精品解析：广西钦州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

钦州市2024年春季学期高二期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第四章至第七章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（ ） A. 可能存在负相关 B. 可能存在正相关 C. 一定存在正相关 D. 一定存在负相关 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图以及相关关系的定义判断即可． 【详解】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关， 故选：A． 2. 在等比数列中，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，得． 故选：C 3. 已知随机变量X服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】由题意得． 故选：D. 4. 已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，后结合函数单调性可得答案. 【详解】由题意得，则． 注意到在上单调递增，在上单调递减. 则，所以,即a的最小值为. 故选：B 5. 甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（ ） A. 10种 B. 5种 C. 12种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】先选出2节相邻的车厢，有5种方法，再将两人排列有种方法，利用分步计数原理即可得出结果. 【详解】先选出2节相邻的车厢有5种方法， 再将甲、乙两人排列有种方法， 所以，两人乘坐的车厢相邻的方案共有种． 故选：A 6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可； 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用函数导数四则运算构造新,，则用新函数的单调性解题即可. 【详解】令，则，所以单调递减． 由， 得，所以． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布， 所以正态分布的对称轴为 ， 根据对称性可知：，得，A正确，B错误； 则，C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意转化为判断导函数有2个变号零点，根据选项判断. 【详解】由题意得的导函数有两个变号零点． 由，得恒成立，单调递增，无极值点，A错误． 由，得，令，得，而且是导函数的变号零点，所以有2个极值点，B正确． 由，得，令，得，因为，所以有两个异号零点，所以函数有2个极值点，C正确． 由，得，令，得，是唯一的变号零点，所以函数只有1个极值点，D错误． 故选：BC 11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】A.当时，，得或（舍）， 此时为常数列，故A正确； B.，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确； C.若，，所以，故C错误； D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为，则在第2秒时该电路的电流为________A． 【答案】15 【解析】 【分析】根据导数与瞬时变化的关系，即可求解. 【详解】由题意得，则，即第2秒时该电路的电流为15A． 故答案为：15 13. 袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率的定义，结合样本空间，即可求解. 【详解】在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为． 故答案为： 14. 若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为________． 【答案】##0.32 【解析】 【分析】对于分类讨论，结合对勾函数的单调性及古典概率计算即可． 【详解】解：当，时，在上单调递减，在上单调递增，不是单射函数． 当，时，在上单调递增，在上单调递减，不是单射函数． 当，或，时，，不是单射函数． 当，时，不是单射函数． 当，时，是单射函数． 当，时，是单射函数． 故是单射函数的概率为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：由新定义知，要对分类讨论来确定函数是单调函数进行解题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以 【小问2详解】 ， 所以 16. 某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 合计 600 400 1000 （1）判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率． 附：，其中．当时，有99%的把握判断变量A，B有关联． 【答案】（1）有 （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算，再和比较大小，即可判断是否有关联； （2）首先确定5人中优秀和不优秀的人数，再利用组合数公式和古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 根据列联表中的数据，计算得到． 因为，所以有99%的把握判断数学成绩与语文成绩有关联． 【小问2详解】 由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为， 不优秀的学生人数为， 则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为． 17. 在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． （1）求n； （2）求第4项的系数； （3）求的展开式的常数项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和性质即可求解， （2）根据二项式展开式的通项特征即可求解， （3）利用分配律，结合通项特征即可求解. 【小问1详解】 由题意得所有偶数项的二项式系数之和为， 得，即． 【小问2详解】 由题意得第4项为， 所以第4项系数为． 【小问3详解】 ， 在的展开式中，含的项为， 常数项为， 所以的展开式的常数项为 18. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【小问1详解】 甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点是公共点结合斜率可求出的值； （2）将问题转化为证，然后构造函数和，分别利用导数求出的最大值和的最小值，只需即可. 【小问1详解】 解：由题意得， 由切线的斜率为，得， 则切线方程为， 当时，，所以，得． 【小问2详解】 证明：由（1）可知， 要证，即证． 设，则． 令，则， 所以在上递减， 因为， 所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以． 因为（两个不等式中的等号不能同时成立），所以， 即． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为求两个函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 钦州市2024年春季学期高二期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第四章至第七章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（ ） A. 可能存负相关 B. 可能存在正相关 C. 一定存在正相关 D. 一定存在负相关 2. 在等比数列中，，则（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 已知随机变量X服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，是的导函数，且，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（ ） A. 10种 B. 5种 C. 12种 D. 6种 6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为，则在第2秒时该电路的电流为________A． 13. 袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为________． 14. 若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 合计 600 400 1000 （1）判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）按数学成绩是否优秀用分层随机抽样方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率． 附：，其中．当时，有99%的把握判断变量A，B有关联． 17. 在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32． （1）求n； （2）求第4项的系数； （3）求的展开式的常数项． 18. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求值； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$