1.2.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2.2 圆的一般方程 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会根据所给条件确定圆的一般方程. 学习目标 问题：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆； x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)； x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形. 思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 新课导入 思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得<m>， 只有当D2+E2-4F >0时, 方程才表示以(-，-)为圆心， 以为半径的圆. 课题探究 x2+y2+Dx+Ey+F＝0 (D2+E2-4F>0) 圆的一般方程: 归纳总结 条件 图形 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝0   D2＋E2－4F>0 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 不表示任何图形 点(-，-) 表示以(-，-)为圆心，以为半径的圆 课题探究 例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)x2＋y2－4x－2y－5＝0. 解：(1)x2与y2系数不相等，方程不表示圆． (2)含xy项，方程不表示圆． (3)(－2)2＋(－4)2－4×10＝－20<0，此方程不表示圆． (4)(－4)2＋(－2)2－4×(－5)>0，此方程表示圆， 圆心坐标(2，1)，半径r＝＝. 课题探究 对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： 1.x2与y2系数相同并且不等于0，即A=B≠0； 2.没有xy这样的二次项，即C=0. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件. 归纳总结 课题探究 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 解：方法一　设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 课题探究 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 方法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 课题探究 待定系数法求圆的方程的解题策略： 归纳总结 1.如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. 2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F. 课题探究 例3 讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y表示的是怎样的图形. 解：将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.① 当λ=1时，方程①是一元一次方程6x-9=0，表示与x轴垂直的直线. 当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形； 当λ=0时，方程②只有一组解 ,故原方程表示一个点(3,0)； 当λ＞0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点 ，半径为 的圆. 当λ≠1时，方程①可进一步整理为 ② 课题探究 例4 已知点O(0,0)在圆x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围. 错解：∵点O(0,0)在圆外, ∴2k2+k-1＞0，解得k＞或k＜-1， ∴k的取值范围是(-∞，-1)∪(，+∞). 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?又如何防范? 上述解法的错误在于忽视了圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为D2+E2-4F>0,只考虑了点在圆外这一个限制条件. 课题探究 例4 已知点O(0,0)在圆x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围. 正解:∵方程表示圆, ∴k2+(2k)2-4(2k2+k-1)>0,解得-2＜k＜， ∵点O(0,0)在圆外， ∴2k2+k-1＞0，解得k＞或k＜-1， 综上所述，k的取值范围是(-2，-1)∪(，). 将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑方程是否满足表示圆的条件. 课题探究 1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　) A.8π　 　　　B.4π　 　　　C.2π　　　 　D.π 2.当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A.这些圆的圆心都在直线y＝x上 B.这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C.这些圆的圆心都在直线y＝x上或直线y＝－x上 D.这些圆的圆心不在同一条直线上 C A 当堂检测 3.若点 在圆 外，则实数 的取值范围是__________． 当堂检测 根据本节课所学，回答下列问题： 1.圆的一般方程是什么？ 2.待定系数法求圆的方程的步骤有哪些？ 课后小结 $$