2.3用公式法求解一元二次方程（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.3公式法解一元二次方程（八大题型提分练） 题型一、求根公式的认识 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 题型二、用公式法解方程 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 5．（21-22九年级上·陕西宝鸡·期中）解方程：x2﹣2x+2＝0． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 题型三、根的大小比较及估值问题 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）用表示方程的较大的实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 8．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·北京·期末）方程的一较小根为，下面对的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四、根据判别式的符号判定根的情况 10．（2024·河南商丘·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 11．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 题型五、根据根的情况求参数的范围 13．（2024·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 15．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 题型六、新定义问题 16．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 17．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 18．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 19．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 题型七、利用根的判别式与根的情况进行求解 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 21．（23-24九年级上·广西来宾·期末）古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如（，）的方程的图解法是：如图，画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于图中线段 的长． 22．（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 题型八、公式法与判别式的综合应用 23．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 24．（2024·四川南充·一模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 25．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川自贡·期末）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（    ） A． B．1 C． D． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 二、填空题 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）已知的三边长分别为，，，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 8．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是 若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 9．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）在中， ，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ． 10．（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）已知关于x的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线上，点在直线l下方，则的最小值为 ． 三、解答题 11．（2024九年级·全国·竞赛）若方程和有且只有一个公共根，求的值． 12．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 13．（22-23八年级下·山东济南·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 14．（22-23八年级上·四川达州·期末）在中，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ (3)是否存在时刻t，使的面积是的面积的？若有请求出；若没有，请说明理由． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3公式法解一元二次方程（八大题型提分练） 题型一、求根公式的认识 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建漳州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由公式法解一元二次方程．根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可． 【详解】A．方程的解为：，故符合题意； B．方程的解为：，故不符合题意； C．方程的解为：，故不符合题意； D．方程的解为：，故不符合题意． 故选A． 3．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴时，一元二次方程能用公式法求解， 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型二、用公式法解方程 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 5．（21-22九年级上·陕西宝鸡·期中）解方程：x2﹣2x+2＝0． 【答案】， 【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：x2﹣2x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， x＝， ，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟记一元二次方程求根公式，准确计算． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用公式法解答方程即可； （2）先把化成一般式，直接运用公式法解答方程即可． 【详解】（1）解： 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，； （2）解：， 则， 所以一般式是， 则，，， 那么， 把，，，都代入中， 得，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 题型三、根的大小比较及估值问题 7．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）用表示方程的较大的实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，解方程得到，根据的定义即可求解． 【详解】解：解方程得， ∵， ∴． 故选：C 8．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即． 故选：B． 9．（23-24九年级上·北京·期末）方程的一较小根为，下面对的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程—公式法，实数的大小比较，估算无理数的大小．先根据求根公式求出原方程的根，再来估计较小根的大小．掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：原方程的解为：，即， ∵方程的一较小根为，且 ∴原方程的两根为：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：C． 题型四、根据判别式的符号判定根的情况 10．（2024·河南商丘·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 先将方程化为一般式，再根据，求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：A 11．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解． 【详解】由题意可知：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 题型五、根据根的情况求参数的范围 13．（2024·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故A符合题意． 故选：A． 14．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，， ∴且 即：， 解得：且， 故选：D． 15．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 题型六、新定义问题 16．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查方程解，根的判别式，根据倒方程的定义，结合方程的解以及根的判别式逐一进行判断即可． 【详解】解：的倒方程为：， 把代入，得： ，解得：；故①正确； ∵无解， ∴， ∴， ∵的倒方程为，也是一元二次方程， ∴， ∴没有实数根，故②正确； ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当，时，满足要求， 此时的倒方程为一元一次方程，故③错误； 故答案为：①②． 17．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出，代入进行配方求出最大值即可． 【详解】解：设、是方程的两根， 解得，， ∵原方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9． 故答案为：9． 18．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 题型七、利用根的判别式与根的情况进行求解 19．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布情况，由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】根据题意得，， ∴， ①当时，即， ∴原方程为， ∴，不满足条件； ②当时，原方程有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内， ∴Ⅰ、， ∴， Ⅱ、， ∴无解； 故答案为：． 21．（23-24九年级上·广西来宾·期末）古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如（，）的方程的图解法是：如图，画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正实数根等于图中线段 的长． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的加减运算，用公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先根据勾股定理求得，进一步推得，另一方面，根据求根公式解方程得，，所以的长就是方程的正根． 【详解】，，， ， ， 方程（，），用求根公式求得， ，， 的长就是方程的正根． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程， （1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，用配方法解方程即可； 解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时方程的解为：，． 题型八、公式法与判别式的综合应用 23．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 24．（2024·四川南充·一模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据，解不等式即可求解； （）求出，解方程求出或，代入方程求出的值即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴； （2）解：∵，是符合条件的最大整数， ∴， ∴方程为， 解得，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， 当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴舍去； ∴． 25．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】 本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 一、单选题 1．（23-24九年级上·四川自贡·期末）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：整理，可得， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，分情况讨论：当时，方程化为，方程有一个实数解；当时，△，然后求出两个种情况下的的公共部分即可． 【详解】当时，方程化为， 解得； 当时，， 解得， 所以的范围为． 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即． 故选：B． 4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式得出且，从而得出的取值可以是，，最后再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 的取值可以是，， 使一元二次方程有实数根的概率， 故选：D． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的一元二次方程，并且该方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】利用新定义得到，然后利用且可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， 该方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根． ， 解得：， 该方程有实数根时，且 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 二、填空题 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据方程根的情况可得，又进而可求解； 【详解】解∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）已知的三边长分别为，，，则关于的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】无实数根 【分析】利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可得的取值范围，进而分析判别式与的关系，便可得该一元二次方程根的存在情况． 【详解】解：的三边长分别为，，， ， 即． ． 对于关于的一元二次方程， ， 该方程无实数根． 故答案为：无实数根． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是 若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【答案】 999 1593 【分析】根据一元二次判别式得，再由各位数字之和大于7小于10，，可得（舍）或，分情况讨论a的取值，从而求得满足条件的所有“勤劳数”即可求解． 【详解】解：十位数字的最大数为9，则， ∴最大的“勤劳数”是999， ∵百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵各位数字之和大于7小于10， ∴或， 又∵， ∴（舍）或,   若，则，，该数为432， 若，则，，该数为531， 若，则，，该数为630， ∴， 故答案为：1593． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、新定义，根据各位数字之和大于7小于10，，求得是解题的关键． 9．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）在中， ，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ． 【答案】8 【分析】先根据有两个相等的实数根求出b，再根据三边长得出是以为斜边的直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴边上的中线长， 故答案为：8． 【点睛】本题考查根的判别式，直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理，解题的关键是证明是直角三角形． 10．（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）已知关于x的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线上，点在直线l下方，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】 先利用根判别式得到，则或，即点Q的坐标为或，如图：当点Q在直线上，为两直线的距离，最后求出得到的最小值即可 【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等实数根． ， ∴或， ∵点，即Q的坐标为或， ∴点Q所在的直线为或， ∵点在直线的下方， ∴点Q在直线上，如图，E，O，F三点共线，且，，为两直线的距离，    与坐标轴交于，两点， 令，，令，， ，， ，， ， ， ， ， 同理与坐标轴交于，两点， 令，，令，， ，， ，， ， ， ， ，   ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解答本题的关键. 三、解答题 11．（2024九年级·全国·竞赛）若方程和有且只有一个公共根，求的值． 【答案】0，1或 【分析】本题考查了一元二次方程的公共解问题、一元二次方程根的判别式、求代数式的值，设两个方程的公共根为，则，分两种情况：若，即，由，即，求出的值，代入计算即可；若，则，得出，再代入计算即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，则， ， 若，即，则两个方程相同，要使方程只有一个公共根，则，即 或， 或； 若，则， ，即， ． 综上，的值为0，1或． 12．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)或0 【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的值． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：或， 方程的两个根均为整数， 为整数， ，即， a为整数，， 或0． 13．（22-23八年级下·山东济南·期末）定义：如果关于的一元二次方程中常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，则的值为______； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】（1）解： 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； （2）解：关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． 14．（22-23八年级上·四川达州·期末）在中，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？ (3)是否存在时刻t，使的面积是的面积的？若有请求出；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知的长，可将用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）不存在．构建方程利用一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，，则， 因此的面积为； （2）由题意得，，则， 当秒时，，， 在中，由勾股定理得； （3）不存在． 理由：由题意可得，， 整理得， ， 方程无解， 不存在时刻t，使的面积是的面积的. 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