第十九章一次函数教案　　2023—2024学年人教版数学八年级下册

19.1.1变量与函数 【教学目标】 1.使学生了解常量与变量的概念； 2.使学生理解变量在一个运动变化中的作用，会根据题意列关系式，会判断常量与变量. 【教学重点】变量与常量，对变量的判断，列关系式.. 【教学难点】列关系式并判断常量与变量. 【教学过程】 一、重点知识讲解： t/m 1 2 3 4 5 s/km 1. ①汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，填写 下面的表格， 用含t的式子表示s为：_________________.在这个变化过程中，s随t的变化而________,速度_______； ②每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入分别为____________元.设一场电影售出票x张，票房收入为y元，用含x的式子表示y为__________________.在这个变化过程中,x、y的值在变化，________不变； ③在一根弹簧的下端悬挂中重物，如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,受力后的弹簧长度l(cm)_________________________.； ④一个半径为10cm的圆，面积是__________；圆面积S与圆的半径r 的关系式为_________________； ⑤用10dm长的绳子围成矩形.设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?_______________________ 归纳：在一个变化过程中，我们称数值______________为变量（variable）.数值_______________为常量. 2.上面例③、④、⑤中的常量和变量分别是_______________________________. 二、巩固练习 分别写出下列问题中的关系式，并指出其中的常量与变量. （1）半径为r圆的周长公式C； （2）边长为a正方形的a面积s； （3）大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系式. （4）已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面积y为：____________. 三、典例解析 例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ （1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； （2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系式； （3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系； （4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。 四、拓展提升 写出下列问题的关系式，并指出常量和变量. （1）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式. （2）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式. 五、当堂检测 写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量： 1.三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式：_________，常量是：______，变量是：________； 2. 计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系式：__________，常量是：______，变量是：________； 3．水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L,水池中的水量V（L）随时间t变化的关系式：_______________,常量是：______，变量是：________. 教学反思： 19.1.2 函数（1） 【教学目标】 1.使学生理解函数的基本概念； 2.使学生了解表示函数关系的三种方法：解析式法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 【教学重点】函数概念的形成过程及正确理解函数的概念. 【教学难点】正确理解函数的概念. 【教学过程】 一、重点知识讲解：阅读教材第72 — 74页 1、函数：一般来说,在一个 过程中,如果有 个变量x与y,并且对于____的每一个确定的值,___都有 确定的值与其对应,那么,我们就说___是自变量, ___是x的函数。 2、函数值：如果当x=a时,y=b,那么,_____叫做当自变量的值为______时的___ _。 例如在问题1中,时间____是自变量,里程____是_____的函数。t=1时,其函数值s为 , t=2时,其函数值s为 。 3、函数关系的表示方法： 、 ， 。 二、巩固练习 1、在心电图中,时间____是自变量,心脏电流___是___的函数；表示函数关系的方法是 。 2、在人口统计表中,年份___是自变量,人口数_____是______的函数；表示函数关系的方法是 。当x=1999时,函数值y =_______ 三、典例解析 例题1：右图是北京某日温度变化图 t=0时，温度T= ； t=9时，温度T= ； t=15时，温度T= ； t=21时，温度T= ； 例题2：如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面积y关于x的函数解析式为 y= 。 例题3：等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式． 为 。 四、拓展提升 1、用10dm长的绳子围成矩形，矩形的长x,矩形面积y是x的函数，则y= 。 2、如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,重物质量x(kg)，表示受力后的弹簧长度y(cm)，y是x的函数，则其函数关系式为：____________________________ 3、在计算器上按照下面的程序进行操作： 填表： x 1 3 -4 O 101 y 显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么? 4、如图，将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1, A2, A3, ….①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和y为 ； ②若摆放前n（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和y为 . 五、当堂检测 1、三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)函数关系式为 ； 2、若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的函数关系式是 ； 3、每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，则总金额Y（元）与学生数n（个）的函数关系式为 。. 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，， ，…，以为对角线作第一个正方形， 以为对角线作第二个正方形，以为对角线作 第三个正方形，…，如果所作正方形的对角线 都在y轴上，且的长度依次增加1个单位，顶点都在 第一象限内（n≥1，且n为整数）．那么的纵坐标为 ； 用n的代数式表示的纵坐标： ． 教学反思： 19.1.2 函数（2） 【教学目标】 1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制； 2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值. 【教学重点】确定自变量的取值范围和函数值 【教学难点】确定自变量的取值范围。 【教学过程】 1、 重点知识讲解：阅读教材第72 —74 页 函数解析式：用关于 的数学式子表示 与 之间的关系的式子，叫函数解析式。 二、巩固练习 1、汽车邮箱中有汽油50L，汽车行驶平均耗油量为0.1L/km，邮箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少。则y关于x的函数解析式为： ； 自变量x的取值范围是： ，汽车行驶300km时，邮箱中有汽油 L。 三、典例解析 例题1：求下列函数中自变量x的取值范围： (1) y＝3x－1； 　(2) ； (3) ． 例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式； (2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式； (3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环． 设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式． （4）等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式． 思考：自变量的取值范围有哪些限制？ 例3．等腰三角形的周长为24cm，底边长为ycm，腰长为xcm，则y与x之间的函数关系式是_______，自变量x的取值范围是_____ .，当x=9时，y= 。 四、拓展提升 1、如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少? ( 图 ② ) ( 图 ① )2、 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，… 这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）． 如果规定，，，，…；，，，，…；，，，，…，那么，按此规定， _____，＝ ____.（用含n的式子表示，n为正整数）． 五、当堂检测 1、已知函数，则自变量的取值范围___ _。 2.、矩形的周长为12 cm，则它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式为____ __，自变量的取值范围是___ ；当一边长为2 cm时这个矩形的面积为_ ____.。 3、已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为____________． 4、 如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，正方形的面积为 ；再把正方形的各边延长一倍得到正方形（如图2），如此进行下去，正方形的面积为 ．（用含有n的式子表示，n为正整数） 图1 图2 教学反思： 19.1.3函数的图像（1） 【教学目标】 1. 使学生了解函数图象与函数关系式之间的关系； 2. 使学生会观察函数图象，从函数图像中获取信息，解决问题. 【教学重点】会观察函数图象，从函数图像中获取信息，解决问题.. 【教学难点】会观察函数图象，从函数图像中获取信息，解决问题.. 【教学过程】 一、知识梳理 1. 对于一个函数，如果把__________与函数的每对_________分别作为点的横、____坐标，那么坐标平面内由这些点_____________，就是这个函数的图像。 2. 函数的图像可以_________地反映问题中的函数关系，通过函数图像可以___________地研究函数. 二、巩固练习 1. 如图，是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答： （1） 气温最高是_______℃，在_______时，气温最低是_______℃，在______时； （2） 12时的气温是_______℃，20时的气温是_______℃； （3） 气温为-2℃的是在_______时； （4） 气温不断下降的时间是在______________；气温持续不变的时间是在______________。 2.小明的爷爷吃过晚饭后，出门散步，再报亭看了一会儿报纸才回家，小明绘制了爷爷离家的路程s（米）与外出的时间t（分）之间的关系图 （1）报亭离爷爷家________米； （2）爷爷在报亭看了________分钟报纸； （3）爷爷走去报亭的平均速度是________米∕分。 三、典例解析 例1：下图反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄地，然后回家，。其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。 根据图像回答下列问题： （1） 菜地离小明家多远？小明家到菜地用了多少时间？ （2） 小明给菜地浇水用了多少时间？ （3） 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用 了多少时间？ （4） 小明给玉米地除草用了多少时间？ （5） 玉米地离小明家多远？小明从玉米地回家的 平均速度是多少？ 例2：王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题： （1） 小强让爷爷先上多少米？ （2） 山顶高多少米？谁先爬上山顶？ （3） 小强用多少时间追上爷爷？ （4） 谁的速度大，大多少？ 四、拓展提升 图中的折线表示一骑车人离家的距离y与时间x的关系。骑车人9：00离家，15：00回家，请你根据这个折线图回答下列问题： （1）这个人什么时间离家最远？这时他离家多远？ （2）何时他开始第一次休息？休息多长时间？这时他离家多远？ （3）11：00~12：30他骑了多少千米？ （4）他再9：00~10：30和10：30~12~30的平均速度各是多少？ （5）他返家时的平均速度是多少？ （6）14：00时他离家多远？何时他距家10千米？ 五、当堂检测 1. 一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为（ ）. 2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题： (1)小李到达离家最远的地方是什么时间？ (2)小李何时第二次休息？ (3)10时到14时，小骑了多少千米？ (4)整个过程中，小李的平均车速是多少？ 教学反思： 19.1.3函数的图象（2） 【教学目标】 1. 使学生会用描点法画出函数的图像； 2. 使学生掌握画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线． 【教学重点】会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象． 【教学难点】会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象． 【教学过程】 一、重点知识讲解 阅读教材P77-79，完成下面的练习： 描点法画函数图象的一般步骤: 第一步： （表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） 第二步： （在直角坐标系中，以 的值为横坐标，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的点） 第三步： （按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用 的曲线连接起来） 二、巩固练习 在所给的直角坐标系中画出函数的图象. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 三、典例解析 例：画出函数的图象． 四、拓展提升 正方形的一边长为x cm，面积为y cm2. （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给出的坐标系中，作出函数图像. 五、当堂检测 画出函数的图像. 教学反思： 19.1.3函数的图象（3） 【教学目标】 1. 使学生了解并掌握表示函数的三种方法，知道这三种方法的优缺点； 2. 使学生能较熟练的画出函数的图象，并能从图象中获取信息，从而解答实际问题； 3．通过函数图象的画法与应用，让学生体会数形结合思想. 【教学重点】函数图象的三种表示方法及应用． 【教学难点】函数图象的画法，从图象中获取信息． 【教学过程】 一、重点知识讲解 阅读教材P79-81，完成下面的练习： 1、三种表示函数的方法是 、 、 . 2、 的优点是直接给出部分函数值； 的优点是明显地表示对应规律； 的优点是直观地表示变化趋势. 二、巩固练习 某单位今年产值为6万元，计划每年产值增加2万元． ①求年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式；②画出该函数的图象． 三、典例解析 例1：如图，函数的图象与x轴交于A（2，0），P为图象上一点，观察图象，回答下列问题：①自变量x的值是6时，函数值是多少？ ②当x取何值时，函数值为零？ *③利用图象解不等式 例2：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度。 t / 时 0 1 2 3 4 5 y / 米 10 10.05 10.10 10.15 10.20 10.25 （1） 由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时间t（单位：时）变化的函数解 析式，并画出函数图像； （2） 据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？ 四、拓展提升 函数图象特征与函数性质之间存在着必然联系．请根据图中的函数图象特征及表中的提示，说出此函数的变化规律．此外，你还能说出此函数的哪些性质？ 序号 函数图象特征 函数变化规律 （1） 曲线从点A（－6，－4）至点K（7，2） 自变量的取值范围是 ． （2） 曲线与y轴交于点D（0，4） 当x=______时，y=______． （3） 曲线与x轴分别交于点B（－5，0）、F（2，0）、H（6，0） 当x的值分别为时______，y=0． （4） 曲线经过点E（1，2） 当x=______时，y=______． （5） 由左至右曲线AC呈上升状态 当－6≤x≤－2时，y随x的增大而______． （6） 由左至右曲线CG呈下降状态 当______时，y随x的增大而___________． （7） 由左至右曲线GK呈__________ 当______时y随____________． （8） 曲线上的最高点是C（－2，5） 当x=____时，y有____值，且这个值为______． （9） 曲线上的最低点是____________ 当x=____时，y有____值，且这个值为______． （10） 曲线BCF位于x轴的上方 当______时，y______0． 五、当堂检测 用列表法画函数y=-x+ 4的图象． ①判断A（2，-2），B（0，4），C（-3，1）是否在函数图象上； ②求图象上x=1时y的值，y=5时x的值； ③观察此函数的图象的形状是什么图形？ ④写出此函数的图象与x轴、y轴的交点坐标． 教学反思： 19.2.1正比例函数 【教学目标】 1. 使学生理解正比例关系及正比例函数的概念；并较熟练地画出正比例函数图象。 2. 使学生理解正比例函数解析式与其图象之间相互关系。 【教学重点】理解正比例函数解析式与其图象之间相互关系． 【教学难点】理解正比例函数解析式与其图象之间相互关系 【好像过程】 一、重点知识讲解 阅读教材P86-89，完成下面的练习： 1、描点法画函数图象的一般步骤: 、 、 。 2、京沪高铁全长1320km，列车平均车速300km/h，解答以下问题： （1）列车全程运行时间是： 。 （2）列车行程y是运行时间t的函数，则此函数解析式为： （ ） （3）从北京出发2.5h时的行驶路程是： 。 3、下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数解析式有哪些共同特征？ （1）圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化； 常数： 自变量： 函数： 。 （2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小 变化而变化； 常数： 自变量： 函数： 。 （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本数 n的变化而变化； 。常数： 自变量： 函数： 。 （4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化． 。常数： 自变量： 函数： 。 共同特征：这些函数都是 与 的 的形式。 4、正比例函数： 一般地,形如 (k是 ,k O)的函数,叫做正比例函数, 其中k叫做 . 二、巩固练习 下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数： A. B. C. D. 三、典例解析 例1 ：写出下列函数关系解析式，并指出哪些属于正比例函数？ (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)； 。 (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)； 。 (3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨； 。 (4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）． 。 例2：已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7. (1)求y与x之间的函数关系式． (2) 计算y＝－4时x的值． 四、拓展提升 1.在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象：(1) （2）y=x (3)y=2x 解：列表 x -2 -1 0 1 2 y y y 2.在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象：(1) （2）y=-x (3)y=-2x 解：列表. x -2 -1 0 1 2 y y y 知识梳理： 1、图像形状： 一般地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过 的直线,我们称它为 . 2、增减性： 当k>0时,直线y=kx经过第 象限,从左向右 ,即随着x的增大y也 ； 当k<0时,直线y=kx经过第 象限,从左向右 ,即随着x的增大y反而 。. 五、当堂检测： 1、若y=(m-2)xm2-3 是正比例函数，则m=____________.   2、下列四个点中，在正比例函数的图象上的点是_____ A. (2,5) B. (5,2) C. (2,-5) D. (5,-2) 3、直线y=kx经过点（1,3），则此正比例函数解析式为： 。 4、直线y=kx经过点（-1,3），则此正比例函数解析式为： 。 5、当k>1时，正比例函数 随x的增大而____ _ 6、已知y+3与x-1成正比例，且x＝2时，y＝7. 求y与x之间的函数关系式. 教学反思： 19.2.2一次函数（1） 【教学目标】 1.使学生理解一次函数的概念，会辨别一次函数； 2.使学生理解一次函数和正比例函数的关系. 【教学重点】理解一次函数的概念. 【教学难点】理解一次函数的概念. 【教学学习过程】 一、重点知识讲解 1.正比例函数的概念是 2. 根据题意写出下列函数的解析式 ①仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，则仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式：________________ ②某登山队大本营所在地的气温为15°C,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高ｘkm时,他们所处的位置的气温是y℃. y与x的关系式： ③一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值；G与h的关系式：_______________ ④把一个长10cm、宽5cm的长方形的宽减少xcm，长不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化；y与x的关系式：_______________ ⑤某城市的市内电话的月收费为y（单位：元）包括：月租22元，拨打电话x分的计时费（按0.1元/分收取）；y与x的关系式：_______________ 3. 面这些函数的形式都是自变量x的k（常数）倍与一个常数的 ． 如果我们用b来表示这个常数的话．�这些函数形式就可以写成： 4.归纳：一般地，形如 的函数叫一次函数. 注意：(1)自变量系数（常数）_________；(2)自变量x的次数为__________； （3）当b=0时，y=kx+b即y=kx，故正比例函数是 _____的一次函数. 二、巩固练习 1.下列函数中，是一次函数的有_____________，是正比例函数的有______________ ① ② ③ ④ ⑤ y=kx ⑥ ⑦ 2. 下列说法正确的是（ ） A.是一次函数 B.一次函数是正比例函数 C.正比例函数是一次函数 D.不是正比例函数就一定不是一次函数 3. 今年植树节，同学们中的树苗高约1.80米。据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，则树高y与年数x之间的函数关系式是_____________，它是_______函数，同学们在3年之后毕业，则这些树高________米。 4. 在一次函数中，k =_______，b =________；在一次函数中，当 时，______；当_____时，. 三、典例解析 例1：1.①若函数是正比例函数，则b = _________； ②若函数是一次函数，则m__________； ③已知函数： （1）当m、n、p满足 ，此函数是正比例函数； （2）当m、n、p满足 ，此函数是一次函数. 2.若函数y=(m-1)x|m|+m是关于x的一次函数,试求m的值. 例2：1.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费.设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元. （1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数. （2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费. 2. 已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）． (1) 当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围； (2) 当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围． 四、拓展提升 已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7. (1)写出y与x之间的函数关系．(2)y与x之间是什么函数关系．(3)计算y＝－4时x的值． 五、当堂检测 1.写出下列问题中的函数关系式，再判断哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数. (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)； (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)； (3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨； (4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时） 2. 汽车油箱中原有油50L，如果行驶中每小时用油5L，求油箱中油量y（L）随行驶时间x（小时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。y是x 的一次函数吗？ 教学反思： 19.2.2 一次函数（2） 【教学目标】 1. 使学生熟练地做出一次函数图象； 2. 使学生通过函数的图象去探索一次函数y=kx+b的图象的特点，归纳其性质并掌握其性质. 【教学重点】一次函数的图像及性质. 【教学难点】根据函数图像归纳概括一次函数的性质. 【教学过程】 一、重点知识讲解 1．知识回顾：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条 ．� 当k>0时，图象经过 象限，从左向右 ，y随x的增大而 ； 当k<0时，图象经过 象限，从左向右 ，y随x增大y而 ． 2. 阅读教材P91-93，完成下面的练习. 画出函数、、的图像并回答问题. ①这三个函数的解析式有什么相同点？ ②观察你列的表格，当自变量取值相同时， 三个函数的函数值有什么关系？ ③这三个函数的图像在位置上有什么关系？ 小结：一次函数（k≠0）的图像是一条 ，它可以看作是由直线y=kx（k≠0）平移 个单位长度而得，当时，图像向 平移，当时，图像向 平移. 二、巩固练习 1、将直线y=3x-1向上平移2个单位，得到直线 ； 2、将直线y=-5x+4向下平移4个单位，得到直线 ． 三、典例解析 例：画出函数与的图像. 规律：当k>0时，直线y=kx+b由左至右 ；当k<0时，直线y=kx+b由左至右 ． 性质：当k>0时，y随x增大而 ，当k<0时，y随x增大而 . 图像特征：当k>0，b>0时，图像过 象限； 当k>0，b<0时，图像过 象限； 当k<0，b>0时，图像过 象限； 当k<0，b<0时，图像过 象限. 四、拓展提升 1. 已知函数． （1）当m、n为何值时，其图象是过原点的直线； （2）当m、n为何值时，其图象是过（0，4）点的直线； （3）当m、n为何值时，其图象是一条直线且y随x的增大而减小． 2. 如图，直线l1：y＝ax＋b和l2：y＝bx－a在同一坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 五、当堂检测 1、函数y=kx+b的图象是经过点（0, ）与点（ ,0）的一条 ． 2、直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_____，�图象经过第_____象限，y随x增大而 . 3、已知一次函数①，②，③，④，⑤，其中y随着x的增大而减少的有 . 4、当m满足 时，一次函数x+6中，y随x的增大而增大. 5、一次函数y＝－2x－1的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6、已知函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，那么k、b一定满足（ ） A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b≤0 教学反思: 19.2.2 一次函数（3） 【教学目标】理解待定系数法，并会用待定系数法求一次函数的解析式. 【教学重点】用待定系数法求一次函数的解析式. 【教学难点】用待定系数法求一次函数的解析式. 【教学过程】 一、重点知识讲解 阅读教材P93-94的例4，完成下面的练习. 已知一次函数的图像经过点（3，5）与（2，3），求这个一次函数的解析式。 解： 设所求解析式为 . ∵一次函数的图像经过点（3，5）与（2，3） ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为_______________. 像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做 . 二、巩固练习 已知直线经过点（9，0）和点（24，20），求这条直线的函数解析式. 三、典例解析 例1：A（1，4），B（2，m），C（6，－1）在同一条直线上，求m的值. 例2：①写出满足下表的一个一次函数的解析式： x -1 2 5 y 3.5 2 0.5 ②求这个一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 四、拓展提升 直线y=kx+b过点A（-2，6），且平行于直线y = -x． ①求这条直线的解析式； ②若点B（m，-3）在这条直线上，求m的值； ③若O为坐标原点，求△AOB的面积． 五、当堂检测 已知一次函数的图像经过点A（2，2）和点B（－2，－4） （1）求AB的函数解析式； （2）求图像与x轴、y轴的交点坐标C、D，并求出直线AB与坐标轴所围成的面积； （3）如果点M（a，）和N（－4，b）在直线AB上，求a、b的值。 教学反思： 19.2.2 一次函数（4） 【教学目标】 1. 会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式； 2. 会根据题意求出分段函数的解析式，并能利用分段函数图形解决有关实际问题. 【教学重点】分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决. 【教学难点】数学建模的过程、思想、方法的领会. 【教学过程】 一、重点知识讲解 1.知识回顾： 用待定系数法求函数解析式的步骤： ① ； ② ； ③ ； ④ . 2.阅读教材P94-95的例5，完成下面的练习. 分段函数：对于自变量x的不同的 ，有着不同的 ，这样的函数通常叫做分段函数。 二、巩固练习 已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式． 三、典例解析 例1：某市推出电脑上网包月制，每月收费y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图： （1） 当时，求y与x之间的函数关系式； （2） 若小李4月份上网20小时，他应付多少元 的上网费用？ （3） 若小李5月份上网费用为75元，则他在该 月分的上网时间是多少？ 例2：某人出售一批货物，为了方便他带了一些钱备用，按市场价售出一些后又降价出售， 售出的货物的千克数与他手中持有的钱数y的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）此人自带的零钱是多少？ （2）求降价前持有钱数y与货物重量之间的关系式． （3）由表达式你能求出降价前每千克的货物价格是多少? （4）降价后他按每千克0.4元将剩余货物售完，这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克货物? 四、拓展提升 1、如图点P按的顺序在边长为l的正方形边上运动，M是CD边上的中点．设点P经过的路程为自变量，APM的面积为，则函数的大致图象是( ) 2、如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题： （1）P在AB上运动时间为　　s， 在CD上运动的速度为　　cm/s， S△APD的最大值为　　 cm2； （2）求S与t的函数解析式； （3）当t为　　s时，△APD的面积为10cm2． 五、当堂检测 右图是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min)的函数图象， 观察图中所提供的信息，解答下列问题： （1）汽车在前9分钟内的平均速度是 （2）汽车在中途停了多长时间？ （3）当16≤t≤30时，求S与t的函数关系式. 教学反思： 19.2.3一次函数与一元一次方程（1） 【教学目标】会用函数的方法解一元一次方程. 【教学重点】会用函数观点认识一元一次方程．应用函数解一元一次方程 【教学难点】会用函数观点认识一元一次方程 【教学过程】 一、重点知识讲解 1．解下列方程（1）2x+1=0 x= , （2）2x+1=3 x= , （3）2x+1=-1 x= , 2．在平面直角坐标系中画出函数y=2x+1的图像 并通过图像观察： y=0时， x= , y=3时， x= , y=-1时，x= , 思考：上述三个方程的解可以看做是 （1）函数y=2x+1的函数值y=0、3、-1时， 所对应的 的取值。 （2）直线y=2x+1上的点的纵坐标分别为0、3、-1时， 所对应的 的取值。 3. 在平面直角坐标系中画出 函数y=2x-2和y=2x+2的图像 并观察图像与x轴交点的横坐标 分别是： ， 。 思考：因为任何一个以x为未知数的 一元一次方程都可以变形为 ax+b=0(a≠0)的形式， 所以，解一元一次方程相当于： （1） 函数y= ax+b的函数值为0时， 求 的值。 （2）直线y= ax+b与x轴交点的 。 二、巩固练习 1、解方程3x-2=0 得x= ，所以当x= 时，y=3x-2的值为0， 直线y=3x-2与x轴交点的坐标为 。 2、解方程6x+4=5 得x= ，所以当x= 时，y=6x+4的值为5， 直线y=6x-1与x轴交点的坐标为 。 三、典例解析 例1 ：一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？ 解：方法一：设再过x秒物体速度为17m/s． 列方程得： 解之得： x= ． 方法二：设速度y（m/s）是时间x（s）的函数，则关系式为： 当函数值y=17时，对应的自变量x = ． 方法三：由方程 可变形 画图： 得到方程： =0． 从图象上看，直线y= 与x轴的交点为（ ， ）． 所以x= ． 总结：这个题我们通过三种方法，从 、 及 三个不同方面进行解答．它是 与 的完美结合，结果是相同的． 例2：（1）已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴同一点，则b= 。 （2） 直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2,0），则关于x的方程2x+b=0的解为 。 四、拓展提升 药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克／毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如下图．请你根据图象： （1）说出服药后多少时间血液中药物浓度最高？ （2）分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y与x的函数关系式． （3）如果药效发挥作用是在血液中药物浓度y≥4 （微克／毫升）时，求药效发挥作用的时间是多少？ 知识梳理： 五、当堂检测： 1. 已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别 是 、 。方程2x+8=0的解是 该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 . 2.设m、n为常数且m≠0，直线y=mx+n（如图所示）， 则方程mx+n=0的解是 . 教学反思: 19.2.3一次函数与一元一次不等式（2） 【教学目标】会用函数的方法解一元一次不等式. 【教学重点】会用函数观点认识一元一次不等式．应用函数解一元一次不等式. 【教学难点】会用函数观点认识一元一次不等式. 【教学过程】 一、重点知识讲解 1．解下列不等式（1）2x+1>0 x , （2）2x+1≥3 x , （3）2x+1<-1 x , 2．在平面直角坐标系中画出函数y=2x+1的图像 并通过图像观察： y>0时， x , y≥3时， x , y<-1时，x , 思考：上述三个不等式的解可以看做是 （1）函数y=2x+1的函数值y>0、y≥3、y<-1时， 所对应的 的取值范围。 （2） 直线y=2x+1上的点的纵坐标分别满足 y>0、y≥3、y<-1时，所对应的 分别满足的取值范围。 3. 在平面直角坐标系中画出 函数y=2x-2和y=2x+2的图像 并观察图像与x轴交点的横坐标 分别是： ， 。 直线y=2x-2在x轴上方部分所对应的x轴上部分是 ， 直线y=2x+2在x轴下方部分所对应的x轴上部分是 ， 思考：因为任何一个以x为未知数的 一元一次不等式都可以变形为 ax+b>0(a≠0)或ax+b<0(a≠0)的形式， 所以，解一元一次不等式相当于： （1） 函数y= ax+b的函数值大于0或小于0时， 求 的取值范围。 （2）直线y= ax+b在x轴上（下）方时对应x轴的那一部分。 二、巩固练习 1、解不等式3x-2=0 得x ，所以 当x 时，y=3x-2的值大于0， 直线y=3x-2在x轴上方部分所对应的x轴上部分是 。 2、解方程2x+1<3 得x ，所以 当x 时，y=2x+1的值小于3， 直线y=2x+1在y=3下方部分所对应的x轴上部分是 。 直线y=2x-2在x轴下方部分所对应的x轴上部分是 。 三、典例解析 例1 ： 已知一次函数y=2x+b(k,b是常数，且k≠0) x和y的部分对应值如下表所示， x -2 -1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 -1 -2 ( y x A B 2 -1 )则不等式kx+b<0的解集 毛 例2：直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示，当y<0时， 则x的取值范围 。 四、拓展提升 解不等式2x-1>-x+2． 方法一：（直接解不等式） 方法二：（转化成ax+b>0的形式，并利用函数图像求解集） 方法三： （画出y=2x-1和y= -x+2的图像，并利用函数图像求解集） ( y x 0 -2 y=3x+6 ) 五、当堂检测： 1、由函数图象直接写出相应的不等式的解集。 （1）3x+6>0 解集为__________. （2）3x+6<0 解集为__________. 2、已知关于x的不等式ax+1>0(a≠0)的解集是x<1, 则直线y=ax+1与x轴的交点坐标是 。 3、已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2， 则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标为 。 4、 已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A(2，-1)： （1）求k,b的值，在同一直角坐标系中画出两个函数的图像。 （2）利用图像求出：当X取何值时有①y1<y2． ②y1≥y2． 教学反思: 19.2.3一次函数与方程、不等式（组） 【教学目标】 1.使学生理解一次函数与二元一次方程（组）的关系. 2.使学生会利用函数图象解二元一次方程组. 3.使学生通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性. 【教学重点】探索一次函数与二元一次方程（组）的关系. 【教学难点】综合运用方程（组）不等式和函数的知识解决实际问题. 【教学过程】 一、重点知识讲解 阅读教材P97-98，完成下面的练习. 1. ①已知2x－y=1，用含x的代数式表示y，则y= ______； ②方程2x－y=1的解有 个； ( x =1 y =1 是方程 2 x － y =1 的一个解吗 ？_________ )  ③ ④（1，1）是否是直线y=2x－1上的一个点？___________ 结合以上几个问题，我们可以发现：方程2x－y=1可以转化为_________，并且直线y=2x－1上每个点的坐标（x，y）都是方程2x－y=1的解． 由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b（ ）的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应__________．并且这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解． 2. 在同一直角坐标系中画出直线y=2x－1与y=－x+的图象，并思考： ( 2 x－y= 1 3 x+ 5 y= 8 )（1）它们有交点吗？ _______ ( 的解有何关系？_________ )（2）交点的坐标与方程组 （3）当自变量x取何值时，函数y=2x－1与y=－x+的值相等？这时的函数值是多少？ 二、巩固练习 1．直线y=x–1和y=x+3的位置关系是_______，由此可知方程组解的情况是______. 2.以方程的解为坐标的所有点都在一次函数_____的图象上。 ( x + y =1 x - y =1 )3.方程组 的解是________,由此可知,一次函数与的图象必 有一个交点,且交点坐标是________. 三、典例解析 例1：图像法解方程组： ( 1 )变式：1．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?解是什么? （1） （2） 总结：从函数的观点看解二元一次方程组： 1.从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的 2.从“数”的角度看：解方程组相当于考虑，当 为何值时,两个 __________相等以及这个函数值是何值. 四、拓展提升 如图，已知直线，直线，直线、分别交x轴于B、C两点，、相交于点A. （1） 求A、B、C三点坐标； （2） 何时2x+3＞-x-5 （3） 求△ABC的面积. ( x y A B C ) 五、当堂检测 已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1）求两直线与y轴交点A，B的坐标； （2）求两直线交点C的坐标； （3）求△ABC的面积. 教学反思： 19.3课题学习 【教学目标】 １.使学生会用一次函数解决方案选择问题； 2．使学生体会用一次函数解决方案问题的优势。 【教学重点】用一次函数解决方案选择问题 【教学难点】用一次函数解决方案选择问题 【教学过程】 一、重点知识讲解 阅读教材P102-104，完成下面的练习. 1.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1�元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费．设上网时间累计为x分钟，则方式A的收费y与上网时间x的函数关系式为：______________； 方式B的收费y与上网时间x的函数关系式为：______________； 上网时间为______分时，两种方式的计费相等； 当上网时间x＿＿＿＿时，选择方式A； 当上网时间x＿＿＿＿时，选择方式B． 2．某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元 . 小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张. （1）写出零星租碟方式应付金额y1(元)与租碟数量x（张）之间的函数关系式: （2）写出会员卡租碟方式应付金额y2(元 )与租碟数量x(张)之间的函数关系式: （3）小彬选取哪种租碟方式更合算？ 二、巩固练习 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙队开挖到30m时，用了 h，开挖6h时甲队比乙队多挖了 m； （2）请你求出： ①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式； ②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式； ③当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？ 三、典例解析 例1．某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出：每份说明书收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份说明书收2.5元印刷费，不收制版费。 （1）分别写出两个印刷厂的收费y甲、y乙（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中作出它们的图像； （3）根据图像回答问题： ①印刷800份说明书时，选择哪家印刷厂比较合算？ ②该单位准备拿出3000元用于印刷说明书，找哪家印刷厂印制的说明书多一些？ 　　③请你帮这个单位设计一个合理的方案． 例2：A、B两个商场平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间让利销售，A商场所有商品按八折出售；在B商场消费金额超过200元后，超过部分可在这家商场按7折价格购物，试问如何选择商场来购物更经济？ 四、拓展提升 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师。现有甲、乙两种大客车，甲车每辆载客45人，租金每辆400元。乙车每辆载客30人，租金每辆280元。(1)共需租多少辆汽车？(2)给出最节省费用的租车方案． 五、当堂检测 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由． 教学反思： 30 学科网（北京）股份有限公司 （第1题） （第1题） （第1题） D C B A （第1题） （第1题） （第1题） （第1题） （第1题） （第1题） （第1题） 图17.2.6 （第1题） $$