10.2分式的基本性质同步练习2024-2025学年 北京版数学八年级上册

10.2分式的基本性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．当m>0，n>0时，若m、n都扩大为原来的k倍，则分式的值(     ) A．缩小到原来的 B．扩大到原来的k倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的k2倍 2．分式和的最简公分母是( ) A．12abc B．12a2bc C．24abc D．24a2bc 3．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 4．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果把分式中的a和b都扩大两倍，则分式的值（    ） A．变为原来的4倍 B．变为原来的 C．不变 D．变为原来的2倍 6．给出下列判断：①和0.25都是正分数：②是二次三项式；③；④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中判断正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．若x2﹣4x﹣1=0，则=（　　） A． B．﹣1 C． D．﹣ 10．下列四个分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 11．下列式子从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 12．若把分式 的x、y同时扩大10倍，则分式的值（  ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 二、填空题 13．化简：． ． 14．、、的公分母是 . 15．化简：＝ ． 16．分式与的最简公分母是 17．（1）； （2）； （3）； 三、解答题 18．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式： 19．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）2．而对于二次三项式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法： a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2， ＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）． 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 解决问题： （1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式； （2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图； （3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式与的大小． 20．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 21．一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐率变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为；第三次加入同样多的水，盐水的含盐率将变为百分之几？ 22．如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值． 23．已知，，且，求证：． 24．已知实数满足，若，，请你猜想与的数量关系，并证明． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B C B C A D 题号 11 12 答案 B B 1．A 【详解】若m、n都扩大为原来的k倍，则原分式变为： ，∴分式的值缩小到原来的 ，故选A. 2．B 【分析】根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数,相同字母取最高次幂,并且所有字母都要出现,熟悉概念即可解题. 【详解】解：数字部分：6和4的最小公倍数是12, 字母部分：a2b和abc一共有三个字母出现,并且a的最高次幂是2次幂, 将数字部分和字母部分相乘得12a2bc, 故选B. 【点睛】本题考查了分式的最简公分母,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 3．B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 4．D 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式的基本性质是关键；根据分式基本性质化简即可判断． 【详解】解：前三个选项的分子分母不能约分，而，则此选项正确； 故选：D． 5．B 【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解∶ 把分式中的a和b都扩大两倍， 得， 故分式的值变为原来的． 故选∶B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 6．C 【分析】根据有理数相关概念、多项式相关概念、分式运算和有理数的乘法运算法则逐项判定即可． 【详解】解：①，故①符合题意； ②是一个三项式，多项式的次数取这项的次数为二次，故②符合题意； ③根据分式中分子或分母的符号可以提到分数线前，则，故③符合题意； ④根据有理数的乘法运算法则，几个非零的有理数相乘，奇数个负数相乘结果为负、偶数个负数相乘结果为正，故④不符合题意；判断正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查数与式的基本概念及性质，涉及到有理数相关概念、多项式相关概念、分式运算和有理数的乘法运算法则，熟练掌握相关概念及性质是解决问题的关键． 7．B 【分析】本题主要考查了分式的约分，直接把该分式的分母同时约去即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查分式的化简，将分母化简后，分子分母同时约去公因式即可解答． 【详解】解：． 故选：C 9．A 【分析】先把已知条件变形为x²=4x+1,然后代入原式化简即可. 【详解】∵x2﹣4x﹣1=0，∴x²=4x+1. ∴= =. 故选A. 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是把分子分母因式分解后约分，解题时注意整体代入思想的应用. 10．D 【分析】直接利用分式的基本性质化简以及最简分式的定义逐项判定，进而得出答案． 【详解】解：A．，不是最简分式，故此选项不符合题意； B．，不是最简分式，故此选项不符合题意； C．，不是最简分式，故此选项不符合题意； D．是最简分式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键． 11．B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A. ，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，不可以分子除以m、分母除以n，故此选项不合题意； B. ，此选项正确，符合题意； C. ，故此选项不合题意； D. ，故此选项不合题意； 故选：B．． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质 12．B 【详解】试题解析：∵分式中的x，y的值同时扩大10倍，分子扩大10倍，分母扩大100倍， ∴分式的值缩小为原来的． 故选B． 13．. 【详解】试题分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解：，故答案为a+b． 考点：分式的化简. 14．12x3y－12x2y2 【分析】根据确定最简公分母的方法进行解答即可． 【详解】系数的最小公倍数是12； x的最高次数是2； y与（x-y）的最高次数是1； 所以最简公分母是12x2y（x-y）． 故答案为12x2y（x-y）． 【点睛】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母． 15．x 【分析】把分子分解因式，然后利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：原式＝＝x． 故答案为：x． 【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键，本题也考查了因式分解. 16．xyz 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里，据此即可得出结果． 【详解】解：分式与的分母分别为xy与yz， ∴最简公分母为xyz， 故答案为：xyz. 【点睛】本题主要考查分式的最小公分母，解此题的关键在于准确得到分母的最小公倍数. 17． 【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘-1即可； （2）根据分式的基本性质，分子分母同除以xy即可； （3）根据分式的基本性质，分子分母同乘-2-y即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行分式变形，确定分子分母同时乘除的整式． 18． 【分析】根据分式的定义和概念进行作答． 【详解】解： . 【点睛】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握运算法则. 19．（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解； （2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可； （3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小. 【详解】解：（1）原式＝a2+6ab+9a2﹣b2＝（a+3b）2﹣b2＝（a+3b﹣b）（a+3b+b）＝（a+2b）（a+4b）； （2）如图： （3）；； ∵x＞0， ∴x+4＜x+6， ∴. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是解题的关键. 20．（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 21． 【分析】本题考查列代数式，分式的除法等知识，根据题意设出未知数并列式是解题的关键．设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是，再根据“第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为”求出每次加水的质量，从而得解． 【详解】设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是， 第二次加水后的盐的质量不变， ∴第二次加水后盐水的质量为：， ∴每次加水的质量为：， ∴第三次加水后，盐水的含盐率为：， 答：盐水的含盐率将变为． 22．， 【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用． 根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式； 瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积底面积，也就是底面积；水的体积为底面积，即可得到答案． 【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积， 设瓶子的底面积为S，即；水的体积为， 瓶中水的体积与瓶子容积之比为， ∵瓶子的容积底面积底面积底面积，水的体积底面积， ∴瓶中水的体积：瓶子容积（底面积）：（底面积）， 答：这个比值是． 23．见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 24．M=N，证明见解析 【分析】将代入M中，然后化简即可得出结论． 【详解】解：M=N，证明如下 将代入M中，得 ∵ ∴M=N 【点睛】此题考查的是分式的运算，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$