21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.2.4 一元二次方程的 根与系数的关系 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 一元二次方程的求根公式是什么？ 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 -2x +1 = 0 x2 +3x -10 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 1 1 2 -5 -1 2 1 -3 -10 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？ 解下列方程并完成填空： x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 思考： 猜想： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明： 注：b2 - 4ac≥0 BY YUSHEN BY YUSHEN 一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 满足上述关系的前提条件 △=b2 - 4ac≥0. 特别注意： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + =0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4 x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 练习：不解方程，求两根之和与两根之积. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1● 2＝3k 即 2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0. 重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解：首先化为一般式 则： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 【解题过程】 BY YUSHEN BY YUSHEN 常见的求值式子如下 典例精析 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 （1）x1+x2= , (2) x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 12 14 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 已知 是方程 x2-3x-4＝0 的两个实数根， 则 的值为 . 0 解：根据题意得 α+β=3，αβ=-4， 所以原式 = α(α+β)-3α =3α-3α =0． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4， 求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3. ∴（ ）2-4× =1 当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以 则： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例10 设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解: 根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例11 解： 已知 有两个不相等的实根； ①求k的取值范围. ②是否存在k，使两根的倒数和等于0？ （1）k≠0，且 （2） 则 即k=-1， 故不存在. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 应 用 …… BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ 　） A．﹣2 B．1 C．2 D．0 D 2.知实数 a，b 分别满足 a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且 a≠b， 则 的值是( ) A. B. C. D. A 3.关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数， 则 a 的值为( ) B A.2 B.0 C.1 D.2或0 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 5.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 -3 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0 解：① ② 原方程可化为： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.已知关于 x 的一元二次方程 2x2-mx-2m+1=0 的两根的平方和是 ，求 m 的值. 解：设方程的两根分别为 x1，x2，由已知得 因为 ，所以， 所以，解得 m1=-11，m2=3. 当 m= -11时，方程为 2x2+11x+23=0，121-4×2×23=-63<0， 方程无实数根，不合题意，应舍去； 当 m=3时，方程为 2x2-3x-5=0，Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49>0， 方程有两个不相等的实数根.综上所述，m 的值为 3. BY YUSHEN BY YUSHEN $$