拟）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．无实数解 【答案】 【分析】先移项，再提取公因式分解因式，最后求解方程． 【解答】解：原方程变形，得， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 16．（2024春•武城县校级月考）关于的方程有实数根，则的取值范围是 　或　． 【答案】． 【分析】先分析时的情况，再根据一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根及一元二次方程的定义即可得出结果． 【解答】解：当时，方程为一元一次方程，， 则， 当时，方程为一元二次方程，由题意得： △， 即， 解得：且， 当时，方程为一元一次方程，有实数根为， 关于的方程有实数根，则的取值范围是或． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义及一元一次方程，熟练掌握判别式的性质是关键． 17．（2024•新泰市三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义，判别式的值大于0，根据不等式组求解． 【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会根据不等式组解决问题． 18．（2022秋•庄浪县期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△，即可得出，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：是直角三角形， 理由是：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 即， ， 是直角三角形． 【点评】此题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根；等边三角形的三边相等等． 19．已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当或时，把代入方程可解得，则方程化为，解得，，所以，或，，然后计算的周长． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△， 无论取何值，这个方程总有实数根； （2）解：当时，△，解得，方程化为，解得，而，故舍去； 当或时，把代入方程得，解得，方程化为，解得，，即，或，， 所以的周长． 【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质． 五．根与系数的关系 20．（2024春•九龙坡区校级期末）已知一元二次方程，下列说法中正确的序号有　　 ①若，那么一定有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若是一元二次方程的根，则． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】 【分析】①正确．根据方程的解的定义判断即可； ②正确．由，，消去，可得结论； ③正确．根据方程的解的定义判断； ④正确．判断出两根之和为2，可得结论； ⑤正确．若是一元二次方程的根，，可得，由此可得结论． 【解答】解：①若，那么一定有一个根是1．故①正确； ②若方程的两根为和2，则；则有，， ， ， ， ，故②正确； ③若是方程的一个根，则一定有成立．故③正确； ④若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；则， 两根之和为2， 一个根大于2， 另一个根必是负数，故④正确； ⑤若是一元二次方程的根，则． 若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，故⑤正确； 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 21．（2024•河东区二模）若，是方程的两个根，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用根与系数关系求解． 【解答】解：，是方程的两个根， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，． 22．（2024•东昌府区校级模拟）关于的一元二次方程的两个根为，，且，则 的值为　　 A．1 B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则求出两根及值，代入计算即可得到答案． 【解答】解：的两根为，， ．， ， ，， ， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，． 23．（2024春•海曙区期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：，是方程的两个根， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．（2024春•滨江区校级期末）已知关于的一元二次方程与一元一次方程有一个公共解，若一元二次方程有两个相等的实根，则　　 A． B． C．2 D．1 【答案】 【分析】求出一元一次方程的解确定出已知两方程的公共解，即为的值，代入方程整理后，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 【解答】解：一元一次方程， 移项得：， 解得：， 关于的一元二次方程与一元一次方程有一个公共解， 公共解为， 把代入方程得：， 整理得：， 此方程有两个相等的实数根， △，即， 解得：． 故选：． 【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 25．（2024•市中区校级二模）已知实数，满足，，则　23或2　． 【答案】23或2． 【分析】根据实数，满足，，可知实数，是方程的两个根，然后分两种情况讨论， 一种是，可以得到，，然后将所求式子变形，再将，代入计算即可；一种是，代入所求式子计算即可． 【解答】解：实数，满足，， 实数，是方程的两个根， 当时，，， ； 当时，； 故答案为：23或2． 【点评】本题考查根与系数的关系、分式的化简求值，解答本题的关键是明确一元二次方程的两根之积等于，两根之和等于． 26．（2024•渠县校级模拟）在中，，于点，，、的长是方程的两根，则　4　． 【答案】4． 【分析】证明，推出，可得结论． 【解答】解：如图， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 、的长是方程的两根， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 27．若方程的两根为，，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根为，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 28．（2024•项城市三模）若，为方程的两个实数根，则的值为 　2　． 【答案】2． 【分析】由题意，为方程的两个实数根，可知，，利用整体代入的思想求解． 【解答】解：，为方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 29．（2024•滨州三模）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 　5　． 【答案】5． 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为、， 菱形的面积两条对角线积的一半， 即． 由题意得，， 菱形的边长 ． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 30．（2024•镇远县校级二模）一元二次方程的两个实数根是，，且，则　5　． 【答案】5． 【分析】利用一元二次方程根于系数的关系可得，，再利用即可求解． 【解答】解：一元二次方程的两个实数根是，， ，， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系时解题关键．常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值．如求，等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑，△这两个前提条件． 31．（2024•菏泽三模）已知是方程的一个解，则另一个解为　3　． 【答案】3． 【分析】先把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把的值代入方程得关于的方程，解方程求出即可． 【解答】解：把代入方程得：， 解方程得：， 再把代入方程得： ， ， 或， ，， 方程的另一个根是， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义和解一元二次方程的一般步骤． 32．（2023春•慈溪市期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长． 【答案】（1）见解答； （2）或． 【分析】（1）根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可． 【解答】（1）证明：△， 在实数范围内，无论取何值，， 即△， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，得， 解得，， 则方程的另一根为：； ①当该直角三角形的直角边为1、3时，斜边为， 周长为：； ②当该直角三角形的斜边为3、直角边为1时，另一条直角边为， 直角三角形的周长． 【点评】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． 33．（2023秋•越秀区校级期中）已知关于的一元二次方程 （1）若方程有实数根，求的取值范围． （2）如果是满足条件的最大的整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一个根． 【分析】（1）由题意△，构建不等式即可解决问题； （2）先求出第一个方程的根，再求出的值即可解决问题； 【解答】解：（1）由题意△， ， ． （2）由题意，方程的根，， 方程的一个根为2， ， ， 方程为， 或4， 方程的另一个根为4． 【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 34．（2024•仪陇县模拟）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） 且； （2）的值为或． 【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个实数根，可得△ 且，求解即可； （2）根据根与系数的关系得：，，而，可得：，即，求解并检验即可． 【解答】解：（1）根据题意得， △ 且， 解得： 且； （2）根据根与系数的关系得： ，， ， ， ， 即 或， 解得：，， 经检验， 是原方程的根， 的值为或． 【点评】本题考查的是跟与系数的关系和跟的判别式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 35．（2023秋•鼓楼区校级月考）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　　； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1）；（2）；（3）4、． 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （3）由（2）可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解． 【解答】解：（1）设所求方程的根是，则，所以， 把代入， 得， 故答案为：； （2）设所求方程的根是，则， 所以， 把代入方程，得 ， 化简，得； （3）一元二次方程整理后可得：， 令， ， 则方程 的两根比两根大1， 所以方程 的两根分别是4、． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 六．由实际问题抽象出一元二次方程 36．（2024春•温州期末）去年月，我国公共充电桩数量由252.5万台增长至272.6万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据增长率的定义构建方程即可． 【解答】解：由题意． 故选：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解增长率的定义． 37．（2024•中山市模拟）2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村”大赛总冠军．某县“村”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用比赛的总场数参加比赛的班级球队数（参加比赛的班级球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 38．（2024春•济南期末）某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，请列出方程 　　． 【答案】． 【分析】根据某商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程即可． 【解答】解：依题意，得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 七．一元二次方程的应用 39．（2024•迎泽区三模）如图，在中，，，，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为 ，则当的面积是的面积的一半时，的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】由三角形面积公式结合题意的面积是的面积的一半，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意，舍去； ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及三角形面积公式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 40．（2024春•宁津县校级月考）为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为 　　． 【答案】． 【分析】设该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为，依题意得， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 41．（2023•阳谷县三模）如图，某小区规划在长36米，宽24米的矩形场地上修建三条同样宽的3条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽？ 【分析】设小路应为米宽，分别表示出三条小路的面积，从图上可以看出相加的时候重复加了．可列方程求解． 【解答】解：设小路应为米宽，则小路总面积为： ， 整理，得， 解得：（舍，． 答：小路应为3米宽． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，本题难点道路面积重复的部分要去掉． 42．（2022秋•番禺区校级期末）两个连续奇数的积是143，求这两个连续奇数． 【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是143列出方程求解即可． 【解答】解：设这两个连续奇数为，， 根据题意， ，， 当时，； 当时，． 答：两个连续奇数为11，13或，． 【点评】考查一元二次方程的应用；得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键． 43．（2023春•莱芜区期中）如图，在矩形中，，、、、分别从、、、出发，沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若，则，，． （1）当为何值时，点、重合； （2）当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由于若，则，，，而点、重合，那么，解这个方程即可求出的值； （2）由于当点到达点时，，此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧． 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点在点的左侧时，由此即可得到关于的方程，解方程即可； ②当点在点的右侧时，由此也可以列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1），重合， ， ，（舍去）， 当时，，重合； （2）因为当点到达点时，，此时点和点还未相遇， 所以点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，依题意得 ， 解得（舍去），， 当时四边形是平行四边形； ②当点在点的右侧时，依题意得 ， 解得（舍去），， 当时四边形是平行四边形， 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题． 44．（2023秋•中牟县校级月考）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 【分析】设涨价元，则销量为，利润为，再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可． 【解答】解：设涨价元，则销量为，利润为， 由题意得，， 整理得，， 解得：，， 当时，则涨价10元，销量为：400件； 当时，则涨价30元，销量为：200件． 答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 45．（2023•东莞市校级模拟）某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为640元？ 【答案】将商品的售价提高2元或6元． 【分析】设售价为元，则有进价）（每天售出的数量每天利润，解方程求解即可． 【解答】解：设售价为元， 根据题意列方程得， 整理得：， 即， 解得，． 故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元． 原价为10元， （元，（元， 故应将商品的售价提高2元或6元． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 46．（2023秋•高港区期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 　450　，月销售利润为 　　元； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【答案】（1）450；6750；（2）80元． 【分析】（1）根据单价每涨1元，月销售量就减少10千克可得出销量，继而能得出销售利润． （2）销售成本不超过10000元，即进货不超过．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论． 【解答】解：（1）当销售单价定为每千克55元时， 月销售量：（千克）， 利润：（元； 故答案为：450；6750； （2）由于产品不超过，设定价为元， 则， 解得：，， 当时，进货，符合题意， 当时，进货，舍去． 所以销售单价应为80元． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，与实际结合的比较紧密，解答本题的关键是仔细审题，得出等量关系，有一定的难度． 47．（2023秋•梁溪区校级期中）怡然美食店的、两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？ （2）该店为了增加利润，准备降低种菜品的售价，同时提高种菜品的售价，售卖时发现，种菜品售价每降0.5元可多卖1份；种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么当种菜品降价多少时，两种菜品的利润总和为300元？ 【分析】（1）由种菜和种菜每天的营业额为1120和总利润为280建立方程组即可； （2）设出种菜多卖出份，则种菜少卖出份，最后建立利润与种菜多卖出的份数的函数关系式即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店每天卖出、两种菜品分别为、份， 根据题意得， ， 解得：， 答：该店每天卖出这两种菜品共60份； （2）设种菜品售价降元，即每天卖份；总利润为元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以种菜品卖份 每份售价提高元． 当时，， 解得或10 或5， 答：当种菜品降价1元或5元时，两种菜品的利润总和为300元． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 48．（2024•凉州区二模）已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角形的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】①解方程，求出的值，由值底边长为8，根据三角形的性质：两边之和一定大于第三边，两边之差一定小于第三边，判断腰长为能否与底边组成三角形，若能则是腰长，否则舍去； ②由于该三角形是等腰三角形，故高垂直平分底边，设高为，由勾股定理可求出高的长，将其代入三角形的面积公式求出该三角形的面积即可． 【解答】解：如图所示： ， ， ，； 而等腰三角形底边长为8， 时，4，4，8的三条线段不能组成三角形， 故腰长为， 设高为，由勾股定理得： ， 高为3， 所以，三角形的面积为． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，用到的知识点有“勾股定理”和等腰三角形“三线合一”的性质． 八．配方法的应用 49．（2024春•张店区校级月考）已知，则的值为 　8　． 【答案】8． 【分析】利用配方法即可解决问题． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：8． 【点评】本题考查配方法的应用、幂的有关性质等知识，解题的关键是学会用整体的思想思考问题，属于中考常考题型． 50．（2024春•盐都区期中）【阅读材料】若，求、的值． 解：因为， 所以， 即， 因为和都是非负的， 所以且， 所以，． 【读后思考】若，则　　，　　； 【深入探索】若，求的值； 【知识迁移】若、都是正整数，且满足，求的值． 【答案】读后思考：，． 深入探索：． 知识迁移：5． 【分析】读后思考：先利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的非负数求出，的值； 深入探索：先利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的非负数求出，的值，最后计算即可； 知识迁移：先利用配方法对原式进行变形，再根据、都是正整数，求出，的值，最后计算即可． 【解答】解：读后思考：， ， ， 和都是非负的， 且， ， 故答案为：，． 深入探索：， ， ， 和都是非负的， 且， ， ． 知识迁移：， ， ， 、都是正整数， ，或，， 解得：，或，（不符合题意，舍去）， ． 【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$