1.1.4 两条直线的平行与垂直课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1.4 两条直线的平行与垂直 思考：在平面几何中，我们已经学习了两条直线平行或垂直的性质定理和判定定理，那么在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行或垂直关系呢？ 新课导入 理解两条直线平行与垂直的条件； 能根据斜率判定两条直线平行或垂直； 能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 学习目标 问题1：在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，同旁内角互补. 问题2：平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 两直线平行，倾斜角相等. 课题探究 归纳总结 两条直线平行的判定 l1∥l2 k1=k2 . 对于两条不重合的直线<m>和<m></m>（其中<m></m>）， 课题探究 思考：两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？两直线的斜率相等，两直线一定平行吗？ 不一定，也可能斜率都不存在. 不一定，两直线的斜率相等，两直线平行或重合. 课题探究 例1 根据下列给定的条件，判断直线l1<m>与直线l2是否平行. （1） <m></m> 经过点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 经过点 <m></m> ， <m></m> （ <m></m> ， <m></m> ）； （2） <m></m> 经过点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 经过点 <m></m> ， <m></m> （ <m></m> ， <m></m> ）； （3） <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> ， <m></m> . 课题探究 解：（1）由题意知，直线 <m></m> 的斜率 <m></m> ， 直线 <m></m> 的斜率 <m></m> ， 所以直线 <m></m> 与直线 <m></m> 平行或重合， 又 <m></m> ，所以 <m></m> . （2）由题意知，直线 <m></m> 的斜率 <m></m> ，直线 <m></m> 的斜率 <m></m> ， 所以直线 <m></m> 与直线 <m></m> 平行或重合， 又 <m></m> ，所以直线 <m></m> 与直线 <m></m> 重合. 课题探究 （3）将两条直线方程分别化为斜截式，得 <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> 的斜率 <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 轴上的截距 <m></m> ， <m></m> 的斜率 <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 轴上的截距 <m></m> . 因为 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> . （4）由方程知 <m></m> 轴， <m></m> 轴，且两条直线在 <m></m> 轴上的截距不相等，所以 <m></m> . 课题探究 归纳总结 判断两条直线是否平行的步骤： 课题探究 问题3：平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ k1·k2＝－1 课题探究 对于两条不重合的直线 <m></m> 和 <m></m> ， 归纳总结 两条直线垂直的判定 l1⊥l2 k1k2=-1 . 课题探究 思考：如果两条直线垂直，那么它们的斜率的积一定等于-1吗？ 不一定.若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是-1；若两条直线垂直，且它们的斜率一个是0，另一个不存在，则它们的斜率的积不等于 -1 . 课题探究 例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． 课题探究 解：①k1＝＝2，k2＝＝， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． ②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2. ③由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝＝0，则l2∥x轴， ∴l1⊥l2. 课题探究 判断两条直线是否垂直的方法： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可； 若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 归纳总结 课题探究 例3 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求: (1)过点A和直线l平行的直线方程; (2)过点A和直线l垂直的直线方程. 解：∵直线l的方程为3x+4y-20=0,∴直线l的斜率k=-. (1)设过点A与直线l平行的直线为l1,又设直线l1的斜率为k1. 则k=k1,∴直线l1的斜率k1=-.∴直线l1的方程为y-2=-(x-2),即3x+4y-14=0. (2)设过点A与直线l垂直的直线为l2,又设直线l2的斜率为k2. 则kk2=-1, 即(-)·k2=-1,∴k2=.∴直线l2的方程为y-2=(x-2),即4x-3y-2=0. 课题探究 思考交流1：对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，可否用它们的法向量n1=(A1，B1)，n2=(A2，B2)来判断这两条直线是否平行呢? 如图，l1与l2平行或重合的充要条件是n1与n2共线，即A1B2=A2B1. 课题探究 思考交流2：已知两条直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Bx-Ay+C2=0，如何判断它们的位置关系呢？ 若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件： l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0判断． 与直线 <m></m> 平行的直线方程可设为 <m></m> ，与直线 <m></m> 垂直的直线方程可设为 <m></m> . 归纳总结 课题探究 例3 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求: (1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程. 请你尝试用不同方法解决例3. 解：(1)设所求直线方程为3x+4y+C=0, ∵点A(2,2)在直线上,∴3×2+4×2+C=0, ∴C=-14,∴所求直线方程为3x+4y-14=0. (2)设所求直线方程为4x-3y+λ=0, ∵点A(2,2)在直线上,∴4×2-3×2+λ=0, ∴λ=-2,∴所求直线方程为4x-3y-2=0. 课题探究 1.直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( 　　) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 2.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 BCD A 当堂检测 3.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l的方程是(　　) A.2x-3y+5=0 B.2x-3y+8=0 C.3x+2y-1=0 D.3x+2y+7=0 C 当堂检测 根据今天所学，回答下列问题： 1.怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行或垂直关系呢？ 2.判断两条直线是否平行的步骤是哪些？ 3.判断两条直线是否垂直的方法有哪些？ 课后小结 $$