25.3 用频率估计概率 同步分层训练　　2024—2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级数学上册 25.3 用频率估计概率 同步分层训练 方法与技巧 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 学习了用频率估计概率的知识点。解题时，首先要明确试验的可能结果和重复试验的次数。随着试验次数的增加，某一事件发生的频率会趋于稳定，这个稳定值就是该事件的概率。解题技巧上，我们要注意数据的收集和整理，确保每次试验条件相同，避免引入偏差。同时，通过图表等方式记录数据，可以更直观地观察频率的变化趋势。总之，通过大量重复试验，用频率来估计概率是一种有效的方法。 夯实基础 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 一、选择题 1．某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 2．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动.顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子.若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（　　） A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.2 3．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　） A．0.53 B．0.87 C．1.03 D．1.05 4．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 5．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　） A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2 6．一个袋子中装有12个球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．其活动小组想估计袋子中红球的个数，分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为3000次．请你估计袋中红球接近（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 7．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的 B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上 D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 8．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（　　） 实验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 0.37 0.32 0.345 0.339 0.333 A． B． C． D． 9．某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780 击中靶心的频率 0.8 0.85 0.8 0.79 0.79 0.78 0.78 根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（　　） A．0.78 B．0.79 C．0.8 D．0.85 10．随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.下列说法错误的是（　　） 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A．抽取100件的合格频数是90 B．抽取200件的合格频率是0.95 C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D．出售2000件毛衫，次品大约有100件 巩固积厚 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 二、填空题 11．为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据： 估计该厂生产的A产品合格的概率是　 　．（结果精确到） 12．淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注：） 展现量 50 100 1000 5000 10000 50000 100000 点击量 4 7 78 385 760 3800 7600 点击率 根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为　 　. 13．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 20 42 66 88 杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22 则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为　 　（结果精确到0.01）. 14．在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，它们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.2，据此估计袋中黄球的个数约为　 　个. 15．“头盔是生命之盔”，质检部门]对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数约有　 　个． 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 三、解答题 16．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中黄球有6个. （1）若先从盒子里拿走m个黄球，这时“从盒子里随机摸出一个球是黄球”的事件为“随机事件”，则m的最大值为　 　. （2）若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在40%，则n的值大约是多少? 17．用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近﹐如图所示为某次试验示意图. （1）下列事件比较符合该试验的有　 　.(填序号) ①掷一枚骰子，点数大于2；②从2名男生，2名女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女；③从扑克牌中抽一张牌，这张牌的花色是红桃；④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次就摸到红球. （2） 这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数?请说明理由. 18．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球球实验，试验小组两人一组，共20组，其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球的次数为6000次. （1）估计从袋中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是　 　. （2）请你估计袋中红球接近多少个. 19． 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？ 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 四、综合题 20．某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表： 日需求量 26 27 28 29 30 频数 5 8 7 6 4 （1）求这30天内日需求量的众数； （2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数； （3）以30记录的各需求量的频率作为各需求是发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率． 21．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图. （1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会稳定在　 　(精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为　 　； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个? （3）在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球? 22．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下： 设计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 射中九环以上的次数 15 33 ____ 63 79 97 111 130 射中九环以上的频率 0.75 0.83 0.80 0.79 0.79 ____ 0.79 0.81 （1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）； （2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由． 23．已知，在一个盒子里有红球和白球共10个，它们除颜色外都相同，将它们充分摇匀后，从中随机抽出一个，记下颜色后放回．在摸球活动中得到如下数据： 摸球总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 摸到红球的频数 17 32 44 64 78 ____ 103 122 136 148 摸到红球的频率 0.34 0.32 0.293 0.32 0.312 0.32 0.294 ____ 0.302 ____ （1）请将表格中的数据补齐； （2）根据上表，完成折线统计图； （3）请你估计，当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近　 　（精确到0.1） 答案与解析 三人行必有我师！ 1．答案:A 解析：解：A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意； B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意； C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； D.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故本选项不符合题意； 故答案为：A. 分析：根据概率公式分别求出A、B、C、D中事件的概率，据此判断. 2．答案:A 解析：解：某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是. 故答案为：A. 分析：样本估计总体，频率估计概率，转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，频率为600÷2000＝0.3，因此估计总体的概率为0.3，即转动转盘一次，获得一袋橘子的概率为0.3． 3．答案:A 解析：解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动， ∴落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动， ∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.53. 故答案为：A. 分析：根据频率估计概率的知识可得：落下后，正面朝上的频率稳定在的周围波动，据此判断. 4．答案:C 解析：解：设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据题意得 ， 解之：x=4. 故答案为：C 分析：设袋子中的黄球个数最有可能是x个，根据摸出红球的频率稳定在左右，可得到关于x的方程，解方程求出x的值. 5．答案:B 解析：解：设不规则图案的面积为xcm2， ∵长方形面积为20cm2， ∴小球落在不规则图案的概率为：， 由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， ∴=0.35， 解得：x＝7， ∴不规则图案的面积大约为7cm2， 故答案为：B． 分析：设不规则图案的面积为xcm2，易得小球落在不规则图案的概率为，由当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，根据折线图用频率估算概率，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，从而得到=0.35，解之即可解决问题. 6．答案:D 解析：解：由题意得 . 故答案为：D 分析：利用已知分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，可知一共做了4000次试验，再根据一个袋子中装有12个球，可求出摸出红球的概率，再利用摸出红球的概率乘以摸到红球的次数，列式计算可求解. 7．答案:D 解析：解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此， A.通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意； B.大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意； C.连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意； D.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意； 故答案为：D. 分析：根据概率的意义可判断A；根据频率估计概率的知识可判断B；根据随机事件的概念可判断C、D. 8．答案:B 解析：解：由表格数据，可知某一结果发生的概率约为0.33， ∵，，，， ∴与最接近的是， ∴该结果发生的概率约为． 故答案为：B 分析：利用频率估算概率的计算方法求解即可。 9．答案:A 解析：解：由表中数据可知 频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率为0.78. 故答案为：A 分析：由表中数据可知射击的总次数增加，击中靶心的频率趋于稳定，由此可得答案. 10．答案:C 解析：解：A、抽取100件的合格频数是90， ∵， ∴抽取100件的合格频数是90正确； B、抽取200件的合格频率是0.95， ∵， ∴抽取200件的合格频率是0.95正确； C、任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90， ∵当抽取件数很大时，频率在0.95附近摆动， ∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.95， ∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90错误； D、出售2000件毛衫，次品大约有100件， ∵（件）， ∴出售2000件毛衫，次品大约有100件正确. 故答案为：C. 分析：根据表格提供的数据，由频数=频率×抽取的件数，即可判断A、B、D；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可判断D. 11．答案:0.95 解析：解：由图中数据可知， 产品总数量：1000+2000+3000+4000+5000+6000+7000+8000+9000+10000=55000（件） 合格产品总数量：1000×0.941+2000×0.96+3000×0.953+4000×0.945+5000×0.951+6000×0.946+7000×0.952+8000×0.949+9000×0.951+10000×0.95=52246（件） 所以 故答案为：0.95. 分析：本题考查使用频率估计概率的知识点，结合题中所给的数据图，分别计算产品总量以及合格总量，再计算概率即可. 12．答案:7.6% 解析：解：根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%. 根据频率的稳定性可知，当该商品展现量为30000时，点击率约为7.6%. 故答案为：7.6%. 分析：根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%，据此解答. 13．答案:0.22 解析：解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右， 估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22. 故答案为∶ 0.22. 分析：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右，然后根据频率估计概率的知识进行解答. 14．答案:20 解析：解：设估计袋中黄球的个数约为x个，根据题意得 解之：x=20. 故答案为：20 分析：设估计袋中黄球的个数约为x个，根据经过多次试验发现摸到红球的频率稳定在0.2，可得到关于x的方程，解方程求出x的值. 15．答案:9600 解析：解：通过观察发现头盔合格数稳定的频率大约是0.96，估计该工厂生产5000个头盔，合格的头盔数有10000×0.96＝9600（个）． 故答案为：9600． 分析：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，通过观察发现头盔合格的稳定频率大约是0.96，用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 16．答案:（1）5 （2）不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，又在盒子中再加入2个黄球， ∴ 解得n=18. 解析：解：（1）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”， ∴不透明的盒子中至少有一个黄球， ∴m的最大值=6-1=5 ； 故答案为：5； 分析：（1）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，由随机事件的定义可知，则不透明的盒子中至少有一个黄球，所以m的值即可求出； （2）根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为40%，然后根据概率公式计算n的值即可. 17．答案:（1）①② （2）解： 这幅图中的频率是关于试验次数的函数 ，因为试验次数确定时，频率也唯一确定. 解析：解：①掷一次骰子，可能出现的结果有6个，分别是点数为：1、2、3、4、5、6，它们出现的可能性相同， 其中，点数为大于2的结果有4个， ∴掷一次骰子，点数为大于2的概率是，故符合实验统计图中的数据； ②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，可能出现的结果有6个，它们出现的可能性相同 其中，选中1男1女的结果有4个， ∴选中1男1女的概率是：，故符合实验统计图中的数据； ③ 从扑克牌中抽一张牌，共有54种等可能的结果数，其中这张牌的花色是红桃 的情况数有13种， ∴ 张牌的花色是红桃的概率为：，故不符合试验统计图中的数据； ④ 6个形状相同的球中有2个红球，摸一次就摸到红球的概率为，故不符合实验统计图中的数据； 故综上所述，故答案为：①②； 分析： （1）根据概率公式分别算出各个事件的概率，再与试验示意图中的数据进行比较即可得出答案； （2）因为频率随试验次数的变化而变化，试验次数确定时，频率也唯一确定，据此即可判断得出答案. 18．答案:（1） （2）解：有（1）可知，摸到白球的概率约为1-=， 所以总球数=5=20（个）， 所以袋中红球数约为20-5=15（个）. 解析：（1）从袋中任意摸出1个球，恰好是红球的概率==； 故答案为：； 分析：（1）根据用频率估算概率，可以得到摸到红球的概率为； （2）根据用样本估算总体的定义，可得袋中总的球数；最后根据红球数=总球数-白球的数量，可得红球的数量. 19．答案:解：由题意，得 ，解得 . 经检验， 是分式方程的解. 答：x的值大约是16. 解析：直接根据，列出方程即可. 20．答案:（1）解：∵27出现了8次，出现的次数最多， ∴这30天内日需求量的众数是27 （2）解：假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶， 则这30天的日利润的平均数是：[（26×5+27×8+28×7+28×6+28×4）×6﹣28×30×3]÷30=80.4（元） （3）解：设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据题意得： 6x﹣28×3≥81， 解得：x≥27.5， 则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为： = ． 解析：（1）观察表中，可知出现次数最多的是27，可求出这组数据的众数。 （2）根据利润=售价-进价，列式计算可求解。 （3）先求出利润不低于81元的每天的需求量，再求出其概率。 21．答案:（1）0.5；0.5 （2）解：∵40×0.5=20，40-20=20， ∴盒子里白、黑两种颜色的球各有20个 （3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得： ， 解得x=10， 经检验，x=10是所列方程的根， 故需要往盒子里再放入10个白球. 解析：解：(1)根据题意可得：当n足够大时，摸到白球的概率会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5； 分析：（1）观察“摸到白色球”的频率折线统计图，可得出当n足够大时，摸到白球的概率会接近0.50，可求解。 （2）用球的总个数×白球的概率=白球的个数；再求出黑球的个数。 （3）需要往盒子里再放入x个白球，根据要使摸到白球的概率为，建立关于x的方程，求解即可。 22．答案:（1）48；0.81. （2）解：P（射中9环以上）=0.8 从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8． 解析：（1）根据频数=频率×次数，可计算出空缺部分。 （2）根据频率稳定性，可观察概率应该在0.8附近波动。 23．答案:（1）96；0.305；0.296 （2）解：折线统计图如图所示： （3）0.3 解析：解：⑴300×0.32=96， ， ， 故答案为：96；0.305；0.296； ⑶当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近0.3， 故答案为：0.3． 分析：根据频数=次数×频率，可将表格中数据补齐。 （2）根据摸球总次数与频率的一一对应，完成折线统计图。 （3）根据摸到红球的频率，可观察到在0.3附近波动。 学科网（北京）股份有限公司 $$